Co oznacza parametr kształtu beta?

Parametr kształtu beta kontroluje zachowanie intensywności uszkodzeń. Gdy beta jest mniejsza niż 1, intensywność uszkodzeń maleje z czasem (śmiertelność niemowląt). Gdy beta wynosi 1, intensywność uszkodzeń jest stała, a rozkład Weibulla sprowadza się do rozkładu wykładniczego. Gdy beta jest większa niż 1, intensywność uszkodzeń rośnie z czasem (awarie wynikające ze zużycia). Beta około 3,6 przybliża rozkład normalny.

Co to jest czas życia charakterystycznego eta?

Parametr skali eta, zwany również czasem życia charakterystycznego, to czas, w którym 63,2% populacji uległo awarii. Dzieje się tak, ponieważ F(eta) = 1 - e^(-1) = 0,632 niezależnie od wartości beta. Służy on jako naturalna skala dla rozkładu i jest używany jako punkt odniesienia w analizie niezawodności.

Kalkulator Rozkładu Weibulla

Oblicz prawdopodobieństwo w rozkładzie Weibulla, niezawodność R(t), intensywność uszkodzeń h(t) oraz percentyle żywotności B-life. Wprowadź parametr kształtu β i skali η, aby otrzymać PDF, CDF, średnią, wariancję, MTTF oraz rozwiązanie krok po kroku z interaktywnymi wykresami pokazującymi przebieg krzywej wannowej.

Embed Kalkulator Rozkładu Weibulla Widget

O Kalkulator Rozkładu Weibulla

Kalkulator Rozkładu Weibulla oblicza prawdopodobieństwa, niezawodność, wskaźniki hazardu i kluczowe statystyki dla rozkładu $X \sim \text{Weibull}(\beta, \eta)$. Wprowadź parametr kształtu $\beta$ i parametr skali $\eta$, aby uzyskać prawdopodobieństwo awarii $F(x)$, niezawodność $R(x)$, funkcję hazardu $h(x)$, percentyle okresu B oraz rozwiązanie krok po kroku z interaktywnymi wykresami PDF, CDF i funkcji hazardu. Narzędzie to jest niezbędne w inżynierii niezawodności, analizie przeżycia i modelowaniu danych dotyczących czasu życia.

Co to jest rozkład Weibulla?

Rozkład Weibulla to ciągły rozkład prawdopodobieństwa nazwany na cześć szwedzkiego matematyka Waloddiego Weibulla. Jest to najczęściej stosowany rozkład w inżynierii niezawodności i analizie danych o czasie życia, ponieważ jego parametr kształtu $\beta$ pozwala modelować trzy odrębne zachowania awarii: malejącą intensywność uszkodzeń (śmiertelność niemowląt), stałą intensywność uszkodzeń (awarie losowe) oraz rosnącą intensywność uszkodzeń (zużycie). Funkcja gęstości prawdopodobieństwa to:

$$f(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}, \quad x \geq 0$$

Parametr kształtu β i krzywa wannowa

Parametr kształtu $\beta$ (beta) określa zachowanie intensywności uszkodzeń i odnosi się bezpośrednio do krzywej wannowej stosowanej w inżynierii niezawodności:

📉

β < 1: Śmiertelność niemowląt

Malejąca intensywność uszkodzeń. Wady wczesnego okresu eksploatacji są eliminowane z czasem. Typowe dla wygrzewania elektroniki.

➡

β = 1: Awarie losowe

Stała intensywność uszkodzeń. Sprowadza się do rozkładu wykładniczego. Obowiązuje cecha braku pamięci.

📈

β > 1: Zużycie

Rosnąca intensywność uszkodzeń. Dominuje starzenie i degradacja. Typowe dla komponentów mechanicznych.

🔔

β ≈ 3,6: Typu normalnego

Przybliża symetryczny rozkład normalny. Przydatny do modelowania trwałości zmęczeniowej.

