Kalkulator Dwusiecznej Kąta

Oblicz dwusieczne kątów trójkąta. Wprowadź trzy boki lub współrzędne wierzchołków, aby znaleźć długości dwusiecznych, punkty podziału na przeciwległych bokach, środek i promień okręgu wpisanego.

BezpłatneBez rejestracjiNatychmiastowe wyniki

Kalkulator Dwusiecznej KątaWypróbuj teraz — za darmo ▼

Embed Kalkulator Dwusiecznej Kąta Widget

O Kalkulator Dwusiecznej Kąta

Kalkulator dwusiecznej kąta oblicza dwusieczne kątów dowolnego trójkąta. Wprowadź długości trzech boków lub współrzędne trzech wierzchołków, a kalkulator wyznaczy długości wszystkich trzech dwusiecznych, punkty styku każdej dwusiecznej z przeciwległym bokiem, środek i promień okręgu wpisanego oraz wyświetli interaktywny schemat. Wszystkie obliczenia zawierają wzory MathJax krok po kroku.

∠

Dwusieczna kąta

Odcinek łączący wierzchołek z przeciwległym bokiem, dzielący kąt na dwie równe połowy.

◉

Środek okr. wpis.

Punkt przecięcia wszystkich trzech dwusiecznych. Jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt.

⊙

Promień okr. wpis.

Promień okręgu wpisanego, równy polu podzielonemu przez połowę obwodu: r = K/s.

⚖

Tw. o dwusiecznej

Dwusieczna z A dzieli bok BC w stosunku AB:AC = c:b (proporcjonalnie do przyległych boków).

Wzory na dwusieczną kąta

Właściwość	Wzór	Opis
Długość dwusiecznej (z A)	\( t_a = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} \)	Długość dwusiecznej kąta z wierzchołka A do boku BC
Wzór alternatywny	\( t_a = \frac{\sqrt{bc[(b+c)^2 - a^2]}}{b+c} \)	Używa tylko długości boków, bez trygonometrii
Twierdzenie o dwusiecznej	\( \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} = \frac{AB}{AC} \)	Stosunek podziału przeciwległego boku przez dwusieczną
Odcinek podziału	\( BD = \frac{ac}{b+c} \)	Długość od B do punktu podziału D na boku BC
Środek okręgu wpisanego	\( I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c} \)	Średnia ważona wierzchołków przy użyciu długości przeciwległych boków
Promień okręgu wpisanego	\( r = \frac{K}{s} \)	Pole K podzielone przez połowę obwodu s

Jak korzystać z tego kalkulatora

Wybierz tryb wprowadzania: Wybierz "Trzy boki", jeśli znasz a, b, c, lub "Trzy wierzchołki", jeśli posiadasz współrzędne.
Wprowadź wartości: Wpisz długości trzech boków lub współrzędne (x, y) dla każdego wierzchołka. Użyj przycisków szybkich przykładów, aby wypróbować gotowe trójkąty.
Kliknij Oblicz: Naciśnij przycisk "Oblicz dwusieczne kątów", aby zobaczyć wyniki.
Eksploruj schemat: Przełączaj warstwy (dwusieczne, punkty podziału, okrąg wpisany, łuki kątów, etykiety), aby skupić się na określonych właściwościach.
Przejrzyj wzory: Przewiń w dół do rozwiązania krok po kroku, aby zobaczyć każdy wzór z podstawionymi wartościami.

Zrozumienie twierdzenia o dwusiecznej kąta

Twierdzenie o dwusiecznej kąta jest jednym z fundamentalnych wyników w geometrii trójkąta. Mówi ono, że jeśli półprosta dwusieczna dzieli kąt trójkąta, to dzieli ona przeciwległy bok na dwa odcinki, które są proporcjonalne do pozostałych dwóch boków. W szczególności, jeśli dwusieczna z wierzchołka A styka się z bokiem BC w punkcie D, to BD/DC = AB/AC = c/b.

Twierdzenie to ma wiele praktycznych zastosowań: jest używane przy konstruowaniu trójkątów, dowodzeniu własności okręgu wpisanego oraz w zadaniach z geometrii analitycznej. Wzór na długość dwusiecznej kąta \( t_a = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} \) można wyprowadzić, stosując twierdzenie cosinusów do dwóch mniejszych trójkątów powstałych przez podział dwusieczną.

Właściwości dwusiecznych kątów

Każdy trójkąt ma dokładnie trzy dwusieczne kątów wewnętrznych.
Wszystkie trzy dwusieczne kątów zawsze przecinają się w jednym punkcie zwanym środkiem okręgu wpisanego (incenter).
Środek okręgu wpisanego zawsze znajduje się wewnątrz trójkąta, niezależnie od jego typu.
Środek okręgu wpisanego jest równo oddalony od wszystkich trzech boków, a ta odległość to promień okręgu wpisanego (inradius).
W trójkącie równobocznym każda dwusieczna kąta służy również jako środkowa, wysokość i symetralna boku.
Najdłuższa dwusieczna kąta zawsze wychodzi z wierzchołka o najmniejszym kącie.
Długość dwusiecznej jest zawsze mniejsza lub równa średniej geometrycznej dwóch przyległych boków.

Często zadawane pytania

Co to jest dwusieczna kąta w trójkącie?

Dwusieczna kąta to odcinek łączący wierzchołek z przeciwległym bokiem, który dzieli kąt przy wierzchołku na dwie równe połowy. Każdy trójkąt ma trzy dwusieczne kątów i wszystkie one spotykają się w jednym punkcie zwanym środkiem okręgu wpisanego, który jest środkiem okręgu stycznego do wszystkich boków.

Jak obliczyć długość dwusiecznej kąta?

Długość dwusiecznej kąta z wierzchołka A do boku BC jest podana wzorem: t_a = (2bc × cos(A/2)) / (b + c), gdzie b i c to boki przyległe do kąta A. Alternatywny wzór wykorzystujący tylko długości boków to: t_a = √(bc[(b+c)² − a²]) / (b + c).

Co mówi twierdzenie o dwusiecznej kąta?

Twierdzenie o dwusiecznej kąta mówi, że dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok na dwa odcinki proporcjonalne do przyległych boków. Dla dwusiecznej z A do boku BC w punkcie D: BD/DC = AB/AC = c/b. Jest to podstawowe twierdzenie używane w wielu dowodach geometrycznych i konstrukcjach.

Gdzie przecinają się trzy dwusieczne kątów trójkąta?

Trzy dwusieczne kątów trójkąta zawsze przecinają się w jednym punkcie zwanym środkiem okręgu wpisanego, oznaczanym jako I. Środek okręgu wpisanego jest środkiem okręgu stycznego do boków i zawsze znajduje się wewnątrz trójkąta, niezależnie od tego, czy jest to trójkąt ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny.

Jaka jest różnica między dwusieczną kąta a symetralną boku?

Dwusieczna kąta dzieli kąt na dwie równe części i biegnie od wierzchołka do przeciwległego boku. Symetralna boku dzieli bok na dwie równe części pod kątem 90°. Trzy dwusieczne kątów spotykają się w środku okręgu wpisanego, natomiast trzy symetralne boków spotykają się w środku okręgu opisanego (circumcenter).

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Dwusiecznej Kąta" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-dwusiecznej-kata/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Aktualizacja: 2026-04-03

Dostępne API dla deweloperów: Uruchom to narzędzie z aplikacji, automatyzacji lub agenta za pomocą jednego żądania HTTP JSON. Zobacz dokumentację API

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.