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韋布爾分佈計算機

計算韋伯分布的機率、可靠度、風險率與B壽命百分位。輸入形狀與尺度參數即得PDF、CDF、平均值、變異數與MTTF，並附逐步解題與顯示浴缸曲線特性的圖表。

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範例：
β
< 1 遞減，= 1 恆定，> 1 遞增故障率
η
特徵壽命（63.2% 故障點）
輸入 β 以查看故障率行為
機率類型
韋布爾公式預覽
f(x) = (β/η)(x/η)β−1 × e−(x/η)β

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韋布爾分佈計算機

這款韋布爾分佈計算機可計算韋布爾分佈 \(X \sim \text{Weibull}(\beta, \eta)\) 的機率、可靠度、風險率和關鍵統計數據。只需輸入形狀參數 \(\beta\) 和尺度參數 \(\eta\)，即可獲得故障機率 \(F(x)\)、可靠度 \(R(x)\)、風險函數 \(h(x)\)、B 壽命百分位數，以及帶有互動式 PDF、CDF 和風險函數圖表的逐步解題方案。此工具對於可靠度工程、生存分析和壽命數據建模至關重要。

什麼是韋布爾分佈？

韋布爾分佈（Weibull distribution）是以瑞典數學家 Waloddi Weibull 命名的連續機率分佈。它是可靠度工程和壽命數據分析中最廣泛使用的分佈，因為它的形狀參數 \(\beta\) 允許它模擬三種不同的故障行為：遞減故障率（早期失效）、恆定故障率（隨機故障）和遞增故障率（耗損）。其機率密度函數為：

$$f(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}, \quad x \geq 0$$

形狀參數 β 與浴缸曲線

形狀參數 \(\beta\)（beta）決定了故障率的行為，並與可靠度工程中使用的浴缸曲線直接相關：

📉
β < 1：早期失效
故障率遞減。早期缺陷隨時間被剔除。常用於電子產品的老化篩選（burn-in）。
➡
β = 1：隨機故障
故障率恆定。簡化為指數分佈。適用於無記憶性。
📈
β > 1：耗損
故障率遞增。老化和退化佔主導地位。常見於機械部件。
🔔
β ≈ 3.6：類常態
近似於對稱的常態分佈。適用於疲勞壽命建模。
時間 故障率 h(t) β < 1 早期失效 β = 1 穩定使用期 β > 1 耗損失效

關鍵公式

屬性公式說明
PDF\(\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}\)x 點的機率密度
CDF\(F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta}\)到時間 x 為止的故障機率
可靠度\(R(x) = e^{-(x/\eta)^\beta}\)在時間 x 的生存機率
風險 (Hazard)\(h(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1}\)瞬時故障率
平均值\(\eta \cdot \Gamma(1 + 1/\beta)\)平均失效時間 (MTTF)
變異數\(\eta^2[\Gamma(1+2/\beta) - \Gamma^2(1+1/\beta)]\)壽命的分散程度
中位數\(\eta(\ln 2)^{1/\beta}\)第 50 百分位壽命
眾數\(\eta\left(\frac{\beta-1}{\beta}\right)^{1/\beta}\) (當 β > 1)最可能的壽命
B 壽命\(\eta(-\ln(1-p))^{1/\beta}\)p 比例發生故障的時間
特徵壽命\(\eta\) → F(η) = 63.2%尺度參數的解釋

實際應用

行業應用典型 β
航空航太渦輪葉片疲勞壽命2 – 4
汽車軸承耗損分析1.5 – 3
電子半導體早期失效0.3 – 0.8
電力系統風速分佈1.5 – 3
醫療設備植入物生存時間1.5 – 5
製造業保固規劃與 B10 壽命1.5 – 4
土木工程混凝土和材料強度5 – 20

韋布爾 vs. 其他分佈

特點韋布爾指數對數常態
參數β (形狀), η (尺度)λ (率)μ, σ
故障率靈活 (↓, →, ↑)僅限恆定先升後降
特例β=1 → 指數韋布爾 β=1—
最適用於機械耗損隨機事件維修時間
B 壽命分析原生支援有限可能

如何使用韋布爾分佈計算機

  1. 輸入形狀參數 β： 這控制了故障率行為。早期失效使用 β < 1，恆定故障率（指數）使用 β = 1，耗損失效使用 β > 1。常見值範圍為 0.5 到 5。實時洞察標籤會顯示您的 β 值代表的意義。
  2. 輸入尺度參數 η： 這是特徵壽命 — 即 63.2% 的單元發生故障的時間。它設定了分佈的時間尺度。例如，如果軸承的 η = 5000 小時，則 63.2% 的軸承會在 5000 小時內失效。
  3. 選擇機率類型： 選擇 P(X ≤ x) 計算故障機率，R(x) = P(X > x) 計算可靠度（生存機率），或 P(a ≤ X ≤ b) 計算範圍機率。
  4. 輸入時間值： 輸入時間、週期或使用量數值。對於範圍模式，請輸入下限和上限。
  5. 查看結果： 檢查機率、動畫機率條、互動式 PDF/CDF/風險函數圖表、可靠度里程碑（MTTF、B1、B10 壽命）、分佈屬性，以及完整的 MathJax 公式逐步解題步驟。

FAQ

什麼是韋布爾分佈？
韋布爾分佈是一種連續機率分佈，廣泛應用於可靠度工程和故障分析。它由兩個參數定義：形狀 β 和尺度 η。它的靈活性使其能夠根據 β 的值模擬遞減、恆定或遞增的故障率，使其成為跨航空航太、汽車、電子和許多其他行業的壽命數據分析標準工具。
形狀參數 β 代表什麼意思？
形狀參數 β (beta) 控制故障率行為。當 β 小於 1 時，故障率隨時間降低，模擬早期失效或嬰兒期失效。當 β 等於 1 時，故障率是恆定的，韋布爾簡化為指數分佈。當 β 大於 1 時，故障率隨時間增加，模擬耗損和老化。β 在 3.6 左右時近似常態分佈，這對於對稱疲勞壽命建模很有用。
韋布爾分析中的 B10 壽命是什麼？
B10 壽命（也寫作 B₁₀ 或 L₁₀）是指預計有 10% 的群體發生故障的時間，這意味著 90% 的存活率。它是可靠度工程中的關鍵指標，用於保固規劃、維護排程和規格符合性。同樣，B1 壽命表示 1% 的故障。這些 B 壽命值是根據韋布爾 CDF 的反函數計算的：t = η × (−ln(1−p))^(1/β)。
韋布爾分佈和指數分佈之間有什麼關係？
指數分佈是韋布爾分佈在形狀參數 β 等於 1 時的一個特例。在這種情況下，故障率隨時間保持不變，這對應於無記憶性。韋布爾分佈通過允許故障率隨時間變化（β 小於 1 時遞減，β 大於 1 時遞增）推廣了指數分佈。
什麼是特徵壽命 η？
尺度參數 η (eta)，也稱為特徵壽命，是正好 63.2% 的群體發生故障的時間。無論 β 的值是多少，這點都成立，因為 F(η) = 1 − e^(−1) ≈ 0.632。在可靠度工程中，η 作為分佈的自然參考點和時間尺度。

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"韋布爾分佈計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/韋布爾分佈計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2026-04-14

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