Null Space Calculator
Kalkulator jądra macierzy MiniWebtool wyznacza bazę wszystkich wektorów spełniających Ax = 0. Redukcja wierszowa z ułamkami dokładnymi ujawnia zmienne swobodne; wymiar jądra i kontrola twierdzenia o rzędzie i wymiarze jądra łączą zbiór rozwiązań z wymiarami macierzy.
W Gemini wklej skopiowane pytanie do czatu. Możesz je też skopiować poniżej.Potrzebujesz pomocy z narzędziem? Zapytaj AI
Zobacz pytanie
Wpisz macierz, aby otrzymać bazę rozwiązań Ax = 0, wymiar przestrzeni zerowej, kroki redukcji wierszowej oraz sprawdzenie rząd-wymiar w ułamkach zwykłych.
Twój bloker reklam uniemożliwia nam wyświetlanie reklam
MiniWebtool jest darmowy dzięki reklamom. Jeśli to narzędzie Ci pomogło, wesprzyj nas, przechodząc na wersję bez reklam z większą liczbą dziennych użyć, albo zezwól na MiniWebtool.com i odśwież stronę.
- Zezwól na reklamy dla MiniWebtool.com, potem odśwież
- Albo przejdź na wersję bez reklam i z wyższymi limitami dziennymi
O Null Space Calculator
The Null Space Calculator finds the null space (kernel) of any matrix by solving the homogeneous system Ax = 0. Enter a matrix of any size up to 8×8 and get the complete null space basis with exact fractional arithmetic, step-by-step Gaussian elimination to RREF, column classification (pivot vs. free), and rank-nullity theorem verification.
W skrócie
Null Space Calculator znajduje bazę wszystkich wektorów x spełniających Ax = 0 dla macierzy o rozmiarze do 8x8. Korzysta z dokładnych ułamków i redukcji wierszowej oraz podaje wymiar jądra i sprawdzenie twierdzenia o rzędzie i wymiarze jądra.
| Funkcja | Co otrzymujesz | Przydatne dla |
|---|---|---|
| Rozmiar macierzy | Ustaw liczbę wierszy i kolumn za pomocą przycisków plus i minus, maksymalnie 8x8. Wpisuj liczby całkowite, dziesiętne lub ułamki, takie jak 1/3 lub -5/2. | Macierze w typowych kształtach do zadań domowych |
| Dokładne ułamki | Redukcja wierszowa do RREF jest wykonywana z dokładną arytmetyką ułamkową, dlatego wektory bazowe są podawane jako ułamki. | Wyniki do porównania z rozwiązaniem ręcznym |
| Kolumny bazowe i swobodne | Każda kolumna jest oznaczana jako bazowa lub swobodna. Ustawienie kolejno każdej zmiennej swobodnej na 1 daje jeden wektor bazowy. | Sprawdzenie, skąd pochodzi każdy wektor bazowy |
| Wymiar jądra i rząd | Podaje wymiar jądra i weryfikuje rząd(A) + wymiar jądra(A) = n, gdzie n oznacza liczbę kolumn. | Sprawdzenie wyniku z twierdzeniem o rzędzie i jądrze |
| Podgląd kroków | Odtwarzaj lub przechodź do przodu i do tyłu przez etapy eliminacji Gaussa. | Nauka kolejności eliminacji |
| Przykładowe macierze | Presety obejmują macierze 3x4, 2x4, macierz jednostkową 3x3 (trywialne jądro), szeroką 2x5, wysoką 4x3 i przykład z ułamkami. | Porównanie trywialnych i nietrywialnych jąder |
What Is the Null Space of a Matrix?
The null space (also called the kernel) of an \(m \times n\) matrix \(A\) is the set of all vectors \(\mathbf{x}\) in \(\mathbb{R}^n\) that satisfy:
$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$
Written as a set: \(\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}\). The null space is always a subspace of \(\mathbb{R}^n\), meaning it contains the zero vector and is closed under addition and scalar multiplication.
How to Find the Null Space
Step 1. Set the number of rows (m) and columns (n) for your matrix using the +/− controls, or click a quick example to load a preset matrix.
Step 2. Enter your matrix values into the grid. You can type integers, decimals, or fractions like 1/3 or -5/2. Use Tab, Enter, or arrow keys to navigate between cells.
Step 3. Click Find Null Space. The calculator performs Gaussian elimination to convert your matrix to reduced row echelon form (RREF).
Step 4. Identify pivot columns and free columns. Each free column corresponds to a free variable that can take any value.
Step 5. For each free variable, set it to 1 and all other free variables to 0, then solve for the pivot variables. The resulting vectors form a basis for the null space.
