Kalkulator Bentuk Normal Jordan

Tentang Kalkulator Bentuk Normal Jordan

Kalkulator Bentuk Normal Jordan menghasilkan bentuk kanonik Jordan J dari matriks persegi A beserta matriks transisi invertibel P yang memenuhi hubungan keserupaan P⁻¹AP = J. Berbeda dengan diagonalisasi yang gagal untuk matriks defektif, bentuk Jordan ada untuk setiap matriks persegi atas lapangan yang tertutup secara aljabar — bentuk ini mengganti representasi diagonal dengan urutan blok Jordan, yang masing-masing merupakan matriks hampir diagonal yang menampung nilai eigen pada diagonal dan angka 1 pada superdiagonal. Alat ini menghitung segalanya dengan aritmetika rasional yang tepat, sehingga hasil J dan P terbukti benar — tidak ada pembulatan floating-point yang terlibat.

Apa Itu Bentuk Normal Jordan?

Diberikan matriks A berukuran n × n atas bilangan kompleks, bentuk normal Jordan J adalah matriks blok-diagonal

di mana setiap blok Jordan J_k(λ) adalah matriks k × k dengan λ pada diagonal, angka 1 pada superdiagonal, dan nol di tempat lainnya:

Nilai-nilai eigen λ_i mungkin berulang di beberapa blok; yang penting adalah pola ukuran blok, yang merupakan invarian keserupaan lengkap dari A.

Mengapa Kita Membutuhkan Bentuk Jordan Jika Sudah Ada Diagonalisasi?

Tidak semua matriks persegi dapat didiagonalkan. Sebuah matriks gagal didiagonalkan ketika beberapa nilai eigen memiliki vektor eigen independen yang lebih sedikit daripada multiplisitas aljabarnya — kita menyebut matriks tersebut defektif. Bentuk Jordan memperbaiki celah ini dengan memperkenalkan vektor eigen umum, menghasilkan bentuk kanonik yang berlaku untuk setiap matriks.

Konsep Kunci

Multiplisitas Aljabar vs Geometris

Multiplisitas aljabar dari nilai eigen λ adalah multiplisitas λ sebagai akar dari polinomial karakteristik p_A(λ) = det(λI − A). Multiplisitas geometris adalah dimensi dari ruang eigen, atau secara ekivalen dim ker(A − λI). Jumlah blok Jordan yang terkait dengan λ sama dengan multiplisitas geometrisnya, dan total ukuran blok-blok tersebut sama dengan multiplisitas aljabarnya.

Vektor Eigen Umum dan Rantai

Vektor v adalah vektor eigen umum peringkat k untuk nilai eigen λ jika (A − λI)^kv = 0 tetapi (A − λI)^k−1v ≠ 0. Menerapkan N = (A − λI) pada vektor eigen umum peringkat k menghasilkan vektor peringkat k−1, sehingga kita memperoleh rantai Jordan:

Menempatkan rantai dalam urutan v₁, v₂, …, v_k sebagai kolom-kolom P menghasilkan blok Jordan berukuran k pada baris/kolom yang sesuai di J.

Tangga Kernel dan Hitungan Blok

Untuk setiap nilai eigen λ, definisikan urutan naik d_k = dim ker((A − λI)^k). Urutan ini tidak menurun, dan akan stabil pada multiplisitas aljabar λ. Jumlah blok Jordan dari setiap ukuran diekstrak dari tangga ini:

Ini adalah perhitungan diagram Young dan bersifat tepat — tidak perlu menebak. Kalkulator mencetak tangga ini untuk setiap nilai eigen sehingga Anda dapat mengikuti langkah-langkah dekomposisinya.

Polinomial Minimal

Polinomial minimal m_A(λ) adalah polinomial monik dengan derajat terkecil yang memenuhi m_A(A) = 0. Setelah Anda memiliki bentuk Jordan, membacanya sangatlah mudah:

Sebuah matriks dapat didiagonalkan jika dan hanya jika polinomial minimalnya tidak memiliki akar berulang, artinya setiap blok Jordan berukuran 1.

Bagaimana Kalkulator Ini Bekerja

1. Mengurai matriks — entri bilangan bulat, pecahan (misalnya 1/2), atau desimal diterima dan diubah menjadi rasional tepat (fractions.Fraction).
2. Menghitung polinomial karakteristik menggunakan algoritma Faddeev–LeVerrier, yang menghindari ekspansi determinan simbolik dan berjalan dalam waktu O(n⁴) dengan aritmetika tepat.
3. Menemukan nilai eigen rasional melalui Teorema Akar Rasional — setiap akar rasional p/q dari polinomial bilangan bulat primitif memenuhi p ∣ suku konstanta dan q ∣ koefisien utama. Setiap akar yang ditemukan dibagi habis dan pencarian diulang.
4. Membangun tangga kernel untuk setiap nilai eigen λ dengan menghitung dim ker((A − λI)^k) menggunakan RREF rasional hingga urutan stabil pada multiplisitas aljabar.
5. Memilih vektor puncak rantai dari kernel terbesar hingga terkecil, memperluas basis setiap kali blok Jordan baru diperlukan. Setiap puncak rantai kemudian dikalikan berulang kali dengan (A − λI) untuk mendapatkan vektor rantainya.
6. Menyusun J dan P dengan mengelompokkan rantai per nilai eigen (blok dengan ukuran terbesar terlebih dahulu), menempatkan vektor rantai sebagai kolom P dan mengisi J dengan nilai eigen dan angka 1 pada superdiagonal.
7. Memverifikasi secara tepat bahwa P⁻¹ A P = J menggunakan aritmetika bilangan bulat — hasilnya dijamin karena semua komputasi antara adalah rasional.

Contoh Pengerjaan

Pertimbangkan matriks defektif 3 × 3

• Polinomial karakteristik: \(p_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3\). Nilai eigen tunggal λ = 5 dengan multiplisitas aljabar 3.
• Tangga kernel untuk λ = 5: \(d_1 = 1\), \(d_2 = 2\), \(d_3 = 3\). Kenaikannya adalah 1, 1, 1 → satu blok Jordan berukuran 3.
• Bentuk Jordan: \(J = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\), dengan multiplisitas geometris 1 dan indeks 3.
• Polinomial minimal: \(m_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3\) — sama dengan polinomial karakteristik karena hanya ada satu blok Jordan.

Aplikasi Bentuk Normal Jordan

• Eksponensial matriks dan ODE linier — untuk sistem koefisien konstan x′ = Ax, solusi bentuk tertutupnya adalah \(e^{tA}x_0\), dan \(e^{tA}\) mudah dihitung setelah A ditulis dalam bentuk Jordan.
• Pangkat matriks — \(A^k = P J^k P^{-1}\), dan blok Jordan memiliki rumus eksplisit untuk pangkatnya.
• Kalkulus fungsional — \(f(A) = P f(J) P^{-1}\) berlaku untuk f analitik sebarang, asalkan f didefinisikan pada lingkungan spektrum.
• Teori kontrol — stabilitas sistem linier ditentukan oleh nilai eigen dan ukuran blok Jordan (kasus batas mengharuskan melihat blok terbesar untuk nilai eigen marginal).
• Klasifikasi operator linier — dua matriks serupa jika dan hanya jika keduanya memiliki bentuk Jordan yang sama, sehingga bentuk tersebut merupakan invarian lengkap.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu bentuk normal Jordan dari sebuah matriks?

Bentuk normal Jordan (juga disebut bentuk kanonik Jordan) adalah matriks yang hampir diagonal J yang serupa dengan matriks asli A, artinya terdapat matriks invertibel P dengan P⁻¹AP = J. Diagonal J berisi nilai-nilai eigen dari A, dan tepat di atas diagonal terdapat angka 1 yang muncul di dalam blok Jordan setiap kali A tidak dapat didiagonalkan. Setiap matriks persegi atas bilangan kompleks memiliki bentuk normal Jordan, yang unik hingga urutan bloknya.

Kapan matriks tidak dapat didiagonalkan?

Sebuah matriks tidak dapat didiagonalkan ketika setidaknya satu nilai eigen memiliki vektor eigen independen linier yang lebih sedikit daripada multiplisitas aljabarnya — celah tersebut diisi oleh blok Jordan berukuran 2 atau lebih besar. Secara ekivalen, matriks tidak dapat didiagonalkan ketika polinomial minimalnya memiliki akar berulang. Matriks seperti ini disebut defektif.

Bagaimana vektor eigen umum didefinisikan?

Vektor eigen umum peringkat k untuk nilai eigen λ adalah vektor non-nol v sedemikian sehingga (A − λI)^kv = 0 tetapi (A − λI)^k−1v bukan nol. Menerapkan (A − λI) ke vektor eigen umum peringkat k menghasilkan vektor peringkat k−1, sehingga membentuk sebuah rantai. Rantai-rantai ini membentuk kolom-kolom matriks transisi P dalam dekomposisi Jordan.

Apa perbedaan antara multiplisitas aljabar dan geometris?

Multiplisitas aljabar dari nilai eigen λ adalah berapa kali nilai tersebut muncul sebagai akar dari polinomial karakteristik. Multiplisitas geometris adalah dimensi dari ruang eigen-nya — jumlah vektor eigen yang independen linier. Multiplisitas geometris sama dengan jumlah blok Jordan untuk λ, sedangkan multiplisitas aljabar sama dengan total ukuran semua blok tersebut. Multiplisitas yang sama berarti nilai eigen tersebut hanya berkontribusi pada blok berukuran 1.

Bagaimana kalkulator ini menemukan ukuran blok Jordan?

Untuk setiap nilai eigen λ, kalkulator menghitung dimensi d_k = dim ker((A − λI)^k) for k = 1, 2, … hingga urutannya stabil pada multiplisitas aljabar. Jumlah blok Jordan berukuran setidaknya k sama dengan d_k − d_k−1. Mengurangi suku-suku yang berurutan menghasilkan jumlah tepat blok dari setiap ukuran. Perhitungan diagram Young ini tepat dan menggunakan aritmetika rasional di seluruh prosesnya.

Apakah kalkulator ini menangani matriks dengan nilai eigen irasional atau kompleks?

Kalkulator ini menggunakan aritmetika rasional tepat, yang mengharuskan nilai eigen berupa bilangan rasional. Ketika polinomial karakteristik memiliki faktor yang tidak terbagi atas bilangan rasional, alat ini menunjukkan nilai eigen kompleks yang didekati secara numerik untuk faktor yang tersisa tetapi tidak menghasilkan bentuk Jordan lengkap, karena aritmetika tepat sangat penting untuk menentukan ukuran blok dengan benar. Skalakan atau ubah matriks Anda sehingga semua nilai eigen menjadi rasional untuk mendapatkan dekomposisi Jordan yang lengkap.

Apa itu polinomial minimal dan bagaimana cara menghitungnya di sini?

Polinomial minimal m(λ) adalah polinomial monik dengan derajat terkecil yang meniadakan A, artinya m(A) = 0. Ini sama dengan hasil kali atas nilai eigen λ yang berbeda dari (λ − λ_i)^index_i, di mana indeks adalah ukuran blok Jordan terbesar untuk nilai eigen λ_i. Kalkulator ini membaca indeks langsung dari struktur blok yang dihitung, sehingga polinomial minimal adalah produk sampingan gratis dari dekomposisi Jordan.

Bacaan Lebih Lanjut

• Bentuk normal Jordan — Wikipedia
• Vektor eigen umum — Wikipedia
• Polinomial minimal — Wikipedia
• Algoritma Faddeev–LeVerrier — Wikipedia