Kalkulator Dywergencji

Oblicz dywergencję ∇·F dowolnego pola wektorowego 2D lub 3D z obliczeniami pochodnych cząstkowych krok po kroku. Wprowadź funkcje składowe P, Q (oraz R dla 3D), otrzymaj dywergencję symboliczną, oblicz wartość w punkcie, zidentyfikuj źródła i ujścia oraz zobacz interaktywną wizualizację pola wektorowego z mapą ciepła dywergencji.

Embed Kalkulator Dywergencji Widget

O Kalkulator Dywergencji

Kalkulator Dywergencji oblicza dywergencję ∇·F dowolnego 2D lub 3D pola wektorowego wraz z pełnym obliczeniem pochodnych cząstkowych krok po kroku. Wprowadź składowe pola wektorowego P, Q (oraz R dla 3D), opcjonalnie oblicz wartość w konkretnym punkcie i otrzymaj dywergencję symboliczną, klasyfikację źródła/ujścia, a dla pól 2D – interaktywną wizualizację z mapą cieplną dywergencji i animowanym przepływem cząsteczek.

Co to jest dywergencja?

Dywergencja pola wektorowego $\mathbf{F}$ to operator o wartościach skalarnych, który mierzy tempo, w jakim pole „rozchodzi się” z danego punktu. Dla pola wektorowego 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

Dla pola 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, dywergencja to $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$. Dywergencja jest fundamentalnym pojęciem w rachunku wektorowym, dynamice płynów, elektromagnetyzmie i równaniach różniczkowych.

Fizyczne znaczenie dywergencji

🔴

Źródło (∇·F > 0)

Płyn wypływa na zewnątrz — więcej go opuszcza punkt niż do niego wpływa. Jak woda tryskająca z fontanny.

🔵

Ujście (∇·F < 0)

Płyn wpływa do wewnątrz — więcej go wpływa niż opuszcza punkt. Jak woda spływająca do odpływu.

🟢

Zero (∇·F = 0)

Przepływ nieściśliwy — tyle samo wpływa, co wypływa. Pole jest solenoidowe (bezźródłowe).

🔄

Twierdzenie Gaussa

Całkowita dywergencja wewnątrz objętości równa się strumieniowi wypadkowemu przez jej powierzchnię ograniczającą.

Wzory na dywergencję w różnych układach współrzędnych

Układ współrzędnych	Wzór na dywergencję
Kartezjański 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
Kartezjański 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
Cylindryczny	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
Sferyczny	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

Ważne tożsamości związane z dywergencją

Tożsamość	Wzór
Liniowość	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
Reguła iloczynu (skalar × wektor)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
Rotacja gradientu	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (zawsze)
Laplasjan	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (dywergencja gradientu = Laplasjan)
Twierdzenie o dywergencji (Gaussa-Ostrogradskiego)	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

Zastosowania dywergencji

Dziedzina	Zastosowanie	Co reprezentuje dywergencja
Elektromagnetyzm	Prawo Gaussa	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — gęstość ładunku tworzy dywergencję pola elektrycznego
Elektromagnetyzm	Pole magnetyczne	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — brak monopoli magnetycznych
Dynamika Płynów	Równanie ciągłości	$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ dla przepływu nieściśliwego
Wymiana Ciepła	Równanie ciepła	Dywergencja strumienia ciepła odnosi się do zmiany temperatury
Ogólna Teoria Względności	Równania pola Einsteina	Warunek bezźródłowości (zerowej dywergencji) tensora energii-pędu

Jak korzystać z Kalkulatora Dywergencji

Wybierz wymiar: Wybierz 2D dla pól F = ⟨P, Q⟩ lub 3D dla F = ⟨P, Q, R⟩ za pomocą przycisków przełączania.
Wprowadź funkcje składowe: Wpisz każdą funkcję składową (P, Q i opcjonalnie R) przy użyciu standardowego zapisu. Użyj ^ dla wykładników, * dla mnożenia oraz funkcji takich jak sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). Wspierane jest mnożenie niejawne (np. 2x = 2*x).
Wprowadź punkt ewaluacji (opcjonalnie): Podaj współrzędne oddzielone przecinkami, aby obliczyć wartość dywergencji numerycznie i sklasyfikować punkt jako źródło, ujście lub punkt nieściśliwy.
Kliknij Oblicz dywergencję: Zobacz symboliczny wzór na dywergencję, obliczenia pochodnych cząstkowych krok po kroku, ocenę numeryczną i klasyfikację źródła/ujścia.
Eksploruj wizualizację: W przypadku pól 2D zobacz strzałki pola wektorowego z kolorową mapą cieplną dywergencji (czerwony = źródło, niebieski = ujście) oraz animowany przepływ cząsteczek pokazujący zachowanie pola.

