Calcolatore della Forma Normale di Jordan

Calcolatore della Forma Normale di Jordan

Il Calcolatore della Forma Normale di Jordan produce la forma canonica di Jordan J di una matrice quadrata A insieme a una matrice di transizione invertibile P che soddisfa la relazione di similitudine P⁻¹AP = J. A differenza della diagonalizzazione, che fallisce per le matrici difettive, la forma di Jordan esiste per ogni matrice quadrata su un campo algebricamente chiuso — essa sostituisce la rappresentazione diagonale con una sequenza di blocchi di Jordan, ciascuno dei quali è una matrice quasi diagonale contenente un autovalore sulla diagonale e degli 1 sulla sovradiagonale. Questo strumento calcola tutto con aritmetica razionale esatta, quindi J e P risultanti sono provabilmente corretti — non è coinvolto alcun arrotondamento in virgola mobile.

Cos'è la Forma Normale di Jordan?

Data una matrice A n × n sui numeri complessi, la forma normale di Jordan J è una matrice diagonale a blocchi

dove ogni blocco di Jordan J_k(λ) è una matrice k × k con λ sulla diagonale, degli 1 sulla sovradiagonale e zeri altrove:

Gli autovalori λ_i possono ripetersi tra i blocchi; ciò che conta è lo schema delle dimensioni dei blocchi, che è un invariante completo di similitudine di A.

Perché abbiamo bisogno della forma di Jordan se abbiamo la diagonalizzazione?

Non tutte le matrici quadrate sono diagonalizzabili. Una matrice non è diagonalizzabile quando qualche autovalore ha meno autovettori indipendenti rispetto alla sua molteplicità algebrica — diciamo che la matrice è difettiva. La forma di Jordan ripara questo divario introducendo autovettori generalizzati, producendo una forma canonica che funziona per ogni matrice.

Concetti Chiave

Molteplicità Algebrica vs Geometrica

La molteplicità algebrica di un autovalore λ è la molteplicità di λ come radice del polinomio caratteristico p_A(λ) = det(λI − A). La molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio, o equivalentemente dim ker(A − λI). Il numero di blocchi di Jordan associati a λ è pari alla sua molteplicità geometrica, e la dimensione totale di quei blocchi è pari alla sua molteplicità algebrica.

Autovettori Generalizzati e Catene

Un vettore v è un autovettore generalizzato di rango k per l'autovalore λ se (A − λI)^kv = 0 ma (A − λI)^k−1v ≠ 0. Applicando N = (A − λI) a un autovettore generalizzato di rango k si ottiene un autovettore di rango k−1, quindi otteniamo una catena di Jordan:

Posizionando la catena nell'ordine v₁, v₂, …, v_k come colonne di P si produce un blocco di Jordan di dimensione k nelle righe/colonne corrispondenti di J.

La Scala dei Kernel e il Conteggio dei Blocchi

Per ogni autovalore λ, si definisce la sequenza ascendente d_k = dim ker((A − λI)^k). La sequenza è non decrescente e si stabilizza alla molteplicità algebrica di λ. I conteggi dei blocchi di Jordan di ogni dimensione sono estratti da questa scala:

Questo è un conteggio tramite diagramma di Young ed è esatto — nessuna congettura richiesta. Il calcolatore stampa questa scala per ogni autovalore in modo da poter seguire la decomposizione passo dopo passo.

Polinomio Minimo

Il polinomio minimo m_A(λ) è il polinomio monico di grado minimo che soddisfa m_A(A) = 0. Una volta ottenuta la forma di Jordan, leggerlo è banale:

Una matrice è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo non ha radici ripetute, ovvero ogni blocco di Jordan ha dimensione 1.

Come Funziona Questo Calcolatore

1. Analisi della matrice — le voci intere, frazionarie (es. 1/2) o decimali sono tutte accettate e convertite in razionali esatti (fractions.Fraction).
2. Calcolo del polinomio caratteristico utilizzando l'algoritmo di Faddeev–LeVerrier, che evita l'espansione simbolica del determinante e viene eseguito in tempo O(n⁴) con aritmetica esatta.
3. Ricerca degli autovalori razionali tramite il Teorema delle Radici Razionali — ogni radice razionale p/q di un polinomio a coefficienti interi primitivo soddisfa p ∣ termine noto e q ∣ coefficiente principale. Ogni radice trovata viene divisa e la ricerca si ripete.
4. Costruzione della scala dei kernel per ogni autovalore λ calcolando dim ker((A − λI)^k) con RREF razionale fino a quando la sequenza non si stabilizza alla molteplicità algebrica.
5. Selezione dei vettori sommitali della catena dal kernel più grande a quello più piccolo, estendendo la base ogni volta che è richiesto un nuovo blocco di Jordan. Ogni sommità della catena viene poi ripetutamente moltiplicata per (A − λI) per ottenere i vettori della catena.
6. Assemblaggio di J e P raggruppando le catene per autovalore (blocchi di dimensione maggiore per primi), posizionando i vettori della catena come colonne di P e riempiendo J con gli autovalori e gli 1 sulla sovradiagonale.
7. Verifica esatta che P⁻¹ A P = J utilizzando l'aritmetica intera — il risultato è garantito perché tutti i calcoli intermedi sono razionali.

Esempio Svolto

Consideriamo la matrice difettiva 3 × 3

• Polinomio caratteristico: \(p_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3\). Unico autovalore λ = 5 con molteplicità algebrica 3.
• Scala dei kernel per λ = 5: \(d_1 = 1\), \(d_2 = 2\), \(d_3 = 3\). Gli incrementi sono 1, 1, 1 → un singolo blocco di Jordan di dimensione 3.
• Forma di Jordan: \(J = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\), con molteplicità geometrica 1 e indice 3.
• Polinomio minimo: \(m_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3\) — uguale al polinomio caratteristico perché c'è un solo blocco di Jordan.

Applicazioni della Forma Normale di Jordan

• Esponenziali di matrici e ODE lineari — per un sistema a coefficienti costanti x′ = Ax, la soluzione in forma chiusa è \(e^{tA}x_0\), ed \(e^{tA}\) è facile da calcolare una volta che A è scritta in forma di Jordan.
• Potenze di una matrice — \(A^k = P J^k P^{-1}\), e i blocchi di Jordan ammettono formule esplicite per le loro potenze.
• Calcolo funzionale — \(f(A) = P f(J) P^{-1}\) si generalizza ad arbitrarie f analitiche, purché f sia definita su un intorno dello spettro.
• Teoria del controllo — la stabilità dei sistemi lineari è governata dagli autovalori e dalle dimensioni dei blocchi di Jordan (i casi limite richiedono di guardare il blocco più grande per un autovalore marginale).
• Classificazione degli operatori lineari — due matrici sono simili se e solo se condividono la stessa forma di Jordan, quindi la forma è un invariante completo.

Domande Frequenti

Cos'è la forma normale di Jordan di una matrice?

La forma normale di Jordan (chiamata anche forma canonica di Jordan) è una matrice quasi diagonale J simile alla matrice originale A, il che significa che esiste una matrice invertibile P con P⁻¹AP = J. La diagonale di J contiene gli autovalori di A, e appena sopra la diagonale ci sono degli 1 che appaiono all'interno dei blocchi di Jordan ogni volta che A non è diagonalizzabile. Ogni matrice quadrata sui numeri complessi ha una forma normale di Jordan, unica a meno dell'ordine dei blocchi.

Quando una matrice non è diagonalizzabile?

Una matrice non è diagonalizzabile quando almeno un autovalore ha meno autovettori linearmente indipendenti rispetto alla sua molteplicità algebrica — il divario è colmato da blocchi di Jordan di dimensione 2 o superiore. Equivalentemente, una matrice non è diagonalizzabile quando il suo polinomio minimo ha una radice ripetuta. Tali matrici sono chiamate difettive.

Come sono definiti gli autovettori generalizzati?

Un autovettore generalizzato di rango k per l'autovalore λ è un vettore non nullo v tale che (A − λI)^kv = 0 ma (A − λI)^k−1v è non nullo. Applicando (A − λI) a un autovettore generalizzato di rango k si ottiene un autovettore di rango k−1, producendo una catena. Queste catene formano le colonne della matrice di transizione P nella decomposizione di Jordan.

Qual è la differenza tra molteplicità algebrica e geometrica?

La molteplicità algebrica di un autovalore λ è il numero di volte che appare come radice del polinomio caratteristico. La molteplicità geometrica è la dimensione del suo autospazio — il numero di autovettori linearmente indipendenti. La molteplicità geometrica è uguale al numero di blocchi di Jordan per λ, mentre la molteplicità algebrica è uguale alla dimensione totale di tutti quei blocchi. Molteplicità uguali significano che l'autovalore contribuisce solo con blocchi di dimensione 1.

In che modo questo calcolatore trova le dimensioni dei blocchi di Jordan?

Per ogni autovalore λ, il calcolatore calcola le dimensioni d_k = dim ker((A − λI)^k) per k = 1, 2, … finché la sequenza non si stabilizza alla molteplicità algebrica. Il numero di blocchi di Jordan di dimensione almeno k è pari a d_k − d_k−1. Sottraendo i termini consecutivi si ottiene il conteggio esatto dei blocchi di ogni dimensione. Questo calcolo tramite diagramma di Young è esatto e utilizza l'aritmetica razionale in tutto il processo.

Il calcolatore gestisce matrici con autovalori irrazionali o complessi?

Il calcolatore utilizza l'aritmetica razionale esatta, che richiede che gli autovalori siano numeri razionali. Quando il polinomio caratteristico ha fattori che non si scindono sui razionali, lo strumento mostra autovalori complessi approssimati numericamente per il fattore rimanente ma non produce la forma di Jordan completa, poiché l'aritmetica esatta è essenziale per determinare correttamente le dimensioni dei blocchi. Scala o modifica la tua matrice in modo che tutti gli autovalori siano razionali per ottenere la decomposizione di Jordan completa.

Cos'è il polinomio minimo e come viene calcolato qui?

Il polinomio minimo m(λ) è il polinomio monico di grado minimo che annulla A, ovvero m(A) = 0. È uguale al prodotto sugli autovalori distinti λ di (λ − λ_i)^indice_i, dove l'indice è la dimensione del blocco di Jordan più grande per l'autovalore λ_i. Questo calcolatore legge l'indice direttamente dalla struttura a blocchi calcolata, quindi il polinomio minimo è un sottoprodotto gratuito della decomposizione di Jordan.

Ulteriori Approfondimenti

• Forma canonica di Jordan — Wikipedia
• Autovettore generalizzato — Wikipedia
• Polinomio minimo — Wikipedia
• Algoritmo di Faddeev–LeVerrier — Wikipedia