Kluczowe wzory

Właściwość	Wzór	Opis
PDF	$\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}$	Gęstość prawdopodobieństwa w x
CDF	$F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta}$	Prawdopodobieństwo awarii do czasu x
Niezawodność	$R(x) = e^{-(x/\eta)^\beta}$	Prawdopodobieństwo przeżycia do czasu x
Hazard	$h(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1}$	Chwilowa intensywność uszkodzeń
Średnia	$\eta \cdot \Gamma(1 + 1/\beta)$	Średni czas do awarii (MTTF)
Wariancja	$\eta^2[\Gamma(1+2/\beta) - \Gamma^2(1+1/\beta)]$	Rozrzut czasu życia
Mediana	$\eta(\ln 2)^{1/\beta}$	50. percentyl czasu życia
Dominanta	$\eta\left(\frac{\beta-1}{\beta}\right)^{1/\beta}$ dla β > 1	Najbardziej prawdopodobny czas życia
Okres B	$\eta(-\ln(1-p))^{1/\beta}$	Czas, po którym p ułamka ulegnie awarii
Życie char.	$\eta$ → F(η) = 63,2%	Interpretacja parametru skali

Zastosowania w świecie rzeczywistym

Branża	Zastosowanie	Typowe β
Lotnictwo	Trwałość zmęczeniowa łopatek turbiny	2 – 4
Motoryzacja	Analiza zużycia łożysk	1,5 – 3
Elektronika	Śmiertelność niemowląt półprzewodników	0,3 – 0,8
Energetyka	Rozkład prędkości wiatru	1,5 – 3
Wyroby medyczne	Czas przeżycia implantów	1,5 – 5
Produkcja	Planowanie gwarancji i okres B10	1,5 – 4
Inżynieria lądowa	Wytrzymałość betonu i materiałów	5 – 20

Weibull vs. inne rozkłady

Cecha	Weibull	Wykładniczy	Log-normalny
Parametry	β (kształt), η (skala)	λ (intensywność)	μ, σ
Intensywność awarii	Elastyczna (↓, →, ↑)	Tylko stała	Rośnie, potem spada
Przypadek spec.	β=1 → Wykładniczy	Weibull β=1	—
Najlepszy dla	Zużycie mechaniczne	Zdarzenia losowe	Czasy napraw
Analiza okresu B	Natywne wsparcie	Ograniczone	Możliwe

Jak korzystać z kalkulatora rozkładu Weibulla

Wprowadź parametr kształtu β: Kontroluje on zachowanie intensywności uszkodzeń. Użyj β < 1 dla śmiertelności niemowląt, β = 1 dla stałej intensywności uszkodzeń (rozkład wykładniczy) lub β > 1 dla awarii wynikających ze zużycia. Typowe wartości mieszczą się w zakresie od 0,5 do 5. Plakietka wglądu w czasie rzeczywistym pokaże Ci, co oznacza Twoja wartość β.
Wprowadź parametr skali η: Jest to czas życia charakterystycznego — czas, po którym 63,2% jednostek uległo awarii. Ustala on skalę czasową dla rozkładu. Na przykład, jeśli łożysko ma η = 5000 godzin, to 63,2% łożysk ulegnie awarii do 5000 godziny.
Wybierz typ prawdopodobieństwa: Wybierz P(X ≤ x) dla prawdopodobieństwa awarii, R(x) = P(X > x) dla niezawodności (prawdopodobieństwa przeżycia) lub P(a ≤ X ≤ b) dla prawdopodobieństwa przedziałowego.
Wprowadź wartość czasu: Wprowadź czas, cykle lub wartość użytkową. W trybie przedziałowym wprowadź zarówno dolną, jak i górną granicę.
Przejrzyj wyniki: Przeanalizuj prawdopodobieństwo, animowany pasek prawdopodobieństwa, interaktywne wykresy PDF/CDF/funkcji hazardu, kamienie milowe niezawodności (MTTF, okres B1, B10), właściwości rozkładu i kompletne rozwiązanie krok po kroku z wzorami MathJax.

FAQ

Co to jest rozkład Weibulla?

Rozkład Weibulla to ciągły rozkład prawdopodobieństwa szeroko stosowany w inżynierii niezawodności i analizie awarii. Jest zdefiniowany przez dwa parametry: kształt β i skalę η. Jego elastyczność pozwala modelować malejące, stałe lub rosnące intensywności uszkodzeń w zależności od wartości β, co czyni go standardowym narzędziem do analizy danych dotyczących czasu życia w przemyśle lotniczym, motoryzacyjnym, elektronicznym i wielu innych.

