Algebra Liniowa

Rozłóż symetryczną macierz dodatnio określoną na A = LLᵀ dzięki animowanym obliczeniom krok po kroku. Zobacz każdy element macierzy dolnotrójkątnej L wyprowadzony za pomocą pełnych formuł, zweryfikuj wynik i poznaj faktoryzację wizualnie.

Diagonalizuj macierz kwadratową obliczając wartości własne, wektory własne i rozkład A = PDP⁻¹. Obsługuje macierze od 2×2 do 5×5 z rozwiązaniami krok po kroku, wielomianem charakterystycznym, analizą krotności i interaktywną wizualizacją.

Oblicz długość, czyli normę euklidesową, wektora 2D, 3D lub n-wymiarowego. Uzyskaj obliczenia krok po kroku: każdą podniesioną do kwadratu składową, sumę pod pierwiastkiem i wynikowy pierwiastek kwadratowy, wraz z diagramem wektora.

Przeprowadź ortonormalizację zbioru liniowo niezależnych wektorów metodą Grama-Schmidta. Uzyskaj szczegółowe rzuty, bazy ortogonalne i ortonormalne, weryfikację ortogonalności oraz interaktywną wizualizację wektorów.

Oblicz iloczyn skalarny dwóch wektorów w 2D, 3D lub wyższych wymiarach. Uzyskaj kąt między nimi, długości, rzuty skalarne i wektorowe, znaczenie geometryczne oraz wzory krok po kroku z interaktywnym diagramem.

Oblicz iloczyn tensorowy, zwany również iloczynem Kroneckera, dwóch macierzy prostokątnych z dokładną arytmetyką ułamkową, wizualizacją blokową, wynikami gotowymi do skopiowania i objaśnieniami z zakresu algebry liniowej.

Oblicz iloczyn wektorowy dwóch wektorów 3D wzorem wyznacznikowym. Uzyskaj rozwinięcie krok po kroku, prostopadły wektor wynikowy, jego długość jako pole równoległoboku, sprawdzenie kierunku i wizualizację 3D.

Oblicz kąt między dwoma wektorami 2D lub 3D, korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny cos(θ) = (a·b)/(|a||b|). Uzyskaj rozwiązanie krok po kroku, wyniki w stopniach i radianach oraz interaktywny diagram.

Obliczaj operacje na macierzach z rozwiązaniami krok po kroku: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, odwrotność, transpozycja i wyznacznik. Wizualna prezentacja macierzy ze szczegółowymi objaśnieniami.

Oblicz macierz Jakobiego funkcji wektorowej wielu zmiennych. Wpisz składowe przekształcenia, by uzyskać każdą pochodną cząstkową, wyznacznik, wartości własne, rozwiązanie krok po kroku i wizualizację deformacji siatki.

Oblicz macierz odwrotną do macierzy kwadratowej metodą eliminacji Gaussa-Jordana ze szczegółowymi operacjami na wierszach. Obsługuje macierze od 2×2 do 6×6 z dokładną arytmetyką ułamkową, obliczaniem wyznacznika i weryfikacją A×A⁻¹=I.

Pomnóż dwie macierze ze szczegółowymi obliczeniami poszczególnych elementów krok po kroku. Zobacz każdy iloczyn skalarny w rozbiciu na części, z kolorową wizualizacją wiersz × kolumna. Obsługuje macierze do 5×5.

Oblicz postać kanoniczną Jordana macierzy kwadratowej wraz z macierzą przejścia P, gdzie P^-1 A P = J. Obsługuje macierze zdegenerowane, niediagonalizowalne, przez uogólnione wektory własne, z analizą łańcuchów jądra i diagramem blokowym.

Oblicz potęgę macierzy kwadratowej A podniesionej do dowolnego wykładnika całkowitego n. Zobacz każdy krok mnożenia animowany, macierze pośrednie od A¹ do Aⁿ, właściwości wyznacznika i śladu, z formułami MathJax i interaktywną wizualizacją.

Oblicz projekcję wektorową i projekcję skalarną jednego wektora na drugi. Obsługuje wektory 2D i 3D z wzorami krok po kroku, interaktywnym diagramem i rozkładem ortogonalnym.

