Calculadora de Forma Normal de Jordan

Calculadora de Forma Normal de Jordan

A Calculadora de Forma Normal de Jordan produz a forma canônica de Jordan J de uma matriz quadrada A junto com uma matriz de transição invertível P que satisfaz a relação de similaridade P⁻¹AP = J. Diferente da diagonalização, que falha para matrizes defeituosas, a forma de Jordan existe para toda matriz quadrada sobre um corpo algebricamente fechado — ela substitui a representação diagonal por uma sequência de blocos de Jordan, cada um sendo uma matriz quase diagonal contendo um autovalor na diagonal e 1s na superdiagonal. Esta ferramenta calcula tudo com aritmética racional exata, portanto as matrizes J e P resultantes são comprovadamente corretas — sem envolvimento de arredondamento de ponto flutuante.

O que é a Forma Normal de Jordan?

Dada uma matriz n × n A sobre os números complexos, a forma normal de Jordan J é uma matriz diagonal por blocos

onde cada bloco de Jordan J_k(λ) é uma matriz k × k com λ na diagonal, 1s na superdiagonal e zeros em outros lugares:

Os autovalores λ_i podem se repetir entre os blocos; o que importa é o padrão de tamanhos dos blocos, que é um invariante de similaridade completo de A.

Por que precisamos da Forma de Jordan se temos a Diagonalização?

Nem toda matriz quadrada é diagonalizável. Uma matriz falha em ser diagonalizável quando algum autovalor tem menos autovetores independentes do que sua multiplicidade algébrica — dizemos que a matriz é defeituosa. A forma de Jordan corrige essa lacuna ao introduzir autovetores generalizados, resultando em uma forma canônica que funciona para toda matriz.

Conceitos Chave

Multiplicidade Algébrica vs Geométrica

A multiplicidade algébrica de um autovalor λ é a multiplicidade de λ como raiz do polinômio característico p_A(λ) = det(λI − A). A multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço próprio, ou equivalentemente dim ker(A − λI). O número de blocos de Jordan associados a λ é igual à sua multiplicidade geométrica, e o tamanho total desses blocos é igual à sua multiplicidade algébrica.

Autovetores Generalizados e Cadeias

Um vetor v é um autovetor generalizado de posto k para o autovalor λ se (A − λI)^kv = 0 mas (A − λI)^k−1v ≠ 0. Aplicar N = (A − λI) a um autovetor generalizado de posto k produz um de posto k−1, obtendo assim uma cadeia de Jordan:

Colocar a cadeia na ordem v₁, v₂, …, v_k como colunas de P produz um bloco de Jordan de tamanho k nas linhas/colunas correspondentes de J.

A Escada de Núcleo e Contagem de Blocos

Para cada autovalor λ, defina a sequência ascendente d_k = dim ker((A − λI)^k). A sequência é não decrescente, estabilizando na multiplicidade algébrica de λ. As contagens de blocos de Jordan de cada tamanho são extraídas desta escada:

Esta é uma contagem via diagrama de Young e é exata — sem adivinhação. A calculadora exibe esta escada para cada autovalor para que você possa acompanhar a decomposição passo a passo.

Polinômio Minimal

O polinômio minimal m_A(λ) é o polinômio mônico de menor grau que satisfaz m_A(A) = 0. Uma vez que você tem a forma de Jordan, identificá-lo é trivial:

Uma matriz é diagonalizável se, e somente se, seu polinômio minimal não possui raízes repetidas, ou seja, cada bloco de Jordan possui tamanho 1.

Como Esta Calculadora Funciona

1. Analisa a matriz — entradas de inteiros, frações (ex: 1/2) ou decimais são todas aceitas e convertidas em racionais exatos (fractions.Fraction).
2. Computa o polinômio característico usando o algoritmo de Faddeev–LeVerrier, que evita a expansão simbólica do determinante e executa em tempo O(n⁴) com aritmética exata.
3. Encontra autovalores racionais via Teorema das Raízes Racionais — cada raiz racional p/q de um polinômio de inteiros primitivo satisfaz p ∣ termo constante e q ∣ coeficiente líder. Cada raiz encontrada é dividida e a busca se repete.
4. Constrói a escada de núcleo para cada autovalor λ computando dim ker((A − λI)^k) com RREF racional até que a sequência se estabilize na multiplicidade algébrica.
5. Seleciona vetores de topo de cadeia do maior núcleo para o menor, estendendo a base sempre que um novo bloco de Jordan for necessário. Cada topo de cadeia é então repetidamente multiplicado por (A − λI) para obter seus vetores de cadeia.
6. Monta J e P agrupando cadeias por autovalor (blocos de maior tamanho primeiro), colocando vetores de cadeia como colunas de P e preenchendo J com os autovalores e 1s na superdiagonal.
7. Verifica exatamente que P⁻¹ A P = J usando aritmética de inteiros — o resultado é garantido porque todas as computações intermediárias são racionais.

Exemplo Prático

Considere a matriz defeituosa 3 × 3

• Polinômio característico: \(p_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3\). Autovalor único λ = 5 com multiplicidade algébrica 3.
• Escada de núcleo para λ = 5: \(d_1 = 1\), \(d_2 = 2\), \(d_3 = 3\). Os incrementos são 1, 1, 1 → um único bloco de Jordan de tamanho 3.
• Forma de Jordan: \(J = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\), com multiplicidade geométrica 1 e índice 3.
• Polinômio minimal: \(m_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3\) — igual ao polinômio característico porque há apenas um bloco de Jordan.

Aplicações da Forma Normal de Jordan

• Exponenciais de matrizes e ODEs lineares — para um sistema de coeficientes constantes x′ = Ax, a solução de forma fechada é \(e^{tA}x_0\), e \(e^{tA}\) é simples de calcular uma vez que A é escrita na forma de Jordan.
• Potências de uma matriz — \(A^k = P J^k P^{-1}\), e os blocos de Jordan admitem fórmulas explícitas para suas potências.
• Cálculo funcional — \(f(A) = P f(J) P^{-1}\) generaliza para f analítica arbitrária, desde que f seja definida em uma vizinhança do espectro.
• Teoria de controle — a estabilidade de sistemas lineares é governada pelos autovalores e tamanhos dos blocos de Jordan (casos limítrofes exigem olhar para o maior bloco para um autovalor marginal).
• Classificação de operadores lineares — duas matrizes são similares se, e somente se, compartilham a mesma forma de Jordan, portanto a forma é um invariante completo.

Perguntas Frequentes

O que é a forma normal de Jordan de uma matriz?

A forma normal de Jordan (também chamada de forma canônica de Jordan) é uma matriz quase diagonal J similar à matriz original A, o que significa que existe uma matriz invertível P com P⁻¹AP = J. A diagonal de J contém os autovalores de A, e logo acima da diagonal existem 1s que aparecem dentro dos blocos de Jordan sempre que A não é diagonalizável. Toda matriz quadrada sobre os números complexos possui uma forma normal de Jordan, única exceto pela ordem dos blocos.

Quando uma matriz não é diagonalizável?

Uma matriz não é diagonalizável quando pelo menos um autovalor tem menos autovetores linearmente independentes do que sua multiplicidade algébrica — a lacuna é preenchida por blocos de Jordan de tamanho 2 ou maior. Equivalentemente, uma matriz não é diagonalizável quando seu polinômio minimal tem uma raiz repetida. Tais matrizes são chamadas de defeituosas.

Como são definidos os autovetores generalizados?

Um autovetor generalizado de posto k para o autovalor λ é um vetor não nulo v tal que (A − λI)^kv = 0 mas (A − λI)^k−1v é não nulo. Aplicar (A − λI) a um autovetor generalizado de posto k resulta em um de posto k−1, produzindo uma cadeia. Essas cadeias formam as colunas da matriz de transição P na decomposição de Jordan.

Qual é a diferença entre multiplicidade algébrica e geométrica?

A multiplicidade algébrica de um autovalor λ é o número de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico. A multiplicidade geométrica é a dimensão do seu espaço próprio — o número de autovetores linearmente independentes. A multiplicidade geométrica é igual ao número de blocos de Jordan para λ, enquanto a multiplicidade algébrica é igual ao tamanho total de todos esses blocos. Multiplicidades iguais significam que o autovalor contribui apenas com blocos de tamanho 1.

Como esta calculadora encontra os tamanhos dos blocos de Jordan?

Para cada autovalor λ, a calculadora computa as dimensões d_k = dim ker((A − λI)^k) for k = 1, 2, … até que a sequência se estabilize na multiplicidade algébrica. O número de blocos de Jordan de tamanho pelo menos k é igual a d_k − d_k−1. A subtração de termos consecutivos resulta na contagem exata de blocos de cada tamanho. Este cálculo via diagrama de Young é exato e utiliza aritmética racional em todo o processo.

A calculadora lida com matrizes com autovalores irracionais ou complexos?

A calculadora usa aritmética racional exata, o que exige que os autovalores sejam números racionais. Quando o polinômio característico possui fatores que não se decompõem sobre os racionais, a ferramenta mostra autovalores complexos aproximados numericamente para o fator restante, mas não produz a forma de Jordan completa, pois a aritmética exata é essencial para determinar os tamanhos dos blocos corretamente. Redimensione ou modifique sua matriz para que todos os autovalores sejam racionais para obter a decomposição de Jordan completa.

O que é o polinômio minimal e como ele é calculado aqui?

O polinômio minimal m(λ) é o polinômio mônico de menor grau que anula A, ou seja, m(A) = 0. Ele é igual ao produto sobre os autovalores distintos λ de (λ − λ_i)^index_i, onde o índice é o tamanho do maior bloco de Jordan para o autovalor λ_i. Esta calculadora lê o índice diretamente da estrutura de blocos computada, portanto o polinômio minimal é um subproduto direto da decomposição de Jordan.

Leitura Adicional

• Forma normal de Jordan — Wikipedia (Inglês)
• Autovetor generalizado — Wikipedia (Inglês)
• Polinômio minimal — Wikipedia (Inglês)
• Algoritmo de Faddeev–LeVerrier — Wikipedia (Inglês)