Uprość swój przepływ pracy: Wyszukaj miniwebtool.
Dodaj
Strona główna > Matematyka > Analiza matematyczna > Kalkulator Całki Niewłaściwej
 

Kalkulator Całki Niewłaściwej

Obliczaj całki niewłaściwe z nieskończonymi granicami lub punktami nieciągłości. Obsługuje typ I (nieskończone granice) i typ II (nieograniczona funkcja podcałkowa) wraz z rozwiązaniami krok po kroku, analizą zbieżności, animowanymi wizualizacjami i porównaniem limitów obcięcia.

Kalkulator Całki Niewłaściwej
Wypróbuj:
PODGLĄD CAŁKI
$$\int_{0}^{\infty} f(x) \, dx$$
📐 Funkcja podcałkowa
Obsługuje: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e
📏 Granice
Skończona granica dolna
Górna granica to ∞

Embed Kalkulator Całki Niewłaściwej Widget

O Kalkulator Całki Niewłaściwej

Kalkulator całki niewłaściwej oblicza całki obejmujące nieskończone granice lub nieciągłości w funkcji podcałkowej — przypadki, w których nie można bezpośrednio zastosować standardowych technik całkowania. Całki te pojawiają się często w rachunku prawdopodobieństwa, fizyce, inżynierii i matematyce wyższej. Kalkulator wykorzystuje adaptacyjne metody numeryczne, aby określić, czy całka niewłaściwa jest zbieżna czy rozbieżna, i zapewnia precyzyjne aproksymacje numeryczne wraz z animowanymi wizualizacjami i analizą zbieżności.

Rodzaje całek niewłaściwych

→∞
Typ I: Nieskończona granica górna
Całka \( \int_a^{\infty} f(x)\,dx \) jest obliczana jako \( \lim_{t\to\infty} \int_a^t f(x)\,dx \). Przykład: \( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = 1 \)
-∞→
Typ I: Nieskończona granica dolna
Całka \( \int_{-\infty}^b f(x)\,dx \) jest obliczana jako \( \lim_{t\to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx \). Przykład: \( \int_{-\infty}^0 e^x\,dx = 1 \)
±∞
Typ I: Obie granice nieskończone
Rozdzielenie w dogodnym punkcie: \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^0 f(x)\,dx + \int_0^{\infty} f(x)\,dx \). Obie części muszą być zbieżne niezależnie.
⚡
Typ II: Nieciągłość
Gdy f(x) ma asymptotę pionową na granicy, dążymy do niej jako do granicy: \( \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx \). Przykład: \( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2 \)

Jak korzystać z kalkulatora całki niewłaściwej

  1. Wprowadź swoją funkcję — Wpisz f(x) używając standardowego zapisu. Przykłady: 1/x^2, exp(-x^2), 1/(1+x^2), 1/sqrt(x).
  2. Wybierz typ całki — Wybierz, czy całka ma nieskończoną górną granicę, nieskończoną dolną granicę, obie granice nieskończone, czy też punkt nieciągłości na jednej z granic.
  3. Ustaw skończoną granicę (granice) — Wprowadź wymagane granice. Dla granic nieskończonych potrzebna jest tylko granica skończona. Dla typów z nieciągłością wprowadź obie granice.
  4. Kliknij Oblicz — Kalkulator określi zbieżność lub rozbieżność, pokaże wartość numeryczną (jeśli zbieżna), dostarczy animowaną wizualizację obszaru, tabelę zbieżności pokazującą, jak wartość stabilizuje się wraz ze wzrostem granicy obcięcia, oraz rozwiązanie krok po kroku.

Kryterium całkowe (p-test) zbieżności

Jeden z najważniejszych testów zbieżności dla całek niewłaściwych:

CałkaWarunekWynik
\( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \)p > 1Zbieżna do \( \frac{1}{p-1} \)
\( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \)p ≤ 1Rozbieżna
\( \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \)p < 1Zbieżna do \( \frac{1}{1-p} \)
\( \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \)p ≥ 1Rozbieżna

Słynne całki niewłaściwe

CałkaDokładna wartośćNazwa/Zastosowanie
\( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \)\( \sqrt{\pi} \approx 1.7725 \)Całka Gaussa (prawdopodobieństwo, fizyka)
\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx \)\( \pi \approx 3.1416 \)Rozkład Cauchy'ego/Lorentza
\( \int_0^{\infty} e^{-x}\,dx \)1Rozpad wykładniczy
\( \int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\,dx \)\( \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 \)Całka Dirichleta (przetwarzanie sygnałów)
\( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \)2Typ II, kryterium p dla p = 1/2

