Cos'è la vita caratteristica eta?

Il parametro di scala eta, chiamato anche vita caratteristica, è il tempo entro il quale il 63,2% della popolazione si è guastato. Questo perché F(eta) = 1 - e^(-1) = 0,632 indipendentemente dal valore di beta. Serve come scala naturale per la distribuzione e viene utilizzato come punto di riferimento nell'analisi dell'affidabilità.

Calcolatore di Distribuzione di Weibull

Calcola le probabilità della distribuzione di Weibull, l’affidabilità R(t), il tasso di rischio h(t) e i percentili di vita B. Inserisci la forma β e la scala η per ottenere PDF, CDF, media, varianza, MTTF e soluzioni passo-passo con grafici interattivi che mostrano il comportamento della curva a vasca da bagno.

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Calcolatore di Distribuzione di Weibull

Il Calcolatore di Distribuzione di Weibull calcola probabilità, affidabilità, tassi di rischio e statistiche chiave per la distribuzione $X \sim \text{Weibull}(\beta, \eta)$. Inserisci il parametro di forma $\beta$ e il parametro di scala $\eta$, e ottieni la probabilità di guasto $F(x)$, l'affidabilità $R(x)$, la funzione di rischio $h(x)$, i percentili della vita B, e una soluzione passo-passo con grafici interattivi della PDF, della CDF e della funzione di rischio. Questo strumento è essenziale per l'ingegneria dell'affidabilità, l'analisi di sopravvivenza e la modellazione dei dati sulla durata della vita.

Cos'è la distribuzione di Weibull?

La distribuzione di Weibull è una distribuzione di probabilità continua che prende il nome dal matematico svedese Waloddi Weibull. È la distribuzione più ampiamente utilizzata nell'ingegneria dell'affidabilità e nell'analisi dei dati sulla vita perché il suo parametro di forma $\beta$ le consente di modellare tre distinti comportamenti di guasto: tasso di guasto decrescente (mortalità infantile), tasso di guasto costante (guasti casuali) e tasso di guasto crescente (usura). La funzione di densità di probabilità è:

$$f(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}, \quad x \geq 0$$

Il parametro di forma β e la curva a vasca da bagno

Il parametro di forma $\beta$ (beta) determina il comportamento del tasso di guasto e si relaziona direttamente alla curva a vasca da bagno utilizzata nell'ingegneria dell'affidabilità:

📉

β < 1: Mortalità infantile

Tasso di guasto decrescente. I difetti della prima fase della vita vengono eliminati nel tempo. Comune nel rodaggio dell'elettronica.

➡

β = 1: Guasti casuali

Tasso di guasto costante. Si riduce alla distribuzione esponenziale. Si applica la proprietà di mancanza di memoria.

📈

β > 1: Usura

Tasso di guasto crescente. L'invecchiamento e il degrado dominano. Comune nei componenti meccanici.

🔔

β ≈ 3.6: Simil-Normale

Approssima una distribuzione normale simmetrica. Utile per la modellazione della vita a fatica.

Formule chiave

Proprietà	Formula	Descrizione
PDF	$\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}$	Densità di probabilità a x
CDF	$F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta}$	Probabilità di guasto entro il tempo x
Affidabilità	$R(x) = e^{-(x/\eta)^\beta}$	Probabilità di sopravvivenza al tempo x
Rischio	$h(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1}$	Tasso di guasto istantaneo
Media	$\eta \cdot \Gamma(1 + 1/\beta)$	Tempo medio al guasto (MTTF)
Varianza	$\eta^2[\Gamma(1+2/\beta) - \Gamma^2(1+1/\beta)]$	Diffusione della durata della vita
Mediana	$\eta(\ln 2)^{1/\beta}$	Vita al 50° percentile
Moda	$\eta\left(\frac{\beta-1}{\beta}\right)^{1/\beta}$ per β > 1	Durata della vita più probabile
Vita B	$\eta(-\ln(1-p))^{1/\beta}$	Tempo per il guasto della frazione p
Vita Caratt.	$\eta$ → F(η) = 63,2%	Interpretazione del parametro di scala

Applicazioni nel mondo reale

Settore	Applicazione	β tipico
Aerospaziale	Vita a fatica delle pale di turbina	2 – 4
Automobilistico	Analisi dell'usura dei cuscinetti	1,5 – 3
Elettronica	Mortalità infantile dei semiconduttori	0,3 – 0,8
Sistemi Energetici	Distribuzione della velocità del vento	1,5 – 3
Dispositivi Medici	Tempo di sopravvivenza degli impianti	1,5 – 5
Produzione	Pianificazione garanzia e vita B10	1,5 – 4
Ingegneria Civile	Resistenza del calcestruzzo e dei materiali	5 – 20

Weibull rispetto ad altre distribuzioni

Caratteristica	Weibull	Esponenziale	Lognormale
Parametri	β (forma), η (scala)	λ (tasso)	μ, σ
Tasso di guasto	Flessibile (↓, →, ↑)	Solo costante	Sale poi scende
Caso speciale	β=1 → Esponenziale	Weibull β=1	—
Migliore per	Usura meccanica	Eventi casuali	Tempi di riparazione
Analisi Vita B	Supporto nativo	Limitato	Possibile

