Kalkulator Okresu Wahadła

Kalkulator Okresu Wahadła wykorzystuje klasyczny wzór na wahadło proste \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \), aby obliczyć okres \(T\), długość \(L\), lokalną grawitację \(g\) lub częstotliwość drgań własnych \(f\). Zawiera gotowe ustawienia grawitacji planetarnej, dokładną korektę dla dużych kątów przy użyciu szeregu całek eliptycznych, animację wahadła SVG na żywo oraz obliczenia energii i prędkości po podaniu masy ciężarka.

Jak korzystać z Kalkulatora Okresu Wahadła

1. Wybierz co chcesz obliczyć: T (okres), L (długość), g (grawitację) lub f (częstotliwość). Formularz dostosuje się, prosząc tylko o potrzebne dane.
2. Wybierz ustawienie planetarne — Ziemię, Księżyc, Marsa, Jowisza, Słońce, ISS i inne — lub przełącz na Własną i wpisz własną wartość g.
3. Wprowadź długość, okres lub dowolną kombinację wymaganą przez wybrany tryb.
4. Opcjonalnie: wprowadź amplitudę wahnięcia (w stopniach) i masę ciężarka. Kalkulator poda wtedy dokładny okres (spoza przybliżenia małych kątów), maksymalną wysokość, prędkość w dolnym punkcie oraz szczytową energię kinetyczną i potencjalną.
5. Naciśnij Oblicz i przejrzyj animację SVG, tabelę porównawczą między planetami, obliczenia krok po kroku oraz liczbę cykli na minutę / godzinę / dzień.

Co wyróżnia ten kalkulator

Wzór na okres wahadła

Dla punktowego ciężarka zawieszonego na nieważkim pręcie, wahającego się pod małym kątem w jednorodnym polu grawitacyjnym:

\[ T \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad L \;=\; g\left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^{\!2} \qquad\Longleftrightarrow\qquad g \;=\; \dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}} \]

Gdzie \(T\) to okres w sekundach, \(L\) to długość od punktu zawieszenia do środka masy ciężarka (metry), a \(g\) to lokalne przyspieszenie grawitacyjne (m/s²). Częstotliwość drgań własnych jest odwrotnością okresu: \( f = 1/T \), a częstotliwość kołowa wynosi \( \omega = 2\pi/T = \sqrt{g/L} \).

Dlaczego masa nie ma znaczenia

Jeśli zapiszemy drugą zasadę dynamiki Newtona dla ciężarka (masa \(m\)) zawieszonego na pręcie o długości \(L\) pod kątem \(\theta\), moment siły grawitacyjnej wynosi \(-m g L \sin\theta\), a moment bezwładności to \(m L^{2}\). Równanie ruchu:

\[ m L^{2} \ddot{\theta} \;=\; -m g L \sin\theta \quad\Rightarrow\quad \ddot{\theta} \;=\; -\dfrac{g}{L}\sin\theta. \]

Masa się skraca. Dwa wahadła o identycznej długości wahają się z dokładnie tym samym okresem, niezależnie od tego, jak ciężkie są ich ciężarki. Masa ciężarka wpływa jednak liniowo na energię kinetyczną i potencjalną (oraz napięcie w pręcie).

Mały kąt vs dokładny okres

Znany wzór \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) jest tylko pierwszym wyrazem szeregu. Dokładny okres wynosi:

\[ T_{exact} \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\;\left(1 + \tfrac{1}{16}\theta_0^{\,2} + \tfrac{11}{3072}\theta_0^{\,4} + \tfrac{173}{737280}\theta_0^{\,6} + \dots\right) \]

gdzie \(\theta_0\) to amplituda (połowa kąta rozwarcia) w radianach. Przybliżenie małych kątów zaniża okres o:

Wahadło sekundowe

Ustawienie \(T = 2\) s (tak, aby każde wahnięcie w jedną stronę trwało sekundę) przy \(g = 9.80665\) m/s² daje słynną długość "wahadła sekundowego":

\[ L \;=\; \dfrac{g\,T^{2}}{4\pi^{2}} \;=\; \dfrac{9.80665 \cdot 4}{4\pi^{2}} \;\approx\; 0.9936 \text{ m}. \]

Jest to konstrukcyjna długość każdego zegara stojącego i była niegdyś proponowana jako definicja metra. Ponieważ okres wahadła zależy od lokalnego \(g\), wahadło sekundowe skalibrowane w Londynie tyka inaczej na równiku — historycznie pozwoliło to geodetom na zmapowanie kształtu Ziemi.

Przykład: Wahadło 1 m na Ziemi

• Długość \(L = 1.00\) m, grawitacja \(g = 9.80665\) m/s².
• \( T = 2\pi\sqrt{1 / 9.80665} = 2.0064\) s (dla małych kątów).
• Częstotliwość \( f = 1/T \approx 0.4984 \) Hz; częstotliwość kołowa \( \omega \approx 3.132 \) rad/s.
• Przy amplitudzie 20° dokładny okres wynosi około 2.022 s — o 0,77% więcej.
• Jeśli masa ciężarka wynosi 0,5 kg i θ₀ = 20°, maks. wysokość wynosi \( h = L(1 - \cos 20°) \approx 0.060\) m, szczytowa EK = szczytowa EP \(\approx 0.295\) J, a prędkość maksymalna \( v = \sqrt{2gh} \approx 1.087\) m/s.

Często zadawane pytania

Jaki jest wzór na okres wahadła prostego?
Dla małych wahnięć, \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \). Okres zależy wyłącznie od długości i lokalnej grawitacji — nie od masy ciężarka ani amplitudy (o ile jest ona mała).

Czy masa ciężarka wpływa na okres?
Nie. Masa skraca się w równaniu ruchu. Ciężarek 1 kg i 100 g na tej samej nici będą się wahać w tym samym tempie. Masa wpływa jednak na energię kinetyczną, potencjalną oraz napięcie liny.

Jak planeta wpływa na okres wahadła?
Okres skaluje się jako \(1/\sqrt{g}\). Wahadło 1 m, które na Ziemi ma okres 2,01 s, na Księżycu (\(g \approx 1.62\)) miałoby okres 4,93 s, a na Jowiszu (\(g \approx 24.79\)) tylko 1,26 s. Tabela międzyplanetarna w wynikach pokazuje to obrazowo.

Dlaczego okres rośnie przy dużych amplitudach wahania?
Wzór dla małych kątów \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) wynika z zastąpienia \(\sin\theta\) przez \(\theta\). Dla większych kątów siła przywracająca jest słabsza niż sugeruje przybliżenie liniowe, więc ciężarek spędza więcej czasu w pobliżu punktów zwrotnych i okres rośnie. Dokładny wynik wymaga użycia całki eliptycznej.

Jak długie powinno być wahadło, aby wahało się raz na sekundę?
Jeśli przez "raz na sekundę" rozumiesz \(T = 1\) s, potrzebujesz \(L = g (T/2\pi)^2 \approx 0.0248\) m, czyli około 25 mm — bardzo krótkie! Wahadło sekundowe o długości 1 m ma w rzeczywistości okres 2 s, ponieważ historyczne "tyknięcie" odnosiło się do ruchu w jedną stronę.

Jak wahadło może mierzyć grawitację?
Przełącz tryb na Oblicz g. Wprowadź precyzyjnie zmierzoną długość i okres — kalkulator zwróci \( g = 4\pi^2 L / T^2 \). Jest to podstawa działania klasycznych grawimetrów wahadłowych.

Jaka jest różnica między wahadłem prostym a fizycznym?
Wahadło proste to wyidealizowana masa punktowa na nieważkiej nici. Wahadło fizyczne to każde rzeczywiste ciało sztywne, które waha się wokół osi. Jego okres to \( T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)} \), gdzie \(I\) to moment bezwładności względem osi obrotu, a \(d\) to odległość od osi do środka masy.