Typowe zastosowania

Często zadawane pytania

Co to jest całka niewłaściwa?
Całka niewłaściwa to całka, w której jedna lub obie granice całkowania są nieskończone, lub funkcja podcałkowa ma punkt nieciągłości (asymptotę pionową) wewnątrz przedziału. Są one obliczane jako granice: granica nieskończona jest zastępowana zmienną dążącą do nieskończoności, a do punktu nieciągłości dąży się z odpowiedniej strony.
Jak określić, czy całka niewłaściwa jest zbieżna czy rozbieżna?
Całka niewłaściwa jest zbieżna, jeśli granica istnieje i jest skończona. Jest rozbieżna, jeśli granica jest nieskończona lub nie istnieje. Typowe testy zbieżności obejmują kryterium p (całka z 1/x^p jest zbieżna dla p > 1), kryterium porównawcze i ilorazowe kryterium porównawcze. Ten kalkulator określa zbieżność numerycznie, oceniając stabilizację wyników przy rosnących granicach obcięcia.
Jaka jest różnica między całkami niewłaściwymi pierwszego i drugiego rodzaju?
Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju mają jedną lub obie nieskończone granice całkowania (np. całka od 1 do nieskończoności). Całki niewłaściwe drugiego rodzaju mają punkt nieciągłości wewnątrz przedziału całkowania (np. całka z 1/sqrt(x) od 0 do 1, gdzie funkcja jest nieokreślona dla x = 0).
Co to jest całka Gaussa?
Całka Gaussa to całka z e^(-x²) od minus nieskończoności do plus nieskończoności, która jest równa pierwiastkowi z pi (około 1.7725). Jest to jedna z najsłynniejszych całek niewłaściwych i ma fundamentalne znaczenie w teorii prawdopodobieństwa, statystyce i fizyce. Nie można jej obliczyć za pomocą elementarnych funkcji pierwotnych.
Czy ten kalkulator potrafi znaleźć dokładne odpowiedzi symboliczne?
Ten kalkulator wykorzystuje metody numeryczne (adaptacyjne kwadratury Simpsona) do przybliżenia wartości całek niewłaściwych. Zapewnia wysoką precyzję numeryczną oraz identyfikuje zbieżność lub rozbieżność. Dla niektórych znanych całek, takich jak całka Gaussa, wyświetla również znaną dokładną wartość w celach porównawczych.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Całki Niewłaściwej" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-caki-niewasciwej/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Zaktualizowano: 2026-04-05

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Inne powiązane narzędzia:

Kalkulator podwójnych całekPolecane
Kalkulator całki wykładniczej
Kalkulator CałekPolecane
Kalkulator Sumy RiemannaNowy
Kalkulator całki potrójnej

Analiza matematyczna:

Polecane narzędzia:

