Sejak 2010 · Mendukung 2 juta+ penggunaan alat setiap bulan
Sejak 2010
Tambahkan ke Chrome

Kotak Alat Saya

Mode Otomatis

Belum ada alat yang disimpan.

Tingkatkan ke Versi Premium
Alat terkait
Penyelesai ODE Orde PertamaPenyelesai ODE Orde KeduaPenyelesai ODE BernoulliKalkulator Metode Runge-Kutta (RK4)Kalkulator Metode EulerKalkulator Kinematika
Beranda > Matematika > Kalkulus
 

Pemecah Sistem ODE

Selesaikan sistem persamaan diferensial biasa secara simbolik dan numerik. Mengklasifikasikan titik kesetimbangan sebagai saddle, node, spiral, atau centre, menurunkan eigenvalue langkah demi langkah, dan phase portrait interaktif.

Gratis digunakanTidak perlu mendaftarHasil instan
Pemecah Sistem ODECoba sekarang — gratis ▼
Contoh cepat:
Simpul stabil Pusat (osilator) Spiral stabil Pelana Berulang (degenerasi) Pendulum Van der Pol Orde ketiga 3×3
Selesaikan \(\dfrac{d}{dt}\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) di mana \(A\) adalah matriks 2×2 dengan entri riil.
[
[
Menerima desimal (misal 2.5), negatif (-1), dan pecahan sederhana (3/4).
Selesaikan \(\dfrac{d}{dt}\!\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\) — dapatkan nilai eigen, vektor eigen, dan solusi umum bentuk tertutup.
[
[
[
Default-nya adalah matriks pendamping dari \( s^3 + 6s^2 + 11s + 6 \), memberikan nilai eigen \(-1, -2, -3\).
Selesaikan sistem nonlinier 2D umum secara numerik: \(x' = f(x, y)\), \(y' = g(x, y)\). Gunakan fungsi seperti sin, cos, exp, sqrt, dan konstanta pi, e.
Tidak ada solusi bentuk tertutup yang dihitung; sebaliknya integrasi RK4 akurasi tinggi menghasilkan lintasan dan potret fase.
x(0)
y(0)
rentang waktu T

Embed Pemecah Sistem ODE Widget

Tentang Pemecah Sistem ODE

Pemecah Sistem ODE adalah kotak alat persamaan diferensial lengkap untuk sistem linier dan nonlinier berpasangan. Masukkan matriks koefisien 2×2 atau 3×3 dan alat ini akan melakukan analisis nilai eigen / vektor eigen lengkap, menulis solusi umum dan khusus bentuk tertutup dalam LaTeX, mengklasifikasikan ekuilibrium di titik asal sebagai pelana, simpul, spiral, atau pusat, dan menggambar potret fase interaktif dengan lintasan animasi. Untuk sistem planar nonlinier, Anda dapat mengetikkan sisi kanan arbitrer \(f(x,y)\) dan \(g(x,y)\) dan alat ini akan menghasilkan potret fase RK4 dengan akurasi tinggi.

Apa Itu Sistem ODE?

Sebuah sistem persamaan diferensial biasa memasangkan beberapa fungsi yang tidak diketahui dari satu variabel — biasanya waktu \(t\) — melalui turunannya. Dalam bentuk yang paling ringkas,

\[ \mathbf{x}'(t) = \mathbf{F}(t, \mathbf{x}(t)) , \qquad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \]

Ketika \(\mathbf{F}(t, \mathbf{x}) = A\mathbf{x}\) untuk matriks konstan \(A\), sistem tersebut bersifat linier dan otonom — dan di sinilah teorinya paling indah: seluruh perilaku jangka panjang ditentukan oleh nilai eigen dari \(A\).

Resep Nilai Eigen untuk Sistem Linier

Untuk \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\), metode standarnya adalah:

  1. Hitung polinomial karakteristik \(\det(\lambda I - A) = 0\).
  2. Selesaikan untuk nilai eigen \(\lambda_1, \lambda_2, \dots\).
  3. Untuk setiap nilai eigen, temukan vektor eigen \(v\) dengan menyelesaikan \((A - \lambda I) v = 0\).
  4. Susun solusi umum sebagai kombinasi linier: \(\mathbf{x}(t) = c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t} + \cdots\).
  5. Tentukan konstanta \(c_i\) dengan memasukkan kondisi awal \(\mathbf{x}(0)\) ke dalam solusi umum.

Tiga Kasus untuk Sistem 2×2

Nilai Eigen Solusi Umum Potret
Riil berbeda \(\lambda_1 \ne \lambda_2\) \(c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t}\) Pelana jika tanda berbeda; simpul jika sama
Konjugat kompleks \(\alpha \pm i\beta\) \(e^{\alpha t}[c_1(p\cos\beta t - q\sin\beta t) + c_2(p\sin\beta t + q\cos\beta t)]\) Spiral (\(\alpha \ne 0\)) atau pusat (\(\alpha = 0\))
Berulang \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\) \(c_1 v e^{\lambda t} + c_2 (tv + w) e^{\lambda t}\) Simpul degenerasi

Bidang Trace-Determinan

Untuk matriks 2×2 dengan trace \(T = a_{11} + a_{22}\) dan determinan \(D = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}\), seluruh klasifikasi muat dalam satu diagram:

\[ \begin{array}{l} D < 0 \Rightarrow \text{pelana (saddle)} \\ D > 0, \; T^2 - 4D > 0 \Rightarrow \text{simpul (stabil jika } T < 0\text{)} \\ D > 0, \; T^2 - 4D < 0 \Rightarrow \text{spiral (stabil jika } T < 0\text{), pusat jika } T = 0 \\ T^2 - 4D = 0 \Rightarrow \text{simpul degenerasi (nilai eigen berulang)} \end{array} \]

Inilah sebabnya mengapa panel hasil secara mencolok menampilkan \(T\), \(D\), dan \(\Delta = T^2 - 4D\) — tiga angka tersebut cukup untuk menamai ekuilibrium.

Sistem Nonlinier dan Potret Fase

Kebanyakan ODE dunia nyata bersifat nonlinier dan tidak memiliki solusi bentuk tertutup. Alat ini menanganinya dengan mengintegrasikan persamaan secara numerik dengan metode Runge–Kutta orde ke-4 (RK4), yang memiliki kesalahan pemotongan lokal \(O(h^5)\) dan merupakan pekerja standar untuk medan vektor yang mulus.

\[ \begin{aligned} k_1 &= f(t_n, y_n) \\ k_2 &= f(t_n + h/2, y_n + h k_1 / 2) \\ k_3 &= f(t_n + h/2, y_n + h k_2 / 2) \\ k_4 &= f(t_n + h, y_n + h k_3) \\ y_{n+1} &= y_n + \tfrac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \end{aligned} \]

Potret fase melapisi:

Cara Menggunakan Pemecah Ini

  1. Pilih mode — Linier 2×2, Linier 3×3, atau Nonlinier 2D — melalui tab di bagian atas formulir.
  2. Isi koefisien atau persamaan. Klik Contoh Cepat mana pun untuk mengisi sistem kanonik secara otomatis (simpul stabil, pusat, pelana, pendulum, Van der Pol, dll.).
  3. Masukkan kondisi awal \((x_0, y_0)\) dan rentang waktu \(T\). Nilai \(T\) tipikal adalah 6–20 untuk osilator dan 3–6 untuk sistem stabil yang meluruh dengan cepat.
  4. Klik Selesaikan. Halaman hasil lengkap akan muncul dengan klasifikasi, nilai eigen, vektor eigen, solusi bentuk tertutup (mode linier), potret fase animasi, dan plot deret waktu.
  5. Putar ulang lintasan menggunakan tombol di bawah potret fase jika Anda ingin menonton pelari melintasi kurva kondisi awal lagi.

Contoh Pengerjaan — Osilator Harmonik Teredam

Osilator teredam \(\ddot{x} + 2\zeta \omega \dot{x} + \omega^2 x = 0\) dapat ditulis ulang sebagai sistem 2D dengan memisalkan \(y = \dot{x}\):

\[ \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & -2\zeta\omega \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

Untuk \(\omega = 1\) dan \(\zeta = 0.2\) (underdamped), matriksnya adalah \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -0.4 \end{pmatrix}\). Trace \(T = -0.4\), determinan \(D = 1\), diskriminan \(\Delta = 0.16 - 4 = -3.84 < 0\), jadi kita mendapatkan spiral stabil dengan nilai eigen \(-0.2 \pm 0.9798\,i\). Lintasan melingkar ke dalam menuju titik asal, dan deret waktu menunjukkan sinusoid yang meluruh secara eksponensial.

Aplikasi

Tips & Hal yang Perlu Diperhatikan

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu sistem persamaan diferensial biasa?

Sistem persamaan diferensial biasa (ODE) adalah sekumpulan persamaan berpasangan yang menghubungkan turunan dari beberapa fungsi yang tidak diketahui dari satu variabel independen, biasanya waktu. Bentuk klasiknya adalah \( \mathbf{x}'(t) = F(t, \mathbf{x}(t)) \), di mana \( \mathbf{x} \) adalah vektor keadaan dan \(F\) adalah medan vektor. Sistem linier dapat ditulis secara ringkas sebagai \( \mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{b} \), dan perilakunya ditentukan hampir seluruhnya oleh nilai eigen dari matriks koefisien \(A\).

Bagaimana nilai eigen mengklasifikasikan ekuilibrium sistem linier 2×2?

Untuk sistem 2×2 \( \mathbf{x}' = A\mathbf{x} \), titik asal diklasifikasikan oleh trace \(T\) dan determinan \(D\) dari \(A\): \(D < 0\) menghasilkan titik pelana (tidak stabil); \(D > 0\) dengan \(T^2 > 4D\) menghasilkan simpul (stabil jika \(T < 0\), tidak stabil jika \(T > 0\)); \(D > 0\) dengan \(T^2 < 4D\) menghasilkan spiral (stabil jika \(T < 0\), tidak stabil jika \(T > 0\), pusat murni jika \(T = 0\)). Garis batas \(T^2 = 4D\) menghasilkan simpul degenerasi.

Seperti apa bentuk solusi tertutup ketika nilai eigennya kompleks?

Jika \(A\) memiliki nilai eigen konjugat kompleks \( \alpha \pm i\beta \) dengan vektor eigen kompleks \( v = p + iq \), solusi umum riilnya adalah \( \mathbf{x}(t) = e^{\alpha t} \left[ c_1 (p \cos\beta t - q \sin\beta t) + c_2 (p \sin\beta t + q \cos\beta t) \right] \). Eksponensial \(e^{\alpha t}\) mengontrol amplitudo (tumbuh, meluruh, atau konstan), sedangkan sinus dan kosinus menangani rotasi.

Apa yang terjadi jika matriks memiliki nilai eigen berulang?

Jika matriks memiliki nilai eigen berulang \(\lambda\) tetapi hanya satu vektor eigen \(v\) yang linier independen, Anda juga memerlukan vektor eigen yang digeneralisasi \(w\) yang menyelesaikan \( (A - \lambda I) w = v \). Solusi umum kemudian mengambil bentuk \( \mathbf{x}(t) = c_1 v e^{\lambda t} + c_2 (tv + w) e^{\lambda t} \). Jika ruang eigen kebetulan berdimensi dua, matriks tersebut adalah kelipatan skalar dari identitas pada subruang invarian tersebut dan solusinya tereduksi menjadi \( \mathbf{x}(t) = (c_1 v_1 + c_2 v_2) e^{\lambda t} \).

Bisakah alat ini menyelesaikan sistem nonlinier secara simbolik?

Mode nonlinier menyelesaikan sistem secara numerik menggunakan integrator Runge–Kutta orde keempat (RK4) dan memplot potret fase. Kebanyakan sistem nonlinier tidak memiliki solusi bentuk tertutup, jadi ini adalah pendekatan standar. Anda masih dapat membaca perilaku lokal di dekat ekuilibrium dengan melinierkan, yang ditangani oleh mode linier 2×2 — hitung Jacobian pada titik tetap dan masukkan sebagai \(A\).

Apa itu potret fase?

Potret fase adalah gambaran geometris dari solusi sistem 2D di bidang \(x\)–\(y\). Setiap solusi menelusuri kurva yang disebut lintasan, dan kumpulan lintasan bersama dengan panah medan vektor mengungkapkan perilaku kualitatif: apakah solusi melingkar ke dalam, memisah di pelana, berosilasi, atau menetap pada ekuilibrium. Potret fase membuat struktur global suatu sistem terlihat dalam sekejap.

Bacaan Lebih Lanjut

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Pemecah Sistem ODE" di https://MiniWebtool.com/id/pemecah-sistem-ode/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 23 Apr 2026

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Kalkulus:

Alat populer dan terbaru:

Pemecah Sistem Persamaan NonlinearPemecah Sistem Persamaan LinearKalkulator Laju TerkaitLihat semua →
Beranda > Matematika > Kalkulus > Pemecah Sistem ODE