形狀參數 beta 代表什麼意思？

形狀參數 beta 控制故障率的行為。當 beta 小於 1 時，故障率隨時間降低（早期失效）。當 beta 等於 1 時，故障率是恆定的，韋布爾分佈簡化為指數分佈。當 beta 大於 1 時，故障率隨時間增加（耗損失效）。beta 值約為 3.6 時近似於本文分佈。

什麼是特徵壽命 eta？

尺度參數 eta 也稱為特徵壽命，是 63.2% 的群體發生故障的時間。這是因為無論 beta 的值是多少，F(eta) = 1 - e^(-1) = 0.632。它作為分佈的自然尺度，是可靠度分析中的參考點。

韋布爾分佈計算機

計算韋布爾分佈（Weibull distribution）機率、可靠度 R(t)、失效率 h(t) 以及 B-life 百分位數。輸入形狀參數 β 和尺度參數 η，即可獲得 PDF、CDF、平均值、變異數、MTTF，以及包含顯示浴缸曲線行為之互動式圖表的逐步解答。

韋布爾分佈計算機

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韋布爾分佈計算機

這款韋布爾分佈計算機可計算韋布爾分佈 $X \sim \text{Weibull}(\beta, \eta)$ 的機率、可靠度、風險率和關鍵統計數據。只需輸入形狀參數 $\beta$ 和尺度參數 $\eta$，即可獲得故障機率 $F(x)$、可靠度 $R(x)$、風險函數 $h(x)$、B 壽命百分位數，以及帶有交互式 PDF、CDF 和風險函數圖表的逐步解題方案。此工具對於可靠度工程、生存分析和壽命數據建模至關重要。

什麼是韋布爾分佈？

韋布爾分佈（Weibull distribution）是以瑞典數學家 Waloddi Weibull 命名的連續機率分佈。它是可靠度工程和壽命數據分析中最廣泛使用的分佈，因為它的形狀參數 $\beta$ 允許它模擬三種不同的故障行為：遞減故障率（早期失效）、恆定故障率（隨機故障）和遞增故障率（耗損）。其機率密度函數為：

$$f(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}, \quad x \geq 0$$

形狀參數 β 與浴缸曲線

形狀參數 $\beta$（beta）決定了故障率的行為，並與可靠度工程中使用的浴缸曲線直接相關：

📉

β < 1：早期失效

故障率遞減。早期缺陷隨時間被剔除。常用於電子產品的老化篩選（burn-in）。

➡

β = 1：隨機故障

故障率恆定。簡化為指數分佈。適用於無記憶性。

📈

β > 1：耗損

故障率遞增。老化和退化佔主導地位。常見於機械部件。

🔔

β ≈ 3.6：類常態

近似於對稱的常態分佈。適用於疲勞壽命建模。

關鍵公式

屬性	公式	說明
PDF	$\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}$	x 點的機率密度
CDF	$F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta}$	到時間 x 為止的故障機率
可靠度	$R(x) = e^{-(x/\eta)^\beta}$	在時間 x 的生存機率
風險 (Hazard)	$h(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1}$	瞬時故障率
平均值	$\eta \cdot \Gamma(1 + 1/\beta)$	平均失效時間 (MTTF)
方差	$\eta^2[\Gamma(1+2/\beta) - \Gamma^2(1+1/\beta)]$	壽命的分散程度
中位數	$\eta(\ln 2)^{1/\beta}$	第 50 百分位壽命
眾數	$\eta\left(\frac{\beta-1}{\beta}\right)^{1/\beta}$ (當 β > 1)	最可能的壽命
B 壽命	$\eta(-\ln(1-p))^{1/\beta}$	p 比例發生故障的時間
特徵壽命	$\eta$ → F(η) = 63.2%	尺度參數的解釋

實際應用

行業	應用	典型 β
航空航太	渦輪葉片疲勞壽命	2 – 4
汽車	軸承耗損分析	1.5 – 3
電子	半導體早期失效	0.3 – 0.8
電力系統	風速分佈	1.5 – 3
醫療設備	植入物生存時間	1.5 – 5
製造業	保固規劃與 B10 壽命	1.5 – 4
土木工程	混凝土和材料強度	5 – 20

韋布爾 vs. 其他分佈

特點	韋布爾	指數	對數常態
參數	β (形狀), η (尺度)	λ (率)	μ, σ
故障率	靈活 (↓, →, ↑)	僅限恆定	先升後降
特例	β=1 → 指數	韋布爾 β=1	—
最適用於	機械耗損	隨機事件	維修時間
B 壽命分析	原生支持	有限	可能