Kalkulator Kompatybilności MiłosnejGenerator Prawda czy WyzwanieKalkulator znaków słońca, księżyca i ascendentu 🌞🌙✨Rozdzielacz obrazówMagiczna Kula 8Losowy generator przedmiotówKalkulator Znaku WenusSortować alfabetycznieKalkulator prędkości jazdy na rowerzeLosowy Generator GrupKalkulator kompatybilności znaków Księżyca⏱️ Kalkulator GodzinLosowy Generator Drabinki TurniejowejLosowanie listyPrzelicznik stóp na metrywyszukiwanie-adresu-MACLosowy selektor filmówLosowy Selektor NazwKalkulator Liczby ImieniaKalkulator numerów aniołaLosowy generator zwierzątGenerator losowych słów angielskichKalkulator testu chi-kwadratKalkulator Dnia Roku - Który Dzień Roku Jest Dzisiaj?Kalkulator pochodnych cząstkowychGenerator wykreślanekStatystyki Kanału YouTubeGenerator krzyżówekKalkulator przedziału ufności dla proporcjiKonwerter Radianów na StopnieGenerator kodu Morse'aKalkulator przedawkowania kofeinyKalkulator podwójnych całekKalkulator nachylenia i stopniaKalkulator Obwodu ElipsyKalkulator liczby ścieżek życiaKalkulator PrzeciwprostokątnejJaki jest mój szczęśliwy numer?Konwerter ułamkowy czasuKalkulator znaku księżycowegoGenerator Losowych UrodzinCyfrowy Kalkulator DuszyGenerator numerów loteriiKonwerter Czasu na DziesiętnyGenerator losowych supermocyGenerator losowych kart kredytowychKonwerter binarny na dziesiętnyKonwerter PSI na BarGenerator Kart BingoKalkulator inflacji w USARozdzielacz AudioLosowy Generator KolorówDetektor treści AIGenerator losowej godzinyGenerator Losowych PosiłkówKalkulator ciąży u psaSortuj LiczbyGenerator losowych krajówKalkulator Numerów MistrzowskichKalkulator średniej arytmetycznejGenerator szablonu rozwinięcia stożkaPrzelicznik cm na stopy i caleGenerator losowych datLicznik SylabWyszukiwanie identyfikatora użytkownika FacebookaGenerator Małego Tekstu ⁽ᶜᵒᵖʸ ⁿ ᵖᵃˢᵗᵉ⁾Kalkulator Kąta UkośnegoLosowy Generator LiterSymulator Bramek LogicznychKalkulator Trójkąta ProstokątnegoPrzesunięcie czasu SRTKalkulator schodówKonwerter HEX na CMYKWalidator XMLKalkulator Regresji LiniowejKalkulator Znaku MarsaHumanizator tekstu AIKonwerter szesnastkowy na dziesiętnySelektor liczb losowych🔍 Sprawdzacz PlagiatuKalkulator konwersji skali modeluLooper MP3Połącz filmyGenerator kodów kreskowychKalkulator Długości ŁukuGenerator losowych ciągówKalkulator ilości cyfrKonwerter stóp i cali na centymetryZaawansowany analizator kompatybilności znaków zodiakuNazwij generator losowyKalkulator Zarobków na TikTokuKalkulator Wspolczynnika KorelacjiLista Lat PrzestępnychGenerator LabiryntówGenerator losowych wymówekKalkulator CałekPrzelicznik kg na funtyAnalizator adresów MACGenerator anagramówKalkulator decybeli (dB)Kalkulator deficytu kalorycznegoRzut kostkąKonwerter cali na centymetryGenerator losowych emojiKalkulator arcus tangensaKalkulator kołowyOdwrotny TekstKalkulator kalorii przy karmieniu piersiąKalkulator rozmiaru haftu krzyżykowegoKalkulator współczynnika zmiennościKalkulator dziennego procentu składanegoKalkulator Wzrostu ProcentowegoUsuwacz Niewidocznych ZnakówWyszukiwanie IDentyfikatora użytkownika InstagramKalkulator arcus kosinusaKalkulator dnia tygodniaKalkulator tempa pływaniaDekoder Alfabetu Morse'aGenerator Losowych AktywnościKalkulator kwadratowyKalkulator toksyczności czekoladyKalkulator zarobków YouTubeKalkulator Dokładnego Testu FisheraKalkulator HexKalkulator Liczby OsobowościKalkulator wiekuKonwerter HTML na tekstKonwerter stopni na radianyLista liczb pierwszychKalkulator BinarnyKalkulator Logarytmu o Podstawie 2Kalkulator notacji naukowejKalkulator TransformatoraLosowy SelektorKalkulator Powrotu SaturnaLosowy generator debiutów szachowychUsuń dźwięk