Kalkulator Dywergencji

Oblicz dywergencję ∇·F dowolnego pola wektorowego 2D lub 3D z obliczeniami pochodnych cząstkowych krok po kroku. Wprowadź funkcje składowe P, Q (oraz R dla 3D), otrzymaj dywergencję symboliczną, oblicz wartość w punkcie, zidentyfikuj źródła i ujścia oraz zobacz interaktywną wizualizację pola wektorowego z mapą ciepła dywergencji.

Embed Kalkulator Dywergencji Widget

O Kalkulator Dywergencji

Kalkulator Dywergencji oblicza dywergencję ∇·F dowolnego 2D lub 3D pola wektorowego wraz z pełnym obliczeniem pochodnych cząstkowych krok po kroku. Wprowadź składowe pola wektorowego P, Q (oraz R dla 3D), opcjonalnie oblicz wartość w konkretnym punkcie i otrzymaj dywergencję symboliczną, klasyfikację źródła/ujścia, a dla pól 2D – interaktywną wizualizację z mapą cieplną dywergencji i animowanym przepływem cząsteczek.

Co to jest dywergencja?

Dywergencja pola wektorowego $\mathbf{F}$ to operator o wartościach skalarnych, który mierzy tempo, w jakim pole „rozchodzi się” z danego punktu. Dla pola wektorowego 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

Dla pola 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, dywergencja to $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$. Dywergencja jest fundamentalnym pojęciem w rachunku wektorowym, dynamice płynów, elektromagnetyzmie i równaniach różniczkowych.

Fizyczne znaczenie dywergencji

🔴

Źródło (∇·F > 0)

Płyn wypływa na zewnątrz — więcej go opuszcza punkt niż do niego wpływa. Jak woda tryskająca z fontanny.

🔵

Ujście (∇·F < 0)

Płyn wpływa do wewnątrz — więcej go wpływa niż opuszcza punkt. Jak woda spływająca do odpływu.

🟢

Zero (∇·F = 0)

Przepływ nieściśliwy — tyle samo wpływa, co wypływa. Pole jest solenoidowe (bezźródłowe).

🔄

Twierdzenie Gaussa

Całkowita dywergencja wewnątrz objętości równa się strumieniowi wypadkowemu przez jej powierzchnię ograniczającą.

Wzory na dywergencję w różnych układach współrzędnych

Układ współrzędnych	Wzór na dywergencję
Kartezjański 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
Kartezjański 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
Cylindryczny	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
Sferyczny	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

Ważne tożsamości związane z dywergencją

Tożsamość	Wzór
Liniowość	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
Reguła iloczynu (skalar × wektor)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
Rotacja gradientu	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (zawsze)
Laplasjan	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (dywergencja gradientu = Laplasjan)
Twierdzenie o dywergencji (Gaussa-Ostrogradskiego)	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

Zastosowania dywergencji

Dziedzina	Zastosowanie	Co reprezentuje dywergencja
Elektromagnetyzm	Prawo Gaussa	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — gęstość ładunku tworzy dywergencję pola elektrycznego
Elektromagnetyzm	Pole magnetyczne	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — brak monopoli magnetycznych
Dynamika Płynów	Równanie ciągłości	$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ dla przepływu nieściśliwego
Wymiana Ciepła	Równanie ciepła	Dywergencja strumienia ciepła odnosi się do zmiany temperatury
Ogólna Teoria Względności	Równania pola Einsteina	Warunek bezźródłowości (zerowej dywergencji) tensora energii-pędu

Jak korzystać z Kalkulatora Dywergencji

Wybierz wymiar: Wybierz 2D dla pól F = ⟨P, Q⟩ lub 3D dla F = ⟨P, Q, R⟩ za pomocą przycisków przełączania.
Wprowadź funkcje składowe: Wpisz każdą funkcję składową (P, Q i opcjonalnie R) przy użyciu standardowego zapisu. Użyj ^ dla wykładników, * dla mnożenia oraz funkcji takich jak sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). Wspierane jest mnożenie niejawne (np. 2x = 2*x).
Wprowadź punkt ewaluacji (opcjonalnie): Podaj współrzędne oddzielone przecinkami, aby obliczyć wartość dywergencji numerycznie i sklasyfikować punkt jako źródło, ujście lub punkt nieściśliwy.
Kliknij Oblicz dywergencję: Zobacz symboliczny wzór na dywergencję, obliczenia pochodnych cząstkowych krok po kroku, ocenę numeryczną i klasyfikację źródła/ujścia.
Eksploruj wizualizację: W przypadku pól 2D zobacz strzałki pola wektorowego z kolorową mapą cieplną dywergencji (czerwony = źródło, niebieski = ujście) oraz animowany przepływ cząsteczek pokazujący zachowanie pola.