Znajdź przestrzeń kolumnową i bazę dowolnej macierzy za pomocą eliminacji Gaussa. Zobacz każdy krok operacji na wierszach z wyróżnieniem kolumn osiowych, rzędem, wymiarem i interaktywną wizualizacją dla przestrzeni 2D/3D.

Oblicz rozkład LU dowolnej macierzy kwadratowej z częściowym wyborem elementu podstawowego (pivoting). Otrzymaj macierz dolnotrójkątną (L), górnotrójkątną (U) oraz macierz permutacji (P) wraz z eliminacją Gaussa krok po kroku i weryfikacją.

Rozkładaj funkcje wymierne na ułamki proste dzięki szczegółowym rozwiązaniom krok po kroku, analizie współczynników i wizualnemu podziałowi rozkładu.

Rozłóż dowolną macierz na ortogonalną Q i górnotrójkątną R metodą Grama-Schmidta. Obsługuje macierze od 2x2 do 5x5 z animowaną ortogonalizacją krok po kroku i sprawdzeniem, że Q transponowane razy Q daje macierz jednostkową.

Oblicz rozkład SVD dowolnej macierzy, rozkładając A na U, Sigma i V transponowane. Zawiera rozwiązania krok po kroku, interaktywną wizualizację 3D, analizę rzędu, liczbę uwarunkowania i zastosowania w kompresji danych.

Sprowadź dowolną macierz do zredukowanej postaci schodkowej ze szczegółowymi operacjami wierszowymi krok po kroku. Podaj macierz i zobacz każdy pivot, zamianę i eliminację, a potem odczytaj rząd, jądro, kolumny wiodące i zmienne swobodne.

Oblicz rząd dowolnej macierzy, używając eliminacji Gaussa (postać schodkowa). Uzyskaj redukcję wierszową krok po kroku, analizę elementów osiowych, wymiary przestrzeni kolumnowej i zerowej oraz mapę ciepła. Obsługuje macierze do 10×10.

Oblicz ślad macierzy kwadratowej (sumę elementów na przekątnej), zweryfikuj jego równość z sumą wartości własnych, poznaj właściwości śladu i zwizualizuj przekątną za pomocą interaktywnej mapy ciepła. Obsługuje macierze do 10×10.

Obliczaj wartości własne i wektory własne macierzy 2x2 i 3x3 ze szczegółowymi rozwiązaniami krok po kroku, wyprowadzeniem wielomianu charakterystycznego, interaktywną wizualizacją i analizą właściwości macierzy.

Oblicz wektor jednostkowy w kierunku dowolnego wektora 2D, 3D lub n-wymiarowego. Uzyskaj długość, każdą znormalizowaną składową, kąty kierunkowe, normalizację krok po kroku i wizualny dowód, że wynik ma długość 1.

Darmowy kalkulator wektorowy online z rozwiązaniami krok po kroku. Oblicz iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, długość wektora, wektor jednostkowy, kąt między wektorami, rzutowanie i inne parametry z interaktywną wizualizacją 3D.

Oblicz wielomian charakterystyczny det(A − λI) macierzy kwadratowej. Obsługuje macierze od 2×2 do 6×6 z rozwinięciem Laplace’a krok po kroku, wyznaczaniem wartości własnych, analizą współczynników i interaktywną wizualizacją wielomianu.

Oblicz eksponentę macierzy e^(At) i użyj jej jako macierzy przejścia stanu dla liniowych układów ODE. Wpisz A, czas t i opcjonalny wektor początkowy, by uzyskać x(t), szczegóły skalowania Padego i animowany diagram fazowy przepływu.

Oblicz wyznacznik dowolnej macierzy kwadratowej ze szczegółowym rozwiązaniem krok po kroku, rozwinięciem Laplace'a, analizą właściwości macierzy i rozwiązaniami wizualnymi.

Rozwiązywanie układów 2 lub 3 równań liniowych metodą Cramera. Wprowadź współczynniki, aby uzyskać obliczenia krok po kroku z animowaną wizualizacją macierzy, interpretacją geometryczną i pełnym rozwiązaniem.

Find the null space (kernel) of any matrix by solving Ax = 0 using Gaussian elimination. Get the basis vectors, nullity, step-by-step RREF reduction, and rank-nullity theorem verification with exact fractional arithmetic.