z wideoKalkulator pochodnychKonwerter binarny na szesnastkowyKonwerter rozmiaru plikuKonwerter szesnastkowy na binarnyKalkulator Dzielenia PisemnegoKalkulator ósemkowyKonwerter rozmiarów butówGenerator połącz kropkiKalkulator Pola Wielokąta NieregularnegoKalkulator ZbrojeniaPredyktor wagi szczeniakaKalkulator Liczby EkspresjiKalkulator dźwigni kryptoKalkulator PowierzchniKonwerter dziesiętny na BCDKalkulator Równania SześciennegoKalkulator Temperatury WrzeniaKalkulator ZaokrąglaniaLosowy Generator Postaci RPGNarzędzie do Szyfru CezaraKalkulator Momentu Dokręcania ŚrubKalkulator rozmiaru wydruku i rozdzielczości (DPI/PPI)Losuj liczby⏱️ Stoper OnlineKalkulator budowy ciała📅 Kalkulator DatyKalkulator Godzin PracyKalkulator Odległości 3DKalkulator pola trójkąta równobocznegoKalkulator rozkładu prawdopodobieństwaKonwerter dziesiętny na szesnastkowyLicznik Punktów w TenisiePierwsze n cyfr PiCzytnik tekstu na mowęEkstraktor Obrazów z WideoKalkulator Dzielnika NapięciaKalkulator Momentu BezwładnościKonwerter liczb rzymskichKonwerter ósemkowy na binarnyGenerator Hashi (Mosty)Generator kryptogramówGenerator Ozdobnego TekstuGenerator pomieszanych słówKalkulator Czasu TrwaniaKalkulator Faktoryzacji WielomianówKalkulator Numeru PrzeznaczeniaKalkulator prostokątnyKalkulator Testu U Manna-WhitneyaKalkulator wieku biologicznegoKalkulator Względnego Odchylenia StandardowegoGenerator wykresów pudełkowychKalendarz retrogradacji MerkuregoKalkulator Biegu 12-Minutowego CooperaKalkulator bonusów👙 Kalkulator Rozmiaru BiustonoszaKalkulator SumyKalkulator wartości własnych i wektorów własnychKalkulator Zmiany ProcentowejKonwerter adresu IP na format szesnastkowyKonwerter Kalendarza HebrajskiegoKonwerter Stopni Dziesiętnych na DMSLosowanie liczbWizualizator Wzrostu MajątkuKalkulator Kosztów LunchuKalkulator Kosztów Siłownia vs Trening w DomuKalkulator Kosztów KawyKalkulator Oszczędności Pracy ZdalnejKalkulator ROI Dodatkowej PracyŚledzenie Kosztów SubskrypcjiKalkulator Cen SaaSKalkulator Wyceny Projektów FreelancePrzewodnik doboru drewna do wędzeniaKalkulator Czasu FermentacjiKalkulator Czasu MarynowaniaFiltr przepisów według ograniczeń dietetycznychWyszukiwarka Zamienników PrzyprawTracker okresu półtrwania kofeinyKalkulator Standardowych DrinkówDoradca Doboru WinaKonwerter Skali WspinaczkowejKalkulator Przełożenia RoweruKalkulator Wytrzymałości Węzłów WędkarskichMinutnik Pozycji JogiKalkulator SWOLF PływanieKalkulator Przewidywania Czasu BieguKalkulator Siły Ciosu BokserskiegoKalkulator Punktów RugbyKalkulator Run Rate w KrykiecieKalkulator xG (Oczekiwane Gole) w Piłce NożnejKalkulator Skali Wellsa (DVT/PE)Kalkulator Skali Śpiączki GlasgowKalkulator Punktacji APGARKalkulator FFMIKalkulator Testu Marszu na Jedną Milę (Rockport)Kalkulator Masy Beztłuszczowej do SiłyKalkulator stosunku węglowodanów do insulinyKalkulator Współczynnika Wrażliwości na InsulinęKonwerter Kalendarza HidżriKonwerter Kalendarza KsiężycowegoKalkulator Wieku KulturowegoKalkulator Jak Dawno TemuKalkulator Ile Zostało DoGenerator Wzorca DatKalkulator Daty ŚrodkowejDodaj Dni Robocze do DatyKalkulator Dni RoboczychAnalizator Częstotliwości SłówAnalizator Wariancji Długości ZdańEdytor Czytelności w Stylu HemingwayaKonwerter Wymowy IPANarzędzie Szyfru Vigenère’aNarzędzie Szyfru AtbashKoder i Dekoder ROT13Przeglądarka i Usuwacz Danych EXIFTłumacz Pig LatinGenerator BackronimówGenerator AkronimówSprawdzanie PangramówSprawdzacz LipogramuTracer Obrazu do SVGKonwerter obrazu na sztukę ASCIIGenerator Schematu JSONPlayground TypeScriptKompilator Less do CSSKompilator SCSS do CSSKonwerter SVG na React/JSXGenerator Ciągów