Come usare il Calcolatore di Distribuzione di Weibull

Inserisci il parametro di forma β: Questo controlla il comportamento del tasso di guasto. Usa β < 1 per la mortalità infantile, β = 1 per il tasso di guasto costante (esponenziale), o β > 1 per i guasti da usura. I valori comuni vanno da 0,5 a 5. Il badge informativo in tempo reale ti mostra cosa significa il tuo valore β.
Inserisci il parametro di scala η: Questa è la vita caratteristica — il tempo entro il quale il 63,2% delle unità si è guastato. Imposta la scala temporale per la distribuzione. Ad esempio, se un cuscinetto ha η = 5000 ore, allora il 63,2% dei cuscinetti si guasta entro 5000 ore.
Seleziona il tipo di probabilità: Scegli P(X ≤ x) per la probabilità di guasto, R(x) = P(X > x) per l'affidabilità (probabilità di sopravvivenza), o P(a ≤ X ≤ b) per la probabilità dell'intervallo.
Inserisci il valore del tempo: Inserisci il valore del tempo, dei cicli o dell'utilizzo. Per la modalità intervallo, inserisci sia il limite inferiore che quello superiore.
Esamina i risultati: Esamina la probabilità, la barra di probabilità animata, i grafici interattivi di PDF/CDF/funzione di rischio, i traguardi di affidabilità (MTTF, vita B1, B10), le proprietà della distribuzione e la soluzione completa passo-passo con formule MathJax.

FAQ

Cos'è la distribuzione di Weibull?

La distribuzione di Weibull è una distribuzione di probabilità continua utilizzata ampiamente nell'ingegneria dell'affidabilità e nell'analisi dei guasti. È definita da due parametri: forma β e scala η. La sua flessibilità le consente di modellare tassi di guasto decrescenti, costanti o crescenti a seconda del valore di β, rendendola lo strumento standard per l'analisi dei dati sulla vita nei settori aerospaziale, automobilistico, elettronico e molti altri.

Cosa significa il parametro di forma β?

Il parametro di forma β (beta) controlla il comportamento del tasso di guasto. Quando β è inferiore a 1, il tasso di guasto diminuisce nel tempo, il che modella la mortalità infantile o i guasti precoci. Quando β è uguale a 1, il tasso di guasto è costante e la Weibull si riduce a una distribuzione esponenziale. Quando β è maggiore di 1, il tasso di guasto aumenta nel tempo, modellando l'usura e l'invecchiamento. Un β intorno a 3,6 approssima una distribuzione normale, utile per la modellazione simmetrica della vita a fatica.

Cos'è la vita B10 nell'analisi di Weibull?

La vita B10 (scritta anche come B₁₀ o L₁₀) è il tempo entro il quale si prevede che il 10% della popolazione si sia guastato, il che significa che il 90% sopravvive. È una metrica critica nell'ingegneria dell'affidabilità utilizzata per la pianificazione della garanzia, la programmazione della manutenzione e la conformità alle specifiche. Allo stesso modo, la vita B1 significa l'1% di guasto. Questi valori della vita B sono calcolati dall'inversa della CDF di Weibull: t = η × (−ln(1−p))^(1/β).

Qual è la relazione tra la distribuzione di Weibull e quella esponenziale?

La distribuzione esponenziale è un caso speciale della distribuzione di Weibull quando il parametro di forma β è uguale a 1. In questo caso, il tasso di guasto è costante nel tempo, il che corrisponde alla proprietà di mancanza di memoria. La Weibull generalizza l'esponenziale consentendo al tasso di guasto di cambiare nel tempo — decrescendo per β inferiore a 1 e crescendo per β maggiore di 1.

Cos'è la vita caratteristica η?

Il parametro di scala η (eta), chiamato anche vita caratteristica, è il tempo entro il quale esattamente il 63,2% della popolazione si è guastato. Questo vale indipendentemente dal valore di β perché F(η) = 1 − e^(−1) ≈ 0,632. Nell'ingegneria dell'affidabilità, η serve come punto di riferimento naturale e scala temporale per la distribuzione.

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Proprietà	Formula	Descrizione
PDF	\(\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}\)	Densità di probabilità a x
CDF	\(F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta}\)	Probabilità di guasto entro il tempo x
Affidabilità	\(R(x) = e^{-(x/\eta)^\beta}\)	Probabilità di sopravvivenza al tempo x
Rischio	\(h(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1}\)	Tasso di guasto istantaneo
Media	\(\eta \cdot \Gamma(1 + 1/\beta)\)	Tempo medio al guasto (MTTF)
Varianza	\(\eta^2[\Gamma(1+2/\beta) - \Gamma^2(1+1/\beta)]\)	Diffusione della durata della vita
Mediana	\(\eta(\ln 2)^{1/\beta}\)	Vita al 50° percentile
Moda	\(\eta\left(\frac{\beta-1}{\beta}\right)^{1/\beta}\) per β > 1	Durata della vita più probabile
Vita B	\(\eta(-\ln(1-p))^{1/\beta}\)	Tempo per il guasto della frazione p
Vita Caratt.	\(\eta\) → F(η) = 63,2%	Interpretazione del parametro di scala