Co oznacza parametr kształtu β?

Parametr kształtu β (beta) kontroluje zachowanie intensywności uszkodzeń. Gdy β jest mniejsze niż 1, intensywność uszkodzeń maleje z czasem, co modeluje śmiertelność niemowląt lub wczesne awarie. Gdy β wynosi 1, intensywność uszkodzeń jest stała, a Weibull sprowadza się do rozkładu wykładniczego. Gdy β jest większe niż 1, intensywność uszkodzeń rośnie z czasem, modelując zużycie i starzenie się. β około 3,6 przybliża rozkład normalny, co jest przydatne do symetrycznego modelowania trwałości zmęczeniowej.

Co to jest okres B10 w analizie Weibulla?

Okres B10 (zapisywany również jako B₁₀ lub L₁₀) to czas, w którym oczekuje się, że 10% populacji ulegnie awarii, co oznacza, że 90% przeżyje. Jest to kluczowy wskaźnik w inżynierii niezawodności stosowany do planowania gwarancji, harmonogramowania konserwacji i zgodności ze specyfikacjami. Podobnie okres B1 oznacza 1% awarii. Wartości te oblicza się z odwrotności dystrybuanty Weibulla: t = η × (−ln(1−p))^(1/β).

Jaki jest związek między rozkładem Weibulla a wykładniczym?

Rozkład wykładniczy jest szczególnym przypadkiem rozkładu Weibulla, gdy parametr kształtu β wynosi 1. W takim przypadku intensywność uszkodzeń jest stała w czasie, co odpowiada cechom braku pamięci. Weibull uogólnia rozkład wykładniczy, umożliwiając zmianę intensywności uszkodzeń w czasie — malejącą dla β mniejszego niż 1 i rosnącą dla β większego niż 1.

Co to jest czas życia charakterystycznego η?

Parametr skali η (eta), zwany również czasem życia charakterystycznego, to czas, w którym dokładnie 63,2% populacji uległo awarii. Jest to prawdziwe niezależnie od wartości β, ponieważ F(η) = 1 − e^(−1) ≈ 0,632. W inżynierii niezawodności η służy jako naturalny punkt odniesienia i skala czasowa dla rozkładu.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Rozkładu Weibulla" na https://MiniWebtool.com/pl// z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół MiniWebtool. Zaktualizowano: 2026-04-14

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Właściwość	Wzór	Opis
PDF	\(\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}\)	Gęstość prawdopodobieństwa w x
CDF	\(F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta}\)	Prawdopodobieństwo awarii do czasu x
Niezawodność	\(R(x) = e^{-(x/\eta)^\beta}\)	Prawdopodobieństwo przeżycia do czasu x
Hazard	\(h(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1}\)	Chwilowa intensywność uszkodzeń
Średnia	\(\eta \cdot \Gamma(1 + 1/\beta)\)	Średni czas do awarii (MTTF)
Wariancja	\(\eta^2[\Gamma(1+2/\beta) - \Gamma^2(1+1/\beta)]\)	Rozrzut czasu życia
Mediana	\(\eta(\ln 2)^{1/\beta}\)	50. percentyl czasu życia
Dominanta	\(\eta\left(\frac{\beta-1}{\beta}\right)^{1/\beta}\) dla β > 1	Najbardziej prawdopodobny czas życia
Okres B	\(\eta(-\ln(1-p))^{1/\beta}\)	Czas, po którym p ułamka ulegnie awarii
Życie char.	\(\eta\) → F(η) = 63,2%	Interpretacja parametru skali

Kalkulator Rozkładu Weibulla

O Kalkulator Rozkładu Weibulla

Co to jest rozkład Weibulla?

Parametr kształtu β i krzywa wannowa

Kluczowe wzory

Zastosowania w świecie rzeczywistym

Weibull vs. inne rozkłady

Jak korzystać z kalkulatora rozkładu Weibulla

FAQ

Polecane narzędzia: