ジョルダン標準形電卓

正方行列のジョルダン標準形 J と、P^(-1)AP = J を満たす変換行列 P を計算します。一般化固有ベクトルを用いた対角化不可能な行列の処理、カーネル連鎖分析のステップ解説、ジョルダン細胞の図解表示に対応しています。

ジョルダン標準形電卓

ジョルダン標準形電卓は、正方行列 A のジョルダン標準形 J と、相似関係 P⁻¹AP = J を満たす可逆な変換行列 P を算出します。欠陥行列（対角化できない行列）では対角化が失敗しますが、ジョルダン標準形は代数的に閉じた体上のあらゆる正方行列に対して存在します。これは対角表現を、対角線上に固有値を持ち、上副対角線上に 1 を持つジョルダン細胞の配列に置き換えるものです。このツールはすべて正確な有理数演算で計算を行うため、得られる J と P は厳密に正しいことが保証されており、浮動小数点の丸め誤差は一切含まれません。

ジョルダン標準形とは何ですか？

複素数体上の n × n 行列 A が与えられたとき、ジョルダン標準形 J は以下のようなブロック対角行列になります。

J = diag( J_k₁(λ₁), J_k₂(λ₂), …, J_kₛ(λₛ) )

ここで各ジョルダン細胞 J_k(λ) は、対角線上に λ、上副対角線上に 1、それ以外に 0 を持つ k × k 行列です。

$$J_k(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{bmatrix}$$

固有値 λ_i は異なるブロック間で重複することがあります。重要なのは A の相似不変量となる細胞サイズのパターンです。

対角化があるのに、なぜジョルダン標準形が必要なのですか？

すべての正方行列が対角化可能であるとは限りません。ある固有値の線形独立な固有ベクトルの数がその代数的重複度よりも少ない場合、行列は対角化に失敗します。このような行列を欠陥行列と呼びます。ジョルダン標準形は、一般固有ベクトルを導入することでこの不足分を補い、すべての行列に適用可能な標準形式を提供します。

状況	固有値の振る舞い	標準形式
n 個の相異なる固有値	各 λ について代数 = 幾何 = 1	完全な対角行列（連鎖は不要）
固有値が重複し、代数的 = 幾何学的	λ の固有ベクトルが重複度と同じ数だけ存在する	対角行列 — ジョルダン細胞はすべてサイズ 1
固有値が重複し、代数的 > 幾何学的	λ は欠陥を持つ	サイズ 2 以上の細胞を含むジョルダン標準形

主要な概念

代数的重複度 vs 幾何学的重複度

固有値 λ の代数的重複度は、特性多項式 p_A(λ) = det(λI − A) の根としての重複度です。幾何学的重複度は、固有空間の次元、つまり dim ker(A − λI) です。λ に付随するジョルダン細胞の数は幾何学的重複度に等しく、それらの細胞の合計サイズは代数的重複度に等しくなります。

一般固有ベクトルと連鎖

ベクトル v が固有値 λ に対するランク k の一般固有ベクトルであるとは、(A − λI)^kv = 0 かつ (A − λI)^k−1v ≠ 0 であることを指します。ランク k の一般固有ベクトルに N = (A − λI) を適用するとランク k−1 のベクトルが生成され、これを繰り返すことでジョルダン連鎖が得られます。

v_k → v_k−1 = Nv_k → v_k−2 = N²v_k → ⋯ → v₁ = N^k−1v_k （通常の固有ベクトル）

この連鎖を v₁, v₂, …, v_k の順に P の列として配置すると、J の対応する行・列にサイズ k のジョルダン細胞が生成されます。

核ラダーとブロック数

各固有値 λ について、上昇数列 d_k = dim ker((A − λI)^k) を定義します。この数列は非減少で、λ の代数的重複度で安定します。各サイズのジョルダン細胞の数は、このラダーから抽出されます。

サイズ k 以上の細胞数 = d_k − d_k−1 サイズ k の細胞数 = 2·d_k − d_k−1 − d_k+1

これはヤング図形の計算であり、推測を必要としない厳密なものです。電卓はすべての固有値についてこのラダーを表示するため、分解のプロセスを順を追って確認できます。

最小多項式

最小多項式 m_A(λ) は、m_A(A) = 0 を満たす最小次数の単多項式です。ジョルダン標準形が得られれば、以下のように簡単に読み取れます。

m_A(λ) = ∏_i (λ − λ_i)^r_i （r_i は λ_i の指数、すなわち最大細胞のサイズ）

行列が対角化可能であるための必要十分条件は、最小多項式が重根を持たないこと、つまりすべてのジョルダン細胞のサイズが 1 であることです。

この電卓の仕組み

行列の解析 — 整数、分数（例：1/2）、または小数の入力をすべて受け付け、正確な有理数（fractions.Fraction）に変換します。
特性多項式の計算 — ファデーエフ・ルヴェリエのアルゴリズムを使用して計算します。これにより、行列式の記号展開を避け、正確な演算で O(n⁴) の時間計算量で実行できます。
有理固有値の算出 — 有理根定理を用いて、原始多項式の有理根 p/q を探索します。見つかった根を割り算で除き、探索を繰り返します。
核ラダーの構築 — 各固有値 λ について、有理 RREF（行既約階段形）を用いて dim ker((A − λI)^k) を計算し、代数的重複度に達するまで継続します。
連鎖の最上位ベクトルの選択 — 最大の核から最小のものへとベクトルを選択し、新しいジョルダン細胞が必要になるたびに基底を拡張します。各最上位ベクトルに (A − λI) を繰り返し掛けて、連鎖ベクトルを取得します。
J と P の組み立て — 固有値ごとに連鎖をグループ化し（大きいサイズから順に）、連鎖ベクトルを P の列として配置し、J に固有値と上副対角線の 1 を埋めます。
検証 — 有理数演算を用いて P⁻¹ A P = J を正確に検証します。すべての中間計算が有理数であるため、結果は数学的に保証されています。

計算例

以下の 3 × 3 欠陥行列を考えます。

$$A = \begin{bmatrix} 5 & 4 & 2 \\ 0 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$

特性多項式: $p_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3$。固有値 λ = 5（代数的重複度 3）のみを持ちます。
λ = 5 の核ラダー: $d_1 = 1$, $d_2 = 2$, $d_3 = 3$。増分は 1, 1, 1 であり、サイズ 3 のジョルダン細胞が 1 つ存在することを示します。
ジョルダン標準形: $J = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$（幾何学的重複度 1、指数 3）。
最小多項式: ジョルダン細胞が 1 つしかないため、特性多項式と同じ $m_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3$ となります。

ジョルダン標準形の応用

行列指数関数と線形常微分方程式 — 定数係数システム x′ = Ax の解は $e^{tA}x_0$ であり、A をジョルダン標準形に直せば $e^{tA}$ の計算は容易になります。
行列のべき乗 — $A^k = P J^k P^{-1}$ であり、ジョルダン細胞のべき乗には明示的な公式が存在します。
関数解析（関数計算） — $f(A) = P f(J) P^{-1}$ は、スペクトルの近傍で定義された任意の解析関数 f に一般化できます。
制御理論 — 線形システムの安定性は固有値およびジョルダン細胞のサイズによって決定されます（境界例では、限界的な固有値に対する最大ブロックを確認する必要があります）。
線形作用素の分類 — 2つの行列が相似であるための必要十分条件はジョルダン標準形を共有することであり、この形式は完全不変量です。

よくある質問

行列のジョルダン標準形とは何ですか？

ジョルダン標準形（ジョルダン標準形とも呼ばれる）は、元の行列 A と相似な準対角行列 J であり、P⁻¹AP = J を満たす可逆行列 P が存在することを意味します。J の対角線上には A の固有値が並び、A が対角化可能でない場合は、ジョルダン細胞内の対角線のすぐ上に 1 が現れます。複素数体上のすべての正方行列は、ブロックの順序を除いて一意なジョルダン標準形を持ちます。

行列が対角化できないのはどのような場合ですか？

少なくとも 1 つの固有値において、線形独立な固有ベクトルの数がその代数的重複度よりも少ない場合、行列は対角化できません。この不足分はサイズ 2 以上のジョルダン細胞によって埋められます。同等に、最小多項式が重根を持つ場合、行列は対角化できません。このような行列は欠陥行列と呼ばれます。

一般固有ベクトルはどのように定義されますか？

固有値 λ に対するランク k の一般固有ベクトルとは、(A − λI)^kv = 0 かつ (A − λI)^k−1v が 0 でない非ゼロベクトル v のことです。ランク k の一般固有ベクトルに (A − λI) を適用するとランク k−1 のベクトルが得られ、連鎖が形成されます。これらの連鎖がジョルダン分解における変換行列 P の列を構成します。

代数的重複度と幾何学的重複度の違いは何ですか？

固有値 λ の代数的重複度は、特性多項式の根としての出現回数です。幾何学的重複度は固有空間の次元（線形独立な固有ベクトルの数）です。幾何学的重複度は lambda に対するジョルダン細胞の数に等しく、代数的重複度はそれらの細胞の合計サイズに等しくなります。重複度が等しい場合、その固有値はサイズ 1 の細胞のみに寄与します。

この電卓はどのようにしてジョルダン細胞のサイズを求めますか？

各固有値 λ について、電卓は数列 d_k = dim ker((A − λI)^k) を代数的重複度で安定するまで計算します。サイズ k 以上のジョルダン細胞の数は d_k − d_k−1 に等しくなります。連続する項を差し引くことで、各サイズの細胞の正確な数を算出します。このヤング図形による計算は正確であり、終始有理数演算を使用しています。

無理数や複素数の固有値を持つ行列も扱えますか？

この電卓は正確な有理数演算を使用しているため、固有値が有理数である必要があります。特性多項式が有理数体上で分解できない因数を持つ場合、数値的に近似された複素固有値を表示しますが、正確な演算が細胞サイズを正しく決定するために不可欠であるため、完全なジョルダン標準形は生成しません。完全な分解を得るには、固有値が有理数になるように行列を修正してください。

最小多項式とは何ですか？ここではどのように計算されますか？

最小多項式 m(λ) は、A を零化する（m(A) = 0 となる）最小次数の単多項式です。これは相異なる固有値 λ_i についての (λ − λ_i)^index_i の積に等しく、ここで index は固有値 λ_i に対する最大のジョルダン細胞のサイズです。この電卓は計算されたブロック構造から直接インデックスを読み取るため、最小多項式はジョルダン分解の副産物として得られます。