Od 2010 · Ponad 2 mln uruchomień narzędzi miesięcznie
Od 2010
Dodaj do Chrome

Moje Narzędzia

Tryb Automatyczny

Nie zapisano jeszcze żadnych narzędzi.

Uaktualnij do Wersji Premium
Powiązane narzędzia
Kalkulator CałekKalkulator Testu Zbieżności SzeregówKalkulator Całki PowierzchniowejKalkulator Sumy Szeregów NieskończonychKalkulator Reguły L'HospitalaKalkulator GranicKalkulator Objętości Bryły Obrotowej
Strona główna > Matematyka > Analiza matematyczna
 

Kalkulator Całki Niewłaściwej

Nieograniczone przedziały i osobliwości wymagają granic zamiast zwykłego podstawienia końców. Kalkulator całek niewłaściwych MiniWebtool oblicza przypadki typu I i II, pokazując wynik zbieżności i kroki prowadzące do niego.

Potrzebujesz pomocy z narzędziem? Zapytaj AI
Gemini (kopiuj i otwórz)

W Gemini wklej skopiowane pytanie do czatu. Możesz je też skopiować poniżej.

Zobacz pytanie

3 darmowe użycia dziennieBez rejestracjiNatychmiastowe wyniki
Kalkulator Całki NiewłaściwejWypróbuj teraz — za darmo ▼
Całka niewłaściwa = granica b → ∞: 1/x² zbiega do 1, 1/x rozbiega się

Podaj funkcję i granice (dla nieskończonego końca użyj nieskończoności), aby sprawdzić zbieżność całki, z krokami obliczeń.

Wypróbuj:
PODGLĄD CAŁKI
$$\int_{0}^{\infty} f(x) \, dx$$
📐 Funkcja podcałkowa
Obsługuje: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e
📏 Granice
Skończona granica dolna
Górna granica to ∞

Embed Kalkulator Całki Niewłaściwej Widget

O Kalkulator Całki Niewłaściwej

Kalkulator całki niewłaściwej oblicza całki obejmujące nieskończone granice lub nieciągłości w funkcji podcałkowej — przypadki, w których nie można bezpośrednio zastosować standardowych technik całkowania. Całki te pojawiają się często w rachunku prawdopodobieństwa, fizyce, inżynierii i matematyce wyższej. Kalkulator wykorzystuje adaptacyjne metody numeryczne, aby określić, czy całka niewłaściwa jest zbieżna czy rozbieżna, i zapewnia precyzyjne aproksymacje numeryczne wraz z animowanymi wizualizacjami i analizą zbieżności.

W skrócie

Kalkulator Całki Niewłaściwej oblicza całki z nieskończonymi granicami lub nieciągłością i podaje, czy są zbieżne, czy rozbieżne. Zwraca wartość numeryczną, tabelę zbieżności i rozwiązanie krok po kroku.

Kalkulator Całki Niewłaściwej: funkcje w skrócie
FunkcjaCo otrzymujeszPrzydatne dla
Rodzaje całekTyp I z nieskończoną górną, dolną lub obiema granicami oraz typ II z nieciągłością na jednej z granic.Kursy rachunku różniczkowego obejmujące zbieżność i rozbieżność
Dane wejściowePodanie f(x), wybór typu i ustawienie granic. Granice nieskończone wymagają tylko skończonej granicy.Sprawdzanie całki z podręcznika
Metoda numerycznaAdaptacyjna kwadratura Simpsona przybliża wartość. Znane wartości dokładne, np. całka Gaussa, pokazywane są do porównania.Uzyskanie wyniku numerycznego, gdy nie istnieje prosta funkcja pierwotna
Tabela zbieżnościPokazuje, jak wartość się ustala przy wzroście granicy obcięcia.Sprawdzenie, czy wartość się stabilizuje, czy rośnie
Animowane poleWykres pola z widokami Statyczne i Animowane wypełnienie.Wyobrażenie sobie pola pod krzywą
Przykłady przyciskamiPrzykłady jednym kliknięciem, takie jak 1/x^2 na [1, infinity), 1/x na [1, infinity), całka Gaussa i 1/sqrt(x) na [0, 1].Porównanie przypadku zbieżnego i rozbieżnego obok siebie
KrokiRozwiązanie krok po kroku towarzyszy każdemu wynikowi.Śledzenie ustawienia granic na zajęciach

Rodzaje całek niewłaściwych

→∞
Typ I: Nieskończona granica górna
Całka \( \int_a^{\infty} f(x)\,dx \) jest obliczana jako \( \lim_{t\to\infty} \int_a^t f(x)\,dx \). Przykład: \( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = 1 \)
-∞→
Typ I: Nieskończona granica dolna
Całka \( \int_{-\infty}^b f(x)\,dx \) jest obliczana jako \( \lim_{t\to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx \). Przykład: \( \int_{-\infty}^0 e^x\,dx = 1 \)
±∞
Typ I: Obie granice nieskończone
Rozdzielenie w dogodnym punkcie: \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^0 f(x)\,dx + \int_0^{\infty} f(x)\,dx \). Obie części muszą być zbieżne niezależnie.
⚡
Typ II: Nieciągłość
Gdy f(x) ma asymptotę pionową na granicy, dążymy do niej jako do granicy: \( \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx \). Przykład: \( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2 \)

