Calcolatore di Distribuzione di Weibull
Calcola probabilità, affidabilità, tasso di rischio e percentili B-life di Weibull. Inserisci i parametri di forma e scala per ottenere PDF, CDF, media, varianza e MTTF, con soluzioni passo per passo e grafici.
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Calcolatore di Distribuzione di Weibull
Il Calcolatore di Distribuzione di Weibull calcola probabilità, affidabilità, tassi di rischio e statistiche chiave per la distribuzione \(X \sim \text{Weibull}(\beta, \eta)\). Inserisci il parametro di forma \(\beta\) e il parametro di scala \(\eta\), e ottieni la probabilità di guasto \(F(x)\), l'affidabilità \(R(x)\), la funzione di rischio \(h(x)\), i percentili della vita B, e una soluzione passo-passo con grafici interattivi della PDF, della CDF e della funzione di rischio. Questo strumento è essenziale per l'ingegneria dell'affidabilità, l'analisi di sopravvivenza e la modellazione dei dati sulla durata della vita.
Cos'è la distribuzione di Weibull?
La distribuzione di Weibull è una distribuzione di probabilità continua che prende il nome dal matematico svedese Waloddi Weibull. È la distribuzione più ampiamente utilizzata nell'ingegneria dell'affidabilità e nell'analisi dei dati sulla vita perché il suo parametro di forma \(\beta\) le consente di modellare tre distinti comportamenti di guasto: tasso di guasto decrescente (mortalità infantile), tasso di guasto costante (guasti casuali) e tasso di guasto crescente (usura). La funzione di densità di probabilità è:
$$f(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}, \quad x \geq 0$$
Il parametro di forma β e la curva a vasca da bagno
Il parametro di forma \(\beta\) (beta) determina il comportamento del tasso di guasto e si relaziona direttamente alla curva a vasca da bagno utilizzata nell'ingegneria dell'affidabilità:
β < 1: Mortalità infantile
Tasso di guasto decrescente. I difetti della prima fase della vita vengono eliminati nel tempo. Comune nel rodaggio dell'elettronica.
β = 1: Guasti casuali
Tasso di guasto costante. Si riduce alla distribuzione esponenziale. Si applica la proprietà di mancanza di memoria.
β > 1: Usura
Tasso di guasto crescente. L'invecchiamento e il degrado dominano. Comune nei componenti meccanici.
β ≈ 3.6: Simil-Normale
Approssima una distribuzione normale simmetrica. Utile per la modellazione della vita a fatica.
Formule chiave
| Proprietà | Formula | Descrizione |
|---|---|---|
| \(\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\eta)^\beta}\) | Densità di probabilità a x | |
| CDF | \(F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta}\) | Probabilità di guasto entro il tempo x |
| Affidabilità | \(R(x) = e^{-(x/\eta)^\beta}\) | Probabilità di sopravvivenza al tempo x |
| Rischio | \(h(x) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{x}{\eta}\right)^{\beta-1}\) | Tasso di guasto istantaneo |
| Media | \(\eta \cdot \Gamma(1 + 1/\beta)\) | Tempo medio al guasto (MTTF) |
| Varianza | \(\eta^2[\Gamma(1+2/\beta) - \Gamma^2(1+1/\beta)]\) | Diffusione della durata della vita |
| Mediana | \(\eta(\ln 2)^{1/\beta}\) | Vita al 50° percentile |
| Moda | \(\eta\left(\frac{\beta-1}{\beta}\right)^{1/\beta}\) per β > 1 | Durata della vita più probabile |
| Vita B | \(\eta(-\ln(1-p))^{1/\beta}\) | Tempo per il guasto della frazione p |
| Vita Caratt. | \(\eta\) → F(η) = 63,2% | Interpretazione del parametro di scala |
Applicazioni nel mondo reale
| Settore | Applicazione | β tipico |
|---|---|---|
| Aerospaziale | Vita a fatica delle pale di turbina | 2 – 4 |
| Automobilistico | Analisi dell'usura dei cuscinetti | 1,5 – 3 |
| Elettronica | Mortalità infantile dei semiconduttori | 0,3 – 0,8 |
| Sistemi Energetici | Distribuzione della velocità del vento | 1,5 – 3 |
| Dispositivi Medici | Tempo di sopravvivenza degli impianti | 1,5 – 5 |
| Produzione | Pianificazione garanzia e vita B10 | 1,5 – 4 |
| Ingegneria Civile | Resistenza del calcestruzzo e dei materiali | 5 – 20 |
Weibull rispetto ad altre distribuzioni
| Caratteristica | Weibull | Esponenziale | Lognormale |
|---|---|---|---|
| Parametri | β (forma), η (scala) | λ (tasso) | μ, σ |
| Tasso di guasto | Flessibile (↓, →, ↑) | Solo costante | Sale poi scende |
| Caso speciale | β=1 → Esponenziale | Weibull β=1 | — |
| Migliore per | Usura meccanica | Eventi casuali | Tempi di riparazione |
| Analisi Vita B | Supporto nativo | Limitato | Possibile |
Come usare il Calcolatore di Distribuzione di Weibull
- Inserisci il parametro di forma β: Questo controlla il comportamento del tasso di guasto. Usa β < 1 per la mortalità infantile, β = 1 per il tasso di guasto costante (esponenziale), o β > 1 per i guasti da usura. I valori comuni vanno da 0,5 a 5. Il badge informativo in tempo reale ti mostra cosa significa il tuo valore β.
- Inserisci il parametro di scala η: Questa è la vita caratteristica — il tempo entro il quale il 63,2% delle unità si è guastato. Imposta la scala temporale per la distribuzione. Ad esempio, se un cuscinetto ha η = 5000 ore, allora il 63,2% dei cuscinetti si guasta entro 5000 ore.
- Seleziona il tipo di probabilità: Scegli P(X ≤ x) per la probabilità di guasto, R(x) = P(X > x) per l'affidabilità (probabilità di sopravvivenza), o P(a ≤ X ≤ b) per la probabilità dell'intervallo.
- Inserisci il valore del tempo: Inserisci il valore del tempo, dei cicli o dell'utilizzo. Per la modalità intervallo, inserisci sia il limite inferiore che quello superiore.
- Esamina i risultati: Esamina la probabilità, la barra di probabilità animata, i grafici interattivi di PDF/CDF/funzione di rischio, i traguardi di affidabilità (MTTF, vita B1, B10), le proprietà della distribuzione e la soluzione completa passo-passo con formule MathJax.
FAQ
Cos'è la distribuzione di Weibull?
La distribuzione di Weibull è una distribuzione di probabilità continua utilizzata ampiamente nell'ingegneria dell'affidabilità e nell'analisi dei guasti. È definita da due parametri: forma β e scala η. La sua flessibilità le consente di modellare tassi di guasto decrescenti, costanti o crescenti a seconda del valore di β, rendendola lo strumento standard per l'analisi dei dati sulla vita nei settori aerospaziale, automobilistico, elettronico e molti altri.
Cosa significa il parametro di forma β?
Il parametro di forma β (beta) controlla il comportamento del tasso di guasto. Quando β è inferiore a 1, il tasso di guasto diminuisce nel tempo, il che modella la mortalità infantile o i guasti precoci. Quando β è uguale a 1, il tasso di guasto è costante e la Weibull si riduce a una distribuzione esponenziale. Quando β è maggiore di 1, il tasso di guasto aumenta nel tempo, modellando l'usura e l'invecchiamento. Un β intorno a 3,6 approssima una distribuzione normale, utile per la modellazione simmetrica della vita a fatica.
Cos'è la vita B10 nell'analisi di Weibull?
La vita B10 (scritta anche come B₁₀ o L₁₀) è il tempo entro il quale si prevede che il 10% della popolazione si sia guastato, il che significa che il 90% sopravvive. È una metrica critica nell'ingegneria dell'affidabilità utilizzata per la pianificazione della garanzia, la programmazione della manutenzione e la conformità alle specifiche. Allo stesso modo, la vita B1 significa l'1% di guasto. Questi valori della vita B sono calcolati dall'inversa della CDF di Weibull: t = η × (−ln(1−p))^(1/β).
Qual è la relazione tra la distribuzione di Weibull e quella esponenziale?
La distribuzione esponenziale è un caso speciale della distribuzione di Weibull quando il parametro di forma β è uguale a 1. In questo caso, il tasso di guasto è costante nel tempo, il che corrisponde alla proprietà di mancanza di memoria. La Weibull generalizza l'esponenziale consentendo al tasso di guasto di cambiare nel tempo — decrescendo per β inferiore a 1 e crescendo per β maggiore di 1.
Cos'è la vita caratteristica η?
Il parametro di scala η (eta), chiamato anche vita caratteristica, è il tempo entro il quale esattamente il 63,2% della popolazione si è guastato. Questo vale indipendentemente dal valore di β perché F(η) = 1 − e^(−1) ≈ 0,632. Nell'ingegneria dell'affidabilità, η serve come punto di riferimento naturale e scala temporale per la distribuzione.
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