Null Space vs. Column Space
| Property | Null Space | Column Space |
|---|---|---|
| Definition | All x such that Ax = 0 | All b such that Ax = b has a solution |
| Lives in | \(\mathbb{R}^n\) (domain) | \(\mathbb{R}^m\) (codomain) |
| Dimension | nullity = n − rank | rank |
| Found from | Free columns of RREF | Pivot columns of A |
The Rank-Nullity Theorem
For any \(m \times n\) matrix \(A\):
$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$
Rząd to liczba kolumn wiodących (pivotów) w RREF, a defekt to liczba kolumn wolnych. Razem obejmują wszystkie kolumny. To twierdzenie jest też znane jako twierdzenie o wymiarze dla przekształceń liniowych.
Special Cases
| Scenario | Null Space | What It Means |
|---|---|---|
| Full column rank (rank = n) | Only {0} | Columns are linearly independent; Ax = 0 has only the trivial solution |
| More columns than rows (n > m) | Always nontrivial | There are at least n − m free variables, so infinitely many solutions exist |
| Square singular matrix | Nontrivial | The matrix has a zero determinant and dependent rows/columns |
| Zero matrix | All of \(\mathbb{R}^n\) | Every vector is in the null space; the basis is the standard basis |
Applications of the Null Space
Frequently Asked Questions
What is the null space of a matrix?
Jądro (przestrzeń zerowa) macierzy A to zbiór wszystkich wektorów x takich, że Ax = 0. Jest to podprzestrzeń R^n, gdzie n to liczba kolumn. Jądro zawsze zawiera wektor zerowy, a jeśli macierz ma zmienne wolne, może też zawierać nieskończenie wiele niezerowych wektorów.
How do you find the null space?
Reduce the matrix A to reduced row echelon form (RREF) using Gaussian elimination. Identify pivot columns and free columns. For each free variable, set it to 1 and all other free variables to 0, then solve for the pivot variables. The resulting vectors form a basis for the null space.
What is the rank-nullity theorem?
Twierdzenie o rzędzie i defekcie mówi, że dla macierzy A o wymiarach m na n zachodzi rank(A) + defekt(A) = n, gdzie n to liczba kolumn. Rząd to liczba kolumn wiodących, a defekt to wymiar jądra (liczba zmiennych wolnych).
What does it mean if the null space is trivial?
A trivial null space means the only solution to Ax = 0 is the zero vector x = 0. This happens when every column is a pivot column (full column rank). It means the columns of A are linearly independent.
Can non-square matrices have a null space?
Yes. Any matrix has a null space. For an m by n matrix with m less than n, the null space is guaranteed to be nontrivial (dimension at least n - m) because there are more unknowns than equations, so free variables always exist.
Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:
"Null Space Calculator" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-przestrzeni-zerowej/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
by miniwebtool team. Updated: 2026-04-10
Porozmawiaj ze swoją ulubioną AI
W Gemini wklej skopiowane pytanie do czatu. Możesz je też skopiować poniżej.
Zobacz pytanie
Algebra Liniowa:
- Kalkulator Kąta Między Wektorami Nowy
- Kalkulator Wielomianu Charakterystycznego Nowy
- Kalkulator Dekompozycji Choleskiego Nowy
- Kalkulator Przestrzeni Kolumnowej Nowy
- Kalkulator Wzory Cramera Nowy
- Kalkulator Iloczynu Wektorowego Nowy
- Kalkulator Wyznacznika Popularne
- Kalkulator Iloczynu Skalarnego Nowy
- Kalkulator wartości własnych i wektorów własnych
- Kalkulator Grama-Schmidta
- Kalkulator Macierzy Jakobianu Nowy
- Kalkulator Postaci Normalnej Jordana Nowy
- Kalkulator macierzy
- Kalkulator Diagonalizacji Macierzy Nowy
- Kalkulator Wykładniczej Macierzy Nowy
- Kalkulator Macierzy Odwrotnej Nowy
- Kalkulator rozkładu LU macierzy
- Kalkulator Mnożenia Macierzy Nowy
- Kalkulator Potęgi Macierzy Nowy
- Kalkulator rzędu macierzy
- Kalkulator śladu macierzy
- Null Space Calculator Nowy
- Kalkulator rozkładu na ułamki proste
- Kalkulator Rozkładu QR Nowy
- Kalkulator RREF (Postać Schodkowa Zredukowana) Nowy
- Kalkulator Rozkładu według Wartości Osobliwych (SVD)
- Kalkulator Iloczynu Tensorowego Nowy
- Kalkulator Wektora Jednostkowego Nowy
- Kalkulator wektorowy
- Kalkulator Długości Wektora Nowy
- Kalkulator projekcji wektorowej