如何使用韋布爾分佈計算機

輸入形狀參數 β： 這控制了故障率行為。早期失效使用 β < 1，恆定故障率（指數）使用 β = 1，耗損失效使用 β > 1。常見值範圍為 0.5 到 5。實時洞察標籤會顯示您的 β 值代表的意義。
輸入尺度參數 η： 這是特徵壽命 — 即 63.2% 的單元發生故障的時間。它設定了分佈的時間尺度。例如，如果軸承的 η = 5000 小時，則 63.2% 的軸承會在 5000 小時內失效。
選擇機率類型： 選擇 P(X ≤ x) 計算故障機率，R(x) = P(X > x) 計算可靠度（生存機率），或 P(a ≤ X ≤ b) 計算範圍機率。
輸入時間值： 輸入時間、週期或使用量數值。對於範圍模式，請輸入下限和上限。
查看結果： 檢查機率、動畫機率條、交互式 PDF/CDF/風險函數圖表、可靠度里程碑（MTTF、B1、B10 壽命）、分佈屬性，以及完整的 MathJax 公式逐步解題步驟。

FAQ

什麼是韋布爾分佈？

韋布爾分佈是一種連續機率分佈，廣泛應用於可靠度工程和故障分析。它由兩個參數定義：形狀 β 和尺度 η。它的靈活性使其能夠根據 β 的值模擬遞減、恆定或遞增的故障率，使其成為跨航空航太、汽車、電子和許多其他行業的壽命數據分析標準工具。

形狀參數 β 代表什麼意思？

形狀參數 β (beta) 控制故障率行為。當 β 小於 1 時，故障率隨時間降低，模擬早期失效或嬰兒期失效。當 β 等於 1 時，故障率是恆定的，韋布爾簡化為指數分佈。當 β 大於 1 時，故障率隨時間增加，模擬耗損和老化。β 在 3.6 左右時近似常態分佈，這對於對稱疲勞壽命建模很有用。

韋布爾分析中的 B10 壽命是什麼？

B10 壽命（也寫作 B₁₀ 或 L₁₀）是指預計有 10% 的群體發生故障的時間，這意味著 90% 的存活率。它是可靠度工程中的關鍵指標，用於保固規劃、維護排程和規格符合性。同樣，B1 壽命表示 1% 的故障。這些 B 壽命值是根據韋布爾 CDF 的反函數計算的：t = η × (−ln(1−p))^(1/β)。

韋布爾分佈和指數分佈之間有什麼關係？

指數分佈是韋布爾分佈在形狀參數 β 等於 1 時的一個特例。在這種情況下，故障率隨時間保持不變，這對應於無記憶性。韋布爾分佈通過允許故障率隨時間變化（β 小於 1 時遞減，β 大於 1 時遞增）推廣了指數分佈。

什麼是特徵壽命 η？

尺度參數 η (eta)，也稱為特徵壽命，是正好 63.2% 的群體發生故障的時間。無論 β 的值是多少，這點都成立，因為 F(η) = 1 − e^(−1) ≈ 0.632。在可靠度工程中，η 作為分佈的自然參考點和時間尺度。

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"韋布爾分佈計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/韋布爾分佈計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2026-04-14

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實際應用

韋布爾 vs. 其他分佈

如何使用韋布爾分佈計算機

FAQ

其他相關工具:

統計與數據分析:

常用工具:

屬性	公式	說明
PDF	\(\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}\)	x 點的機率密度
CDF	\(F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta}\)	到時間 x 為止的故障機率
可靠度	\(R(x) = e^{-(x/\eta)^\beta}\)	在時間 x 的生存機率
風險 (Hazard)	\(h(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1}\)	瞬時故障率
平均值	\(\eta \cdot \Gamma(1 + 1/\beta)\)	平均失效時間 (MTTF)
方差	\(\eta^2[\Gamma(1+2/\beta) - \Gamma^2(1+1/\beta)]\)	壽命的分散程度
中位數	\(\eta(\ln 2)^{1/\beta}\)	第 50 百分位壽命
眾數	\(\eta\left(\frac{\beta-1}{\beta}\right)^{1/\beta}\) (當 β > 1)	最可能的壽命
B 壽命	\(\eta(-\ln(1-p))^{1/\beta}\)	p 比例發生故障的時間
特徵壽命	\(\eta\) → F(η) = 63.2%	尺度參數的解釋