Calculatrice Vectorielle

Q: Qu'est-ce qu'un produit scalaire ?

Le produit scalaire de deux vecteurs A et B est une valeur scalaire calculée en multipliant les composantes correspondantes et en sommant les résultats : A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Il est égal à |A||B|cos(θ) où θ est l'angle entre les vecteurs. Un produit scalaire nul signifie que les vecteurs sont perpendiculaires.

Calculatrice vectorielle gratuite en ligne avec solutions étape par étape. Calculez le produit scalaire, le produit vectoriel, la norme, le vecteur unitaire, l'angle entre vecteurs, la projection et plus encore avec une visualisation 3D interactive.

Exemples rapides

1 Entrer les vecteurs

Vecteur A

Composantes séparées par des virgules

Vecteur B

Requis pour les opérations à deux vecteurs

2 Sélectionner l'opération

Opération

Précision

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Calculatrice Vectorielle

Bienvenue sur notre Calculatrice Vectorielle, un outil complet pour effectuer des opérations sur les vecteurs avec des solutions détaillées étape par étape. Que vous soyez un étudiant apprenant l'algèbre linéaire, un ingénieur travaillant avec des forces et des vitesses, ou toute personne ayant besoin de calculer des mathématiques vectorielles, cette calculatrice fournit des résultats précis avec des explications claires.

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un vecteur est un objet mathématique qui possède à la fois une magnitude (longueur) et une direction. Les vecteurs sont généralement représentés sous forme de listes ordonnées de nombres appelées composantes. Par exemple, un vecteur 3D peut être écrit sous la forme [3, 4, 5] représentant un déplacement de 3 unités le long de l'axe x, 4 unités le long de l'axe y et 5 unités le long de l'axe z.

Les vecteurs sont fondamentaux en physique (représentant les forces, les vitesses, les accélérations), en infographie (transformations 3D, éclairage), en apprentissage automatique (vecteurs de caractéristiques, plongements) et dans de nombreux autres domaines.

Opérations vectorielles prises en charge

Magnitude (Longueur)

La magnitude d'un vecteur, également appelée sa longueur ou sa norme, mesure la longueur du vecteur. Pour le vecteur A = [a, b, c] :

Formule de magnitude

$$||A|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

Vecteur unitaire

Un vecteur unitaire a une magnitude de 1 et pointe dans la même direction que le vecteur original. Il est calculé en divisant chaque composante par la magnitude :

Formule du vecteur unitaire

$$\hat{A} = \frac{A}{||A||}$$

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs produit un scalaire (un seul nombre). Il mesure à quel point un vecteur va dans la direction d'un autre :

Formule du produit scalaire

$$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = ||A|| \cdot ||B|| \cdot \cos(\theta)$$

Propriétés clés : Si le produit scalaire est nul, les vecteurs sont perpendiculaires. Un résultat positif signifie qu'ils pointent dans des directions similaires ; un résultat négatif signifie qu'ils sont opposés.

Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs 3D produit un nouveau vecteur perpendiculaire aux deux entrées. La magnitude est égale à l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs :

Formule du produit vectoriel

$$A \times B = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

Addition et soustraction de vecteurs

L'addition de vecteurs combine les vecteurs en additionnant les composantes correspondantes. La soustraction trouve la différence :

Addition / Soustraction

$$A + B = [a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3]$$ $$A - B = [a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3]$$

Angle entre les vecteurs

L'angle entre deux vecteurs est trouvé en utilisant la relation entre le produit scalaire et les magnitudes :

Formule de l'angle

$$\theta = \arccos\left(\frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||}\right)$$

Projection de vecteur

La projection du vecteur A sur le vecteur B donne la composante de A dans la direction de B :

Formule de projection

$$\text{proj}_B A = \frac{A \cdot B}{B \cdot B} \cdot B$$

Multiplication scalaire

La multiplication scalaire multiplie chaque composante d'un vecteur par un nombre, changeant ainsi l'échelle du vecteur :

Multiplication scalaire

$$k \cdot A = [k \cdot a_1, k \cdot a_2, k \cdot a_3]$$

Tableau récapitulatif des opérations

Opération	Entrée requise	Type de sortie	Utilisations courantes
Magnitude	Un vecteur	Scalaire	Trouver une distance, normaliser des vecteurs
Vecteur unitaire	Un vecteur	Vecteur	Représentation de direction, normalisation
Produit scalaire	Deux vecteurs	Scalaire	Calcul d'angle, projection, similarité
Produit vectoriel	Deux vecteurs 3D	Vecteur	Trouver des vecteurs perpendiculaires, calcul d'aire
Addition	Deux vecteurs	Vecteur	Combinaison de forces, déplacement
Soustraction	Deux vecteurs	Vecteur	Trouver une position relative, différence
Angle	Deux vecteurs	Scalaire (degrés)	Orientation, mesure de similarité
Projection	Deux vecteurs	Vecteur	Calculs d'ombres, décomposition de composantes
Multiplication scalaire	Un vecteur + scalaire	Vecteur	Mise à l'échelle, redimensionnement de vecteurs

Comment utiliser cette calculatrice

Entrer le vecteur A : Saisissez les composantes de votre premier vecteur, séparées par des virgules (ex : 3, 4, 0).
Entrer le vecteur B (si nécessaire) : Pour les opérations à deux vecteurs, saisissez le deuxième vecteur.
Sélectionner l'opération : Choisissez le calcul à effectuer dans le menu déroulant.
Régler la précision : Choisissez le nombre de décimales souhaitées pour vos résultats.
Calculer : Cliquez sur le bouton pour voir les résultats avec des explications étape par étape.

Questions fréquemment posées

Qu'est-ce qu'un produit scalaire ?

Le produit scalaire (également appelé produit intérieur) de deux vecteurs A et B est une valeur scalaire calculée en multipliant les composantes correspondantes et en additionnant les résultats : A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Il est égal à |A||B|cos(θ) où θ est l'angle entre les vecteurs. Un produit scalaire nul signifie que les vecteurs sont perpendiculaires.

Qu'est-ce qu'un produit vectoriel ?

Le produit vectoriel de deux vecteurs 3D A et B produit un nouveau vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs d'entrée. Il est calculé en utilisant A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁). La magnitude |A×B| est égale à l'aire du parallélogramme formé par A et B.

Comment calcule-t-on la magnitude d'un vecteur ?

La magnitude d'un vecteur (longueur) est calculée en utilisant la norme euclidienne : |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²) pour un vecteur 3D. Cette formule s'étend à n'importe quelle dimension en sommant les carrés de toutes les composantes et en prenant la racine carrée.

Qu'est-ce qu'un vecteur unitaire ?

Un vecteur unitaire est un vecteur de magnitude 1 qui pointe dans la même direction que le vecteur original. Il est calculé en divisant chaque composante par la magnitude du vecteur : Â = A/|A|. Les vecteurs unitaires sont utiles pour représenter des directions sans magnitude.

Comment trouver l'angle entre deux vecteurs ?

L'angle θ entre les vecteurs A et B est trouvé en utilisant la formule du produit scalaire : cos(θ) = (A·B)/(|A||B|). Prenez l'arc cosinus (arccos) de cette valeur pour obtenir l'angle en radians, puis convertissez en degrés si nécessaire en multipliant par 180/π.

Qu'est-ce qu'une projection de vecteur ?

La projection vectorielle de A sur B donne la composante de A dans la direction de B. La formule est proj_B(A) = ((A·B)/(B·B)) × B. La projection scalaire (composante) est (A·B)/|B|. Ceci est utile en physique pour décomposer les forces et les vitesses.

Applications des mathématiques vectorielles

Physique : Représentation des forces, des vitesses, des accélérations, des champs électriques et magnétiques
Infographie : Transformations 3D, calculs d'éclairage, lancer de rayons
Ingénierie : Analyse structurelle, dynamique des fluides, robotique
Apprentissage automatique : Vecteurs de caractéristiques, plongements de mots, mesures de similarité
Développement de jeux : Mouvement des personnages, détection de collision, simulation physique
Navigation : Calculs GPS, trajectoires de vol, routage maritime

Ressources supplémentaires

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par l'équipe miniwebtool. Mis à jour : 27 janv. 2026

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