ZapytaniaParser URLWalidator i dekoder UUIDReferencja Kodów Stanu HTTPGenerator Poleceń cURLGenerator Trójkąta SierpińskiegoKreślarka Powierzchni 3DPloter Równań BiegunowychGenerator Zbioru JuliiEksplorator Zbioru MandelbrotaGenerator Fraktali L-SystemGenerator triangulacji DelaunayaGenerator Diagramów WoronojaGenerator SpirografuGenerator TeselacjiKalkulator Zdolności Procesu Six SigmaGenerator Diagramów ParetoKalkulator NPS (Net Promoter Score)Kalkulator wskaźnika retencji kohortowejKalkulator Wskaźnika RezygnacjiKalkulator Kosztu Pozyskania Klienta (CAC)Kalkulator Wartości Życiowej Klienta (CLV)Kalkulator Współczynnika KonwersjiKalkulator Wielkości Próby Testu A/BKalkulator Istotności Testu A/BKalkulator Równania SoczewkiKalkulator Pola Magnetycznego PrzewoduKalkulator Pola ElektrycznegoKalkulator Prawa CoulombaKalkulator Prawa SnellaKalkulator Prędkości KątowejKalkulator siły dośrodkowejKalkulator Okresu WahadłaKalkulator Stałej SprężynyKalkulator Efektu DoppleraKalkulator Wskaźnika SortinoKalkulator Wskaźnika TreynoraKalkulator Beta AkcjiKalkulator Obligacji Skarbowych Chronionych przed Inflacją (TIPS)Kalkulator Rekalkulacji HipotekiKalkulator Stopy ForwardKalkulator Duracji Obligacji (Macaulay i Zmodyfikowana)Kalkulator Wypukłości ObligacjiKalkulator Stałej Renty IndeksowanejKalkulator Renty ZmiennejKalkulator Odwróconej HipotekiKalkulator Wypłat RentySymulator Liczydła SorobanMnożenie Rosyjskich ChłopówKalkulator Trików Matematyki WedyjskiejKalkulator Egipskiego MnożeniaKalkulator Matematyczny Liczb RzymskichTrener Liczenia w PamięciQuiz Tabliczki MnożeniaWizualizator Przeniesień i PożyczekGenerator Rozkładu LiczbRozwiązywacz Zadań z MonetamiKalkulator Trójkąta Droga-Prędkość-CzasSolver Zadań o Tempie PracySolver Zadań MieszankowychSolver Zadań o WiekuSolver zadań o spotkaniu pociągówKalkulator NawodnieniaKalkulator Tempa na KalorieKalkulator Dawki LekuKalkulator Kalorii AlkoholuKalkulator Rekompozycji CiałaGenerator Losowych Tematów DebatyGenerator Losowych Imion dla Kotów i PsówGenerator Losowych Wersetów BiblijnychGenerator Losowych Zadań MatematycznychGenerator Losowych AkapitówGenerator Losowych Zdań po AngielskuKalkulator Żwiru, Piasku i ZiemiKalkulator Wagi StaliKalkulator przepływu w rurachKalkulator Obciążenia BelkiKonwerter Dolar ZłotoKalkulator Prawdopodobieństwa OpcjiKalkulator Splitu AkcjiKalkulator ESPPKalkulator Odsetek za Zwłokę na FakturzeKalkulator Stawki Godzinowej FreelanceraKalkulator Leasing vs ZakupZaawansowany Kalkulator Podziału NapiwkuGenerator Listy PakowaniaKalkulator Jet LagKalkulator Budżetu PodróżyKalkulator Odległości LotuKalkulator Strat CiepłaKalkulator Kosztu Wytwarzania Energii ElektrycznejKalkulator Zużycia WodyKalkulator Kosztów Energii Urządzeń DomowychKalkulator Audytu Energetycznego DomuKalkulator ROI SolarnegoKalkulator Paneli SłonecznychKalkulator Kompostu (Stosunek C:N)Kalkulator Nawozu do TrawnikaKalkulator Dat PrzymrozkówKalkulator Ziemi do Podwyższonej GrządkiKalkulator Nawozu NPKKalkulator Wskaźnika Kiełkowania NasionKalkulator Bitrate WideoTranspozytor Tonacji MuzycznejLicznik BPM przez StukanieKalkulator rozmiaru pliku zdjęciaKalkulator Megapiksele na Rozmiar WydrukuKalkulator Współczynnika KadrowaniaKalkulator Trójkąta EkspozycjiKalkulator Zdolności Holowania PojazduKalkulator Leasingu SamochoduKalkulator 0–60 i Ćwierć MiliKalkulator Czasu Ładowania EVKalkulator Zasięgu EVKalkulator TorusaKalkulator Ściętego StożkaKalkulator Wielokąta ForemnegoIdentyfikator Przekroju StożkowegoKalkulator HiperboliLicznik Znaków Twitter/XLosowanie komentarzy YouTubeEkstraktor tagów YouTubePobieracz Miniatur YouTube