조르당 표준형 계산기

정방행렬의 조르당 표준형과 P^-1 A P = J를 만족하는 변환행렬 P를 계산합니다. 일반화 고유벡터를 통해 결함이 있는 대각화 불가능 행렬도 처리하며 커널 체인 분석과 블록 다이어그램을 제공합니다.

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조르당 표준형 계산기 정보

조르당 표준형 계산기는 정사각 행렬 A의 조르당 표준형(조르당 정규형) J와 유사 관계 P⁻¹AP = J를 만족하는 가역 변환 행렬 P를 생성합니다. 결함 행렬에 대해 실패하는 대각화와 달리, 조르당 표준형은 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 정사각 행렬에 대해 존재합니다. 이는 대각 표현을 대각선에 고유값을 가지고 초대각선에 1을 가진 조르당 블록의 시퀀스로 대체합니다. 이 도구는 모든 것을 정확한 유리수 산술로 계산하므로 결과 J와 P가 수학적으로 증명 가능하며 부동 소수점 반올림 오차가 없습니다.

조르당 표준형이란 무엇인가요?

복소수체 위의 n × n 행렬 A가 주어졌을 때, 조르당 표준형 J는 다음과 같은 블록 대각 행렬입니다.

J = diag( J_k₁(λ₁), J_k₂(λ₂), …, J_kₛ(λₛ) )

여기서 각 조르당 블록 J_k(λ)는 대각선에 λ가 있고, 초대각선(superdiagonal)에 1이 있으며, 나머지 위치는 0인 k × k 행렬입니다.

$$J_k(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{bmatrix}$$

고유값 λ_i는 여러 블록에서 반복될 수 있습니다. 중요한 것은 블록 크기의 패턴이며, 이는 A의 완전한 유사 불변량입니다.

대각화가 있는데 왜 조르당 표준형이 필요한가요?

모든 정사각 행렬이 대각화 가능한 것은 아닙니다. 어떤 고유값이 대수적 중복도보다 적은 독립적인 고유벡터를 가질 때 행렬은 대각화에 실패하며, 이를 결함 행렬(defective matrix)이라고 합니다. 조르당 표준형은 일반화된 고유벡터를 도입하여 이 간극을 메우고, 모든 행렬에 대해 작동하는 표준적인 형태를 제공합니다.

상황	고유값 동작	표준형
n개의 서로 다른 고유값	각 λ에 대해 대수적 중복도 = 기하적 중복도 = 1	완전 대각 행렬 (체인 불필요)
중복 고유값, 대수적 = 기하적	λ가 중복도만큼의 고유벡터를 가짐	대각 행렬 — 모든 조르당 블록의 크기가 1
중복 고유값, 대수적 > 기하적	λ가 결함 상태임	크기 2 이상의 블록을 포함하는 조르당 표준형

주요 개념

대수적 vs 기하적 중복도

고유값 λ의 대수적 중복도는 특성 다항식 p_A(λ) = det(λI − A)의 근으로서 λ의 중복도입니다. 기하적 중복도는 고유 공간의 차원, 즉 dim ker(A − λI)와 같습니다. λ와 관련된 조르당 블록의 수는 기하적 중복도와 같고, 해당 블록들의 전체 크기 합은 대수적 중복도와 같습니다. 두 중복도가 같으면 해당 고유값은 크기 1의 블록들만 생성합니다.

일반화된 고유벡터와 체인

벡터 v가 고유값 λ에 대한 랭크 k의 일반화된 고유벡터라는 것은 (A − λI)^kv = 0이지만 (A − λI)^k−1v ≠ 0임을 의미합니다. N = (A − λI)를 랭크 k 일반화된 고유벡터에 적용하면 랭크 k−1의 벡터를 얻게 되며, 이를 통해 조르당 체인을 얻습니다.

v_k → v_k−1 = Nv_k → v_k−2 = N²v_k → ⋯ → v₁ = N^k−1v_k (일반 고유벡터)

이 체인을 v₁, v₂, …, v_k 순서대로 P의 열로 배치하면 J의 해당 행/열에 크기 k의 조르당 블록이 생성됩니다.

Kernel Ladder와 블록 수 계산

각 고유값 λ에 대해 오름차순 수열 d_k = dim ker((A − λI)^k)를 정의합니다. 이 수열은 단조 증가하며 λ의 대수적 중복도에서 멈춥니다. 각 크기별 조르당 블록의 수는 이 Ladder에서 추출됩니다.

크기가 k 이상인 블록 수 = d_k − d_k−1 크기가 정확히 k인 블록 수 = 2·d_k − d_k−1 − d_k+1

이것은 영 다이어그램(Young-diagram) 계산이며 정확합니다. 계산기는 모든 고유값에 대해 이 Ladder를 출력하므로 분해 과정을 단계별로 따라갈 수 있습니다.

최소 다항식

최소 다항식 m_A(λ)는 m_A(A) = 0을 만족하는 가장 낮은 차수의 모닉 다항식입니다. 조르당 표준형을 알면 이를 읽어내는 것은 매우 쉽습니다.

m_A(λ) = ∏_i (λ − λ_i)^r_i, 여기서 r_i는 λ_i의 인덱스(가장 큰 조르당 블록의 크기)

행렬이 대각화 가능할 필요충분조건은 최소 다항식이 중근을 갖지 않는 것, 즉 모든 조르당 블록의 크기가 1인 것입니다.

이 계산기의 작동 방식

행렬 파싱 — 정수, 분수(예: 1/2), 소수 입력을 모두 수용하고 정확한 유리수(fractions.Fraction)로 변환합니다.
특성 다항식 계산 — 기호적 행렬식 전개를 피하고 정확한 산술을 사용하여 O(n⁴) 시간에 실행되는 Faddeev–LeVerrier 알고리즘을 사용합니다.
유리수 고유값 찾기 — 유리근 정리를 통해 찾습니다. 원시 정수 다항식의 모든 유리근 p/q는 p ∣ 상수항 및 q ∣ 최고차항 계수를 만족합니다. 찾은 각 근은 나누어 제거하고 검색을 반복합니다.
Kernel Ladder 구축 — 수열이 대수적 중복도에서 안정화될 때까지 유리수 RREF를 사용하여 dim ker((A − λI)^k)를 계산합니다.
체인 상단 벡터 선택 — 가장 큰 커널에서 가장 작은 커널로 내려가며, 새로운 조르당 블록이 필요할 때마다 기저를 확장합니다. 그런 다음 각 체인 상단 벡터에 (A − λI)를 반복적으로 곱하여 체인 벡터를 얻습니다.
J 및 P 조립 — 고유값별로 체인을 그룹화하고(큰 크기 블록 우선), 체인 벡터를 P의 열로 배치하고 J를 고유값과 초대각선 1로 채웁니다.
검증 — 정수 산술을 사용하여 P⁻¹ A P = J임을 정확하게 검증합니다. 모든 중간 계산이 유리수이므로 결과가 보장됩니다.

계산 예시

다음의 결함 있는 3 × 3 행렬을 고려해 보십시오.

$$A = \begin{bmatrix} 5 & 4 & 2 \\ 0 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$

특성 다항식: $p_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3$. 대수적 중복도가 3인 단일 고유값 λ = 5.
λ = 5에 대한 Kernel ladder: $d_1 = 1$, $d_2 = 2$, $d_3 = 3$. 증분은 1, 1, 1 → 크기 3의 단일 조르당 블록.
조르당 표준형: $J = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$, 기하적 중복도는 1이고 인덱스는 3입니다.
최소 다항식: $m_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3$ — 조르당 블록이 하나뿐이므로 특성 다항식과 동일합니다.

조르당 표준형의 활용

행렬 지수 함수 및 선형 ODE — 상수 계수 시스템 x′ = Ax의 해는 $e^{tA}x_0$이며, A를 조르당 형식으로 쓰면 $e^{tA}$를 계산하기가 매우 쉽습니다.
행렬의 거듭제곱 — $A^k = P J^k P^{-1}$이며, 조르당 블록의 거듭제곱은 명시적인 공식이 존재합니다.
함수 미적분(Functional calculus) — $f(A) = P f(J) P^{-1}$은 f가 스펙트럼의 근방에서 정의된 임의의 해석 함수 f로 일반화됩니다.
제어 이론 — 선형 시스템의 안정성은 고유값 및 조르당 블록 크기에 의해 결정됩니다.
선형 연산자의 분류 — 두 행렬이 동일한 조르당 형식을 공유할 때만 서로 유사하므로, 이 형식은 완전한 불변량입니다.

자주 묻는 질문

행렬의 조르당 표준형이란 무엇인가요?

조르당 표준형(조르당 정규형이라고도 함)은 원래 행렬 A와 유사한 대각 행렬에 가까운 행렬 J입니다. 즉, P⁻¹AP = J를 만족하는 가역 행렬 P가 존재합니다. J의 대각선에는 A의 고유값이 포함되며, A가 대각화 가능하지 않을 때마다 조르당 블록 내부의 대각선 바로 위에 1이 나타납니다. 복소수 범위의 모든 정사각 행렬은 유일한 조르당 표준형을 가집니다.

행렬이 대각화 가능하지 않은 경우는 언제인가요?

적어도 하나의 고유값이 대수적 중복도보다 적은 기하적 중복도를 가질 때 행렬은 대각화 가능하지 않습니다. 이 간극은 크기가 2 이상인 조르당 블록으로 채워집니다. 이러한 행렬을 결함 행렬이라고 합니다.

일반화된 고유벡터는 어떻게 정의되나요?

고유값 λ에 대한 랭크 k의 일반화된 고유벡터는 (A − λI)^kv = 0이지만 (A − λI)^k−1v는 0이 아닌 벡터 v입니다. 이러한 벡터들이 체인을 형성하여 변환 행렬 P의 열이 됩니다.

대수적 중복도와 기하적 중복도의 차이는 무엇인가요?

대수적 중복도는 고유값이 특성 다항식의 근으로 나타나는 횟수입니다. 기하적 중복도는 고유 공간의 차원입니다. 기하적 중복도는 해당 고유값에 대한 조르당 블록의 수와 같습니다.

이 계산기는 조르당 블록 크기를 어떻게 찾나요?

각 고유값 λ에 대해, 계산기는 수열이 안정화될 때까지 d_k = dim ker((A − λI)^k) 차원을 계산합니다. 연속된 항의 차이를 통해 각 크기의 블록 개수를 정확하게 계산합니다.

계산기가 무리수나 복소수 고유값을 처리할 수 있나요?

계산기는 정확한 유리수 산술을 사용하므로 고유값이 유리수여야 합니다. 무리수 근이 있는 경우 수치 근사치를 보여주지만 정확한 조르당 분해는 수행하지 않습니다. 모든 고유값이 유리수가 되도록 행렬을 조정하여 사용하십시오.

최소 다항식이란 무엇이며 여기서 어떻게 계산되나요?

최소 다항식 m(λ)은 m(A) = 0을 만족하는 최소 차수 다항식입니다. 이는 각 고유값에 대해 (λ − λ_i)^index_i의 곱으로 계산되며, 여기서 index는 해당 고유값의 가장 큰 조르당 블록 크기입니다.

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