Jak korzystać z kalkulatora całki niewłaściwej

  1. Wprowadź swoją funkcję — Wpisz f(x) używając standardowego zapisu. Przykłady: 1/x^2, exp(-x^2), 1/(1+x^2), 1/sqrt(x).
  2. Wybierz typ całki — Wybierz, czy całka ma nieskończoną górną granicę, nieskończoną dolną granicę, obie granice nieskończone, czy też punkt nieciągłości na jednej z granic.
  3. Ustaw skończoną granicę (granice) — Wprowadź wymagane granice. Dla granic nieskończonych potrzebna jest tylko granica skończona. Dla typów z nieciągłością wprowadź obie granice.
  4. Kliknij Oblicz — Kalkulator określi zbieżność lub rozbieżność, pokaże wartość numeryczną (jeśli zbieżna), dostarczy animowaną wizualizację obszaru, tabelę zbieżności pokazującą, jak wartość stabilizuje się wraz ze wzrostem granicy obcięcia, oraz rozwiązanie krok po kroku.

Kryterium całkowe (p-test) zbieżności

Jeden z najważniejszych testów zbieżności dla całek niewłaściwych:

Kalkulator Całki Niewłaściwej: Kryterium całkowe (p-test) zbieżności
CałkaWarunekWynik
\( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \)p > 1Zbieżna do \( \frac{1}{p-1} \)
\( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \)p ≤ 1Rozbieżna
\( \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \)p < 1Zbieżna do \( \frac{1}{1-p} \)
\( \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \)p ≥ 1Rozbieżna

Słynne całki niewłaściwe

Kalkulator Całki Niewłaściwej: Słynne całki niewłaściwe
CałkaDokładna wartośćNazwa/Zastosowanie
\( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \)\( \sqrt{\pi} \approx 1.7725 \)Całka Gaussa (prawdopodobieństwo, fizyka)
\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx \)\( \pi \approx 3.1416 \)Rozkład Cauchy'ego/Lorentza
\( \int_0^{\infty} e^{-x}\,dx \)1Rozpad wykładniczy
\( \int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\,dx \)\( \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 \)Całka Dirichleta (przetwarzanie sygnałów)
\( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \)2Typ II, kryterium p dla p = 1/2

Typowe zastosowania

Często zadawane pytania

Co to jest całka niewłaściwa?
Całka niewłaściwa to całka, w której jedna lub obie granice całkowania są nieskończone, lub funkcja podcałkowa ma punkt nieciągłości (asymptotę pionową) wewnątrz przedziału. Są one obliczane jako granice: granica nieskończona jest zastępowana zmienną dążącą do nieskończoności, a do punktu nieciągłości dąży się z odpowiedniej strony.
Jak określić, czy całka niewłaściwa jest zbieżna czy rozbieżna?
Całka niewłaściwa jest zbieżna, jeśli granica istnieje i jest skończona. Jest rozbieżna, jeśli granica jest nieskończona lub nie istnieje. Typowe testy zbieżności obejmują kryterium p (całka z 1/x^p jest zbieżna dla p > 1), kryterium porównawcze i ilorazowe kryterium porównawcze. Ten kalkulator określa zbieżność numerycznie, oceniając stabilizację wyników przy rosnących granicach obcięcia.
Jaka jest różnica między całkami niewłaściwymi pierwszego i drugiego rodzaju?
Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju mają jedną lub obie nieskończone granice całkowania (np. całka od 1 do nieskończoności). Całki niewłaściwe drugiego rodzaju mają punkt nieciągłości wewnątrz przedziału całkowania (np. całka z 1/sqrt(x) od 0 do 1, gdzie funkcja jest nieokreślona dla x = 0).
Co to jest całka Gaussa?
Całka Gaussa to całka z e^(-x²) od minus nieskończoności do plus nieskończoności, która jest równa pierwiastkowi z pi (około 1.7725). Jest to jedna z najsłynniejszych całek niewłaściwych i ma fundamentalne znaczenie w teorii prawdopodobieństwa, statystyce i fizyce. Nie można jej obliczyć za pomocą elementarnych funkcji pierwotnych.
Czy ten kalkulator potrafi znaleźć dokładne odpowiedzi symboliczne?
Ten kalkulator wykorzystuje metody numeryczne (adaptacyjne kwadratury Simpsona) do przybliżenia wartości całek niewłaściwych. Zapewnia wysoką precyzję numeryczną oraz identyfikuje zbieżność lub rozbieżność. Dla niektórych znanych całek, takich jak całka Gaussa, wyświetla również znaną dokładną wartość w celach porównawczych.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Całki Niewłaściwej" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-caki-niewasciwej/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Zaktualizowano: 2026-04-05

Porozmawiaj ze swoją ulubioną AI

Gemini (kopiuj i otwórz)

W Gemini wklej skopiowane pytanie do czatu. Możesz je też skopiować poniżej.

Zobacz pytanie

Analiza matematyczna:

Rozwiązywanie matematykiCo chcesz obliczyć?

Rozwiązywanie matematyki

Przykłady
Więcej wyrażeń

Wybierz przykład, zmień liczby i rozwiąż. log ma podstawę 10; ln to logarytm naturalny.

Liczby i dzielniki

Ułamki i dzielenie

Potęgi, pierwiastki i logarytmy

Algebra i równania

Rachunek różniczkowy i całkowy

Geometria i trygonometria

Popularne i zaktualizowane narzędzia:

Kalkulator podwójnych całekKalkulator całki potrójnejKalkulator Całki KrzywoliniowejZobacz wszystkie →
Strona główna > Matematyka > Analiza matematyczna > Kalkulator Całki Niewłaściwej