Algebra Liniowa

Rozłóż symetryczną macierz dodatnio określoną na A = LLᵀ dzięki animowanym obliczeniom krok po kroku. Zobacz każdy element macierzy dolnotrójkątnej L wyprowadzony za pomocą pełnych formuł, zweryfikuj wynik i poznaj faktoryzację wizualnie.

Diagonalizuj macierz kwadratową obliczając wartości własne, wektory własne i rozkład A = PDP⁻¹. Obsługuje macierze od 2×2 do 5×5 z rozwiązaniami krok po kroku, wielomianem charakterystycznym, analizą krotności i interaktywną wizualizacją.

Oblicz długość, czyli normę euklidesową, wektora 2D, 3D lub n-wymiarowego. Uzyskaj obliczenia krok po kroku: każdą podniesioną do kwadratu składową, sumę pod pierwiastkiem i wynikowy pierwiastek kwadratowy, wraz z diagramem wektora.

Przeprowadź ortonormalizację zbioru liniowo niezależnych wektorów metodą Grama-Schmidta. Uzyskaj szczegółowe rzuty, bazy ortogonalne i ortonormalne, weryfikację ortogonalności oraz interaktywną wizualizację wektorów.

Podaj dwa wektory w 2D, 3D albo nawet w 50 wymiarach, aby otrzymać iloczyn skalarny, kąt między nimi oraz rzut skalarny i wektorowy.

Oblicz iloczyn tensorowy, zwany również iloczynem Kroneckera, dwóch macierzy prostokątnych z dokładną arytmetyką ułamkową, wizualizacją blokową, wynikami gotowymi do skopiowania i objaśnieniami z zakresu algebry liniowej.

Podaj współrzędne dwóch wektorów 3D, aby obliczyć ich iloczyn wektorowy, wektor prostopadły i pole równoległoboku, z rozwinięciem wyznacznika krok po kroku.

Oblicz kąt między dwoma wektorami 2D lub 3D, korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny cos(θ) = (a·b)/(|a||b|). Uzyskaj rozwiązanie krok po kroku, wyniki w stopniach i radianach oraz interaktywny diagram.

Obliczaj operacje na macierzach z rozwiązaniami krok po kroku: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, odwrotność, transpozycja i wyznacznik. Wizualna prezentacja macierzy ze szczegółowymi objaśnieniami.

Podaj do 6 składowych funkcji i do 6 zmiennych, aby obliczyć macierz Jakobianu, wyznacznik, wartości własne i rozwiązanie krok po kroku.

Wpisz macierz kwadratową od 2x2 do 6x6. Otrzymasz macierz odwrotną metodą eliminacji Gaussa-Jordana, wyznacznik i sprawdzenie, że iloczyn A oraz A^-1 daje I.

Pomnóż dwie macierze o wymiarach do 5×5, z obliczeniem każdego elementu krok po kroku i rozpisaniem iloczynu wiersz po kolumnie.

Oblicz postać kanoniczną Jordana macierzy kwadratowej wraz z macierzą przejścia P, gdzie P^-1 A P = J. Obsługuje macierze zdegenerowane, niediagonalizowalne, przez uogólnione wektory własne, z analizą łańcuchów jądra i diagramem blokowym.

Oblicz potęgę macierzy kwadratowej A podniesionej do dowolnego wykładnika całkowitego n. Zobacz każdy krok mnożenia animowany, macierze pośrednie od A¹ do Aⁿ, właściwości wyznacznika i śladu, z formułami MathJax i interaktywną wizualizacją.

Oblicz projekcję wektorową i projekcję skalarną jednego wektora na drugi. Obsługuje wektory 2D i 3D z wzorami krok po kroku, interaktywnym diagramem i rozkładem ortogonalnym.

Znajdź przestrzeń kolumnową i bazę dowolnej macierzy za pomocą eliminacji Gaussa. Zobacz każdy krok operacji na wierszach z wyróżnieniem kolumn osiowych, rzędem, wymiarem i interaktywną wizualizacją dla przestrzeni 2D/3D.

Wpisz macierz kwadratową do 8x8. Otrzymasz macierz dolną, górną i permutacji z eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego.

Rozkładaj funkcje wymierne na ułamki proste dzięki szczegółowym rozwiązaniom krok po kroku, analizie współczynników i wizualnemu podziałowi rozkładu.

Rozłóż dowolną macierz na ortogonalną Q i górnotrójkątną R metodą Grama-Schmidta. Obsługuje macierze od 2x2 do 5x5 z animowaną ortogonalizacją krok po kroku i sprawdzeniem, że Q transponowane razy Q daje macierz jednostkową.

Wpisz macierz o wymiarach najwyżej 10 na 10. Otrzymasz U, Sigmę i transpozycję V oraz rząd i wskaźnik uwarunkowania.

Sprowadź dowolną macierz do zredukowanej postaci schodkowej ze szczegółowymi operacjami wierszowymi krok po kroku. Podaj macierz i zobacz każdy pivot, zamianę i eliminację, a potem odczytaj rząd, jądro, kolumny wiodące i zmienne swobodne.

Podaj macierz o wymiarze do 10×10. Otrzymasz jej rząd z postaci schodkowej oraz wymiary przestrzeni kolumn i jądra.

Oblicz ślad macierzy kwadratowej (sumę elementów na przekątnej), zweryfikuj jego równość z sumą wartości własnych, poznaj właściwości śladu i zwizualizuj przekątną za pomocą interaktywnej mapy ciepła. Obsługuje macierze do 10×10.

Wpisz macierz 2×2 albo 3×3, aby otrzymać jej wartości własne i wektory własne, wielomian charakterystyczny oraz kroki rozwiązania.

Wpisz wektor 2D, 3D albo dłuższy, do 50 wymiarów, aby otrzymać jego długość, wektor jednostkowy i kąty kierunkowe.

Darmowy kalkulator wektorowy online z rozwiązaniami krok po kroku. Oblicz iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, długość wektora, wektor jednostkowy, kąt między wektorami, rzutowanie i inne parametry z interaktywną wizualizacją 3D.

Oblicz wielomian charakterystyczny det(A − λI) macierzy kwadratowej. Obsługuje macierze od 2×2 do 6×6 z rozwinięciem Laplace’a krok po kroku, wyznaczaniem wartości własnych, analizą współczynników i interaktywną wizualizacją wielomianu.

Oblicz eksponentę macierzy e^(At) i użyj jej jako macierzy przejścia stanu dla liniowych układów ODE. Wpisz A, czas t i opcjonalny wektor początkowy, by uzyskać x(t), szczegóły skalowania Padego i animowany diagram fazowy przepływu.

Wpisz macierz kwadratową o wymiarach do 10 na 10, aby obliczyć wyznacznik rozwinięciem względem dopełnień, z krokami i własnościami macierzy.

Rozwiązywanie układów 2 lub 3 równań liniowych metodą Cramera. Wprowadź współczynniki, aby uzyskać obliczenia krok po kroku z animowaną wizualizacją macierzy, interpretacją geometryczną i pełnym rozwiązaniem.

Podaj macierz. Otrzymasz bazę rozwiązań równania Ax = 0, wymiar jądra, kroki redukcji wierszowej i sprawdzenie twierdzenia o rzędzie i jądrze w dokładnych ułamkach.