Przykład

Znajdź dywergencję $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ w punkcie $(1, 1)$:

Krok 1: Zidentyfikuj składowe: $P = x$, $Q = y$.

Krok 2: Oblicz pochodne cząstkowe: $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$.

Krok 3: Zsumuj je: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$.

Interpretacja: Ponieważ $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$, każdy punkt jest źródłem. Pole równomiernie rozszerza się na zewnątrz — wyobraź sobie płyn wypompowywany w każdym punkcie płaszczyzny.

FAQ

Co to jest dywergencja pola wektorowego?

Dywergencja to operator różniczkowy o wartościach skalarnych, który mierzy tempo, w jakim pole wektorowe rozszerza się lub kurczy w danym punkcie. Dla pola 3D F = (P, Q, R) dywergencja jest sumą pochodnych cząstkowych: ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Dodatnia dywergencja wskazuje na źródło (przepływ na zewnątrz), ujemna wskazuje na ujście (przepływ do wewnątrz), a zero oznacza przepływ nieściśliwy.

Jak obliczyć dywergencję?

Aby obliczyć dywergencję, należy wyznaczyć pochodną cząstkową każdej funkcji składowej względem odpowiadającej jej zmiennej, a następnie je zsumować. Dla pola 2D F = (P, Q) oblicz ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Dla 3D dodaj ∂R/∂z. Wynikiem jest funkcja skalarna (nie wektor), która mówi, jak bardzo pole rozszerza się lub kompresuje w każdym punkcie.

Co oznacza, gdy dywergencja wynosi zero?

Gdy dywergencja jest wszędzie równa zero, pole wektorowe nazywa się bezźródłowym lub solenoidowym. W dynamice płynów oznacza to, że płyn jest nieściśliwy — w żadnym punkcie nie występuje ekspansja ani kompresja netto. Pola magnetyczne zawsze mają zerową dywergencję (prawo Gaussa dla magnetyzmu: ∇·B = 0), a rotacja dowolnego pola wektorowego jest zawsze bezźródłowa (∇·(∇×F) = 0).

Jakie jest fizyczne znaczenie dywergencji?

Fizycznie dywergencja mierzy wypadkowy strumień wychodzący na jednostkę objętości w danym punkcie. Wyobraź sobie maleńkie pudełko w płynie: jeśli więcej płynu opuszcza pudełko niż do niego wpływa, dywergencja jest dodatnia (źródło). Jeśli więcej wpływa niż wypływa, jest ujemna (ujście). Koncepcja ta jest kluczowa dla praw zachowania w fizyce, pojawiając się w równaniu ciągłości, równaniach Maxwella i równaniu ciepła.

Jaka jest różnica między dywergencją a rotacją?

Dywergencja i rotacja to operatory różniczkowe działające na polach wektorowych, ale mierzą one różne właściwości. Dywergencja (∇·F) mierzy ekspansję lub kompresję i daje wynik skalarny. Rotacja (∇×F) mierzy wirowanie lub cyrkulację wokół punktu i daje wynik wektorowy. Pole może mieć niezerową dywergencję, ale zerową rotację (jak F = (x, y)), lub zerową dywergencję, ale niezerową rotację (jak F = (−y, x)), lub obie wartości niezerowe, lub obie równe zeru.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Dywergencji" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-dywergencji/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Aktualizacja: 2026-04-08

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Kalkulator Dywergencji

O Kalkulator Dywergencji

Co to jest dywergencja?

Fizyczne znaczenie dywergencji

Wzory na dywergencję w różnych układach współrzędnych

Ważne tożsamości związane z dywergencją

Zastosowania dywergencji

Jak korzystać z Kalkulatora Dywergencji

Przykład

FAQ

Analiza matematyczna:

Polecane narzędzia:

Układ współrzędnych	Wzór na dywergencję
Kartezjański 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
Kartezjański 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
Cylindryczny	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
Sferyczny	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

Tożsamość	Wzór
Liniowość	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
Reguła iloczynu (skalar × wektor)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
Rotacja gradientu	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (zawsze)
Laplasjan	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (dywergencja gradientu = Laplasjan)
Twierdzenie o dywergencji (Gaussa-Ostrogradskiego)	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

Dziedzina	Zastosowanie	Co reprezentuje dywergencja
Elektromagnetyzm	Prawo Gaussa	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — gęstość ładunku tworzy dywergencję pola elektrycznego
Elektromagnetyzm	Pole magnetyczne	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — brak monopoli magnetycznych
Dynamika Płynów	Równanie ciągłości	\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\) dla przepływu nieściśliwego
Wymiana Ciepła	Równanie ciepła	Dywergencja strumienia ciepła odnosi się do zmiany temperatury
Ogólna Teoria Względności	Równania pola Einsteina	Warunek bezźródłowości (zerowej dywergencji) tensora energii-pędu