Algebra Liniowa

Rozłóż symetryczną macierz dodatnio określoną w postaci A = LLᵀ za pomocą kalkulatora rozkładu Cholesky’ego MiniWebtool. Dolnotrójkątny czynnik powstaje krok po kroku, a następnie zostaje pomnożony przez transpozycję w celu sprawdzenia odtworzenia macierzy wejściowej.

Diagonalizuj macierz kwadratową w kalkulatorze MiniWebtool, obliczając wartości i wektory własne oraz rozkład A = PDP⁻¹. Obsługuje macierze 2×2 do 5×5 i oferuje rozwiązania krok po kroku, wielomian charakterystyczny, analizę krotności i interaktywną wizualizację.

Oblicz długość, czyli normę euklidesową, wektora 2D, 3D lub n-wymiarowego za pomocą kalkulatora MiniWebtool. Zobacz obliczenia krok po kroku: kwadraty składowych, sumę pod pierwiastkiem i końcowy pierwiastek kwadratowy, a także diagram wektora.

Prześledź każdy rzut w procesie Grama-Schmidta za pomocą kalkulatora Grama-Schmidta MiniWebtool. Podaj liniowo niezależne wektory, aby otrzymać bazy ortogonalne i ortonormalne; obliczenia pośrednie i kontrole pokazują wzajemne relacje wektorów.

Kalkulator iloczynu skalarnego MiniWebtool sumuje iloczyny odpowiadających sobie składowych wektorów w 2D, 3D lub większej liczbie wymiarów. Skalarowi towarzyszą długości wektorów, kąty i rzuty, jeśli są określone; dostępne są kroki obliczeń i diagram wektorów.

Oblicz iloczyn Kroneckera za pomocą kalkulatora iloczynu tensorowego MiniWebtool. Dwie macierze prostokątne dają wynik w postaci dokładnych ułamków; wizualizacja blok po bloku i wynik do skopiowania wyjaśniają, jak każdy wpis rozwija drugą macierz.

Kalkulator iloczynu wektorowego MiniWebtool wyznacza wektor prostopadły do dwóch wektorów 3D. Składowe dają iloczyn wektorowy, jego długość i powiązany kąt; rozwinięcie wyznacznika oraz obracany diagram potwierdzają prostopadłość.

Oblicz kąt między dwoma wektorami 2D lub 3D za pomocą kalkulatora MiniWebtool i wzoru na iloczyn skalarny cos(θ) = (a·b)/(|a||b|). Uzyskaj rozwiązanie krok po kroku, wynik w stopniach i radianach, interaktywny diagram wektorów oraz interpretację geometryczną.

Wykonuj typowe operacje na macierzach za pomocą kalkulatora macierzy MiniWebtool. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, transpozycja, wyznacznik i macierz odwrotna są prezentowane w uporządkowanym widoku z objaśnieniem, jak wyznaczono poszczególne elementy.

Kalkulator macierzy Jacobiego MiniWebtool układa pochodne cząstkowe funkcji wektorowej w macierz. Podaj maksymalnie sześć składowych i zmiennych, aby otrzymać obliczenia krok po kroku; w odpowiednich przypadkach dostępne są wyznacznik i wartości własne.

Znajdź macierz odwrotną do kwadratowej macierzy od 2×2 do 6×6 za pomocą kalkulatora macierzy odwrotnej MiniWebtool. Obliczenia metodą Gaussa-Jordana i wyznacznik objaśniają odwracalność; mnożenie przez wynik sprawdza, czy otrzymano macierz jednostkową.

Prześledź każdy iloczyn skalarny wiersza i kolumny w kalkulatorze mnożenia macierzy MiniWebtool. Wprowadź dwie zgodne macierze o wymiarach do 5×5, aby zobaczyć iloczyn i poszczególne obliczenia wypełniające jego elementy.

Niektórych macierzy nie da się diagonalizować, ale można je przedstawić za pomocą bloków Jordana. Kalkulator postaci normalnej Jordana MiniWebtool oblicza J i macierz przejścia P, objaśnia łańcuchy wektorów uogólnionych i pokazuje strukturę blokową.

Kalkulator potęg macierzy MiniWebtool podnosi macierz kwadratową do wybranego wykładnika całkowitego. Obliczenia pośrednie i kontekst własności macierzy wyjaśniają wielokrotne mnożenie; ujemne potęgi wymagają macierzy odwracalnej.

Oblicz rzut wektorowy i skalarny jednego wektora na drugi za pomocą kalkulatora MiniWebtool. Obsługuje wektory 2D i 3D, wzory krok po kroku, interaktywny diagram i rozkład ortogonalny.

Wyznacz obraz macierzy za pomocą kalkulatora przestrzeni kolumnowej MiniWebtool. Redukcja wierszowa wskazuje kolumny bazowe, a odpowiadające im kolumny oryginalne tworzą bazę; rząd, wymiar jądra i operacje krok po kroku objaśniają wynik.

Kalkulator rozkładu LU macierzy MiniWebtool rozkłada macierz kwadratową do 8×8 z częściowym wyborem elementu głównego. Macierze dolna, górna i permutacji pokazują, jak eliminacja i zamiana wierszy odtwarzają pierwotny układ.

Rozłóż wyrażenie wymierne na prostsze składniki za pomocą kalkulatora rozkładu na ułamki proste MiniWebtool. Obliczenia współczynników i wizualne rozbicie pokazują, jak oddzielne ułamki składają się z powrotem na pierwotną funkcję.

Kalkulator rozkładu QR MiniWebtool wykorzystuje ortogonalizację Grama–Schmidta do rozkładu obsługiwanych macierzy od 2×2 do 5×5 na macierze Q i R. Animowane kroki objaśniają rzuty, a test ortogonalności porównuje QᵀQ z macierzą jednostkową.

Kalkulator rozkładu według wartości osobliwych (SVD) MiniWebtool rozkłada macierz rzeczywistą o wymiarach do 10×10 na U, Σ i transpozycję V, podając także rząd i liczbę uwarunkowania do oceny struktury numerycznej.

Prześledź redukcję macierzy za pomocą kalkulatora zredukowanej postaci schodkowej MiniWebtool. Każdy pivot, zamiana wierszy i eliminacja prowadzą do zredukowanej postaci schodkowej, a dla macierzy uzupełnionej podawane są rząd, wymiar jądra i informacje o rozwiązaniu.

Wyznacz liczbę liniowo niezależnych wierszy lub kolumn za pomocą kalkulatora rzędu macierzy MiniWebtool. Obsługuje macierze do 10×10 i pokazuje eliminację do postaci schodkowej wraz z wymiarami przestrzeni kolumn i jądra.

Ślad macierzy jest sumą elementów na jej głównej przekątnej. Kalkulator śladu macierzy MiniWebtool wyróżnia te elementy dla macierzy do 10×10 i porównuje sumę ze sumą wartości własnych.

Znajdź niezmiennicze kierunki macierzy za pomocą kalkulatora wartości własnych i wektorów własnych MiniWebtool. Macierz 2×2 lub 3×3 daje wartości własne i odpowiadające im wektory własne, a także kroki wyznaczania wielomianu charakterystycznego i geometrię przekształcenia.

Kalkulator wektora jednostkowego MiniWebtool normalizuje niezerowy wektor, dzieląc go przez jego długość. Wprowadź dwa, trzy lub maksymalnie 50 składowych, aby zobaczyć wektor jednostkowy i odpowiednie informacje o kątach kierunkowych.

Kalkulator wektorów MiniWebtool to darmowe narzędzie online z rozwiązaniami krok po kroku dla iloczynu skalarnego i wektorowego, długości, wektora jednostkowego, kąta między wektorami, rzutu i innych działań; zawiera interaktywną wizualizację 3D.

Oblicz det(λI − A) za pomocą kalkulatora wielomianu charakterystycznego MiniWebtool. Dla macierzy kwadratowej od 2×2 do 6×6 otrzymasz rozwiniętą i rozłożoną na czynniki postać wielomianu, wartości własne z krotnościami oraz obliczenia macierzowe krok po kroku.

Użyj eksponenty macierzy do analizy liniowego układu równań różniczkowych. Kalkulator eksponenty macierzy MiniWebtool oblicza e^(At) i może zastosować ją do wektora początkowego; pokazuje szczegóły metody numerycznej i wizualizację przepływu na płaszczyźnie fazowej.

Kalkulator wyznacznika MiniWebtool oblicza wyznacznik macierzy kwadratowej i objaśnia rozwinięcie względem dopełnień algebraicznych. Podaj macierz, aby sprawdzić wyznacznik i jego znaczenie dla własności takich jak osobliwość macierzy.

Rozwiąż układ liniowy z dwiema lub trzema niewiadomymi za pomocą wyznaczników w kalkulatorze reguły Cramera MiniWebtool. Współczynniki i wyrazy wolne wyznaczają kroki zastępowania kolumn i ilorazy wyznaczników, gdy układ ma jedno rozwiązanie.

Kalkulator jądra macierzy MiniWebtool wyznacza bazę wszystkich wektorów spełniających Ax = 0. Redukcja wierszowa z ułamkami dokładnymi ujawnia zmienne swobodne; wymiar jądra i kontrola twierdzenia o rzędzie i wymiarze jądra łączą zbiór rozwiązań z wymiarami macierzy.