Przykład

Znajdź dywergencję $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ w punkcie $(1, 1)$:

Krok 1: Zidentyfikuj składowe: $P = x$, $Q = y$.

Krok 2: Oblicz pochodne cząstkowe: $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$.

Krok 3: Zsumuj je: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$.

Interpretacja: Ponieważ $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$, każdy punkt jest źródłem. Pole równomiernie rozszerza się na zewnątrz — wyobraź sobie płyn wypompowywany w każdym punkcie płaszczyzny.

FAQ

Co to jest dywergencja pola wektorowego?

Dywergencja to operator różniczkowy o wartościach skalarnych, który mierzy tempo, w jakim pole wektorowe rozszerza się lub kurczy w danym punkcie. Dla pola 3D F = (P, Q, R) dywergencja jest sumą pochodnych cząstkowych: ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Dodatnia dywergencja wskazuje na źródło (przepływ na zewnątrz), ujemna wskazuje na ujście (przepływ do wewnątrz), a zero oznacza przepływ nieściśliwy.

Jak obliczyć dywergencję?

Aby obliczyć dywergencję, należy wyznaczyć pochodną cząstkową każdej funkcji składowej względem odpowiadającej jej zmiennej, a następnie je zsumować. Dla pola 2D F = (P, Q) oblicz ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Dla 3D dodaj ∂R/∂z. Wynikiem jest funkcja skalarna (nie wektor), która mówi, jak bardzo pole rozszerza się lub kompresuje w każdym punkcie.

Co oznacza, gdy dywergencja wynosi zero?

Gdy dywergencja jest wszędzie równa zero, pole wektorowe nazywa się bezźródłowym lub solenoidowym. W dynamice płynów oznacza to, że płyn jest nieściśliwy — w żadnym punkcie nie występuje ekspansja ani kompresja netto. Pola magnetyczne zawsze mają zerową dywergencję (prawo Gaussa dla magnetyzmu: ∇·B = 0), a rotacja dowolnego pola wektorowego jest zawsze bezźródłowa (∇·(∇×F) = 0).

Jakie jest fizyczne znaczenie dywergencji?

Fizycznie dywergencja mierzy wypadkowy strumień wychodzący na jednostkę objętości w danym punkcie. Wyobraź sobie maleńkie pudełko w płynie: jeśli więcej płynu opuszcza pudełko niż do niego wpływa, dywergencja jest dodatnia (źródło). Jeśli więcej wpływa niż wypływa, jest ujemna (ujście). Koncepcja ta jest kluczowa dla praw zachowania w fizyce, pojawiając się w równaniu ciągłości, równaniach Maxwella i równaniu ciepła.

Jaka jest różnica między dywergencją a rotacją?

Dywergencja i rotacja to operatory różniczkowe działające na polach wektorowych, ale mierzą one różne właściwości. Dywergencja (∇·F) mierzy ekspansję lub kompresję i daje wynik skalarny. Rotacja (∇×F) mierzy wirowanie lub cyrkulację wokół punktu i daje wynik wektorowy. Pole może mieć niezerową dywergencję, ale zerową rotację (jak F = (x, y)), lub zerową dywergencję, ale niezerową rotację (jak F = (−y, x)), lub obie wartości niezerowe, lub obie równe zeru.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Dywergencji" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-dywergencji/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Aktualizacja: 2026-04-08

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Inne powiązane narzędzia:

Kalkulator Średniego Tempa ZmianNowy

Kalkulator RotacjiNowy

Kalkulator Wyznacznika

Kalkulator Gradientu WielozmiennowyNowy

Kalkulator Macierzy JakobianuNowy

Kalkulator macierzy

Analiza matematyczna:

Kalkulator konwolucji
Kalkulator pochodnych Polecane
Kalkulator pochodnych kierunkowych
Kalkulator podwójnych całek Polecane
Kalkulator pochodnej niejawnej
Kalkulator Całek Polecane
Kalkulator odwrotnej transformaty Laplace'a
Kalkulator transformaty Laplace'a
Kalkulator Granic
Kalkulator pochodnych cząstkowych Polecane
Kalkulator pochodnych jednej zmiennej
Kalkulator szeregu Taylora
Kalkulator całki potrójnej
Kalkulator promienia zbieżności
Kalkulator krzywizny
Kalkulator wrońskianu
Kalkulator metody Rungego-Kutty (RK4)
Kalkulator współczynników szeregu Fouriera
Kalkulator Objętości Bryły Obrotowej Nowy
Kalkulator Powierzchni Obrotowej Nowy
Kalkulator Sumy Riemanna Nowy
Kalkulator Reguły Trapezów Nowy
Kalkulator Reguły Simpsona Nowy
Kalkulator Całki Niewłaściwej Nowy
Kalkulator Reguły L'Hospitala Nowy
Kalkulator Szeregu Maclaurina Nowy
Kalkulator Szeregów Potęgowych Nowy
Kalkulator Testu Zbieżności Szeregów Nowy
Kalkulator Sumy Szeregów Nieskończonych Nowy
Kalkulator Średniego Tempa Zmian Nowy
Kalkulator Chwilowego Tempa Zmian Nowy
Kalkulator Pochodnych Powiązanych Nowy
Kalkulator Optymalizacji (Rachunek Różniczkowy) Nowy
Kalkulator Gradientu Wielozmiennowy Nowy
Kalkulator Dywergencji Nowy
Kalkulator Rotacji Nowy
Kalkulator Całki Krzywoliniowej Nowy
Kalkulator Całki Powierzchniowej Nowy
Kalkulator Metody Newtona Nowy
Solver Równań Różniczkowych Pierwszego Rzędu Nowy
Solver Równań Różniczkowych Drugiego Rzędu Nowy
Kreślarka Pola Kierunków i Nachyleń Nowy
Kalkulator Metody Eulera Nowy
Kalkulator Równania Bernoulliego Nowy
Solver Układów Równań Różniczkowych Nowy
Kalkulator Szybkiej Transformaty Fouriera (FFT) Nowy
Kalkulator Transformaty Z Nowy
Kalkulator Całkowania Numerycznego Nowy

Układ współrzędnych	Wzór na dywergencję
Kartezjański 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
Kartezjański 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
Cylindryczny	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
Sferyczny	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

Tożsamość	Wzór
Liniowość	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
Reguła iloczynu (skalar × wektor)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
Rotacja gradientu	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (zawsze)
Laplasjan	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (dywergencja gradientu = Laplasjan)
Twierdzenie o dywergencji (Gaussa-Ostrogradskiego)	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

Dziedzina	Zastosowanie	Co reprezentuje dywergencja
Elektromagnetyzm	Prawo Gaussa	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — gęstość ładunku tworzy dywergencję pola elektrycznego
Elektromagnetyzm	Pole magnetyczne	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — brak monopoli magnetycznych
Dynamika Płynów	Równanie ciągłości	\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\) dla przepływu nieściśliwego
Wymiana Ciepła	Równanie ciepła	Dywergencja strumienia ciepła odnosi się do zmiany temperatury
Ogólna Teoria Względności	Równania pola Einsteina	Warunek bezźródłowości (zerowej dywergencji) tensora energii-pędu

Kalkulator Dywergencji

O Kalkulator Dywergencji

Co to jest dywergencja?

Fizyczne znaczenie dywergencji

Wzory na dywergencję w różnych układach współrzędnych

Ważne tożsamości związane z dywergencją

Zastosowania dywergencji

Jak korzystać z Kalkulatora Dywergencji

Przykład

FAQ

Inne powiązane narzędzia:

Analiza matematyczna:

Polecane narzędzia: