Kalkulator Diagonalisasi Matriks

Lakukan diagonalisasi matriks persegi dengan menghitung nilai eigen, vektor eigen, dan dekomposisi A = PDP⁻¹. Mendukung matriks 2×2 hingga 5×5 dengan solusi langkah demi langkah, polinomial karakteristik, analisis multiplisitas, dan visualisasi interaktif.

Embed Kalkulator Diagonalisasi Matriks Widget

Tentang Kalkulator Diagonalisasi Matriks

Kalkulator Diagonalisasi Matriks menguraikan matriks persegi apa pun ke dalam bentuk A = PDP⁻¹, di mana D adalah matriks diagonal dari nilai eigen dan P adalah matriks vektor eigen. Masukkan matriks 2×2 hingga 5×5 dan dapatkan faktorisasi lengkap dengan solusi langkah-demi-langkah, polinomial karakteristik, analisis multiplisitas aljabar dan geometris, serta animasi interaktif dari dekomposisi tersebut.

Apa Itu Diagonalisasi Matriks?

Diagonalisasi matriks adalah proses menemukan matriks P dan D sedemikian sehingga:

$$A = PDP^{-1}$$

di mana D adalah matriks diagonal yang entrinya merupakan nilai eigen dari A, dan P adalah matriks yang dapat dibalik yang kolom-kolomnya merupakan vektor eigen yang bersesuaian. Secara ekivalen, $D = P^{-1}AP$, yang berarti D serupa dengan A.

Nilai Eigen

Skalar λ yang memenuhi Av = λv. Mereka muncul pada diagonal D.

→

Vektor Eigen

Vektor non-nol v yang memenuhi Av = λv. Mereka membentuk kolom-kolom P.

◇

Matriks Diagonal D

Berisi nilai eigen pada diagonal, nol di tempat lain. Mudah untuk menghitung pangkat.

↔

Keserupaan

A dan D adalah matriks yang serupa — mereka mewakili transformasi yang sama dalam basis yang berbeda.

Cara Mendiagonalisasi Matriks

Langkah 1. Pilih ukuran matriks (2×2 hingga 5×5) dan masukkan nilai ke dalam kisi. Anda juga dapat mengklik contoh cepat untuk memuat matriks preset untuk pengujian.

Langkah 2. Klik Diagonalisasi Matriks. Kalkulator menghitung polinomial karakteristik det(A − λI) dan menemukan akar-akarnya (nilai eigen).

Langkah 3. Untuk setiap nilai eigen, alat ini menyelesaikan (A − λI)x = 0 untuk menemukan vektor eigen, dan memeriksa multiplisitas aljabar vs. geometris untuk menentukan apakah matriks tersebut dapat didiagonalisasi.

Langkah 4. Jika dapat didiagonalisasi, kalkulator menyusun P (vektor eigen sebagai kolom), D (nilai eigen pada diagonal), dan P⁻¹, lalu memverifikasi PDP⁻¹ = A.

Langkah 5. Jelajahi animasi dekomposisi untuk memvisualisasikan bagaimana A difaktorkan menjadi P × D × P⁻¹, dan pelajari solusi lengkap menggunakan kontrol navigasi.

Kapan Sebuah Matriks Dapat Didiagonalisasi?

Kondisi	Dapat Didiagonalisasi?	Contoh
n nilai eigen riil yang berbeda	Selalu ya	$\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ → λ = 2, 3
Matriks simetris (A = Aᵀ)	Selalu ya (λ riil)	Teorema spektral menjamin diagonalisasi ortogonal
λ berulang dengan MA = MG	Ya	$\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}$ → λ = 5 (MA=2, MG=2)
λ berulang dengan MA > MG	Tidak	$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ → λ = 1 (MA=2, MG=1)
Nilai eigen kompleks	Atas ℂ: cek MA = MG	$\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ → λ = ±i

Multiplisitas Aljabar vs. Geometris

Untuk setiap nilai eigen λ:

• Multiplisitas aljabar (MA): berapa kali λ muncul sebagai akar dari polinomial karakteristik det(A − λI) = 0.

• Multiplisitas geometris (MG): dimensi dari ruang eigen ker(A − λI), yaitu jumlah vektor eigen yang bebas linier.

Sebuah matriks dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika MG = MA untuk setiap nilai eigen. Kondisi 1 ≤ MG ≤ MA selalu berlaku.

Mengapa Diagonalisasi Penting

⚡

Pangkat Matriks

$A^k = PD^kP^{-1}$. Karena D diagonal, $D^k$ hanya memangkatkan setiap nilai eigen ke pangkat k.

📈

Persamaan Diferensial

Sistem x' = Ax terurai menjadi persamaan independen ketika A didiagonalisasi: x' = PDP⁻¹x.

🔗

Rantai Markov

Perilaku jangka panjang dari matriks transisi ditentukan oleh nilai eigen — diagonalisasi mengungkapkan keadaan tunak (steady states).

📊

PCA

Analisis Komponen Utama mendiagonalisasi matriks kovarians untuk menemukan arah variansi maksimum.

Diagonalisasi vs. Dekomposisi Lainnya

Dekomposisi	Bentuk	Syarat
Dekomposisi Eigen (alat ini)	A = PDP⁻¹	n vektor eigen yang independen
Spektral (simetris)	A = QΛQᵀ	A = Aᵀ (Q ortogonal)
Bentuk Normal Jordan	A = PJP⁻¹	Semua matriks persegi
SVD	A = UΣVᵀ	Semua matriks (bahkan yang tidak persegi)
Dekomposisi LU	A = LU	Persegi, dengan kondisi tertentu

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa artinya mendiagonalisasi matriks?

Mendiagonalisasi matriks A berarti mencari matriks P yang dapat dibalik dan matriks diagonal D sedemikian sehingga A = PDP⁻¹. Entri diagonal D adalah nilai eigen, dan kolom-kolom P adalah vektor eigen yang bersesuaian.

Kapan sebuah matriks dapat didiagonalisasi?

Sebuah matriks dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika, untuk setiap nilai eigen, multiplisitas geometris sama dengan multiplisitas aljabar. Secara ekivalen, harus ada n vektor eigen yang bebas linier untuk matriks n×n. Semua matriks riil simetris dan semua matriks dengan n nilai eigen yang berbeda dapat didiagonalisasi.

Apa perbedaan antara multiplisitas aljabar dan geometris?

Multiplisitas aljabar adalah berapa kali nilai eigen muncul sebagai akar dari polinomial karakteristik. Multiplisitas geometris adalah dimensi ruang eigen, yaitu jumlah vektor eigen yang bebas linier untuk nilai eigen tersebut. Sebuah matriks dapat didiagonalisasi tepat ketika kedua besaran ini sama untuk setiap nilai eigen.

Dapatkah matriks dengan nilai eigen kompleks didiagonalisasi?

Ya, matriks dengan nilai eigen kompleks masih dapat didiagonalisasi atas bilangan kompleks, selama multiplisitas geometris sama dengan multiplisitas aljabar untuk setiap nilai eigen. Matriks P dan D yang dihasilkan akan berisi entri kompleks.

Apa saja aplikasi dari diagonalisasi matriks?

Diagonalisasi matriks digunakan untuk menghitung pangkat matriks secara efisien (A^k = PD^kP⁻¹), menyelesaikan sistem persamaan diferensial, menganalisis rantai Markov dan perilaku steady-state, melakukan analisis komponen utama dalam statistik, dan memahami transformasi linier dalam fisika dan teknik.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Diagonalisasi Matriks" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-diagonalisasi-matriks/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim MiniWebtool. Diperbarui: 2026-04-12

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Aljabar Linear:

Kalkulator Determinan
Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Kalkulator Matriks
Kalkulator Penguraian Pecahan Parsial
Kalkulator Vektor
Kalkulator Gram-Schmidt
Kalkulator Proyeksi Vektor
Kalkulator Dekomposisi LU Matriks
Kalkulator Dekomposisi Nilai Singular (SVD)
Kalkulator Rank Matriks
Kalkulator Trace Matriks
Kalkulator Matriks Jacobian Baru
Kalkulator RREF (Bentuk Eselon Baris) Baru
Kalkulator Matriks Invers Baru
Kalkulator Perkalian Matriks Baru
Kalkulator Perkalian Titik Baru
Kalkulator Perkalian Silang Vektor Baru
Kalkulator Magnitudo Vektor Baru
Kalkulator Vektor Satuan Baru
Kalkulator Sudut Antara Vektor Baru
Kalkulator Ruang Nol Baru
Kalkulator Ruang Kolom Baru
Kalkulator Aturan Cramer Baru
Kalkulator Diagonalisasi Matriks Baru
Kalkulator Dekomposisi QR Baru
Kalkulator Dekomposisi Cholesky Baru
Kalkulator Pangkat Matriks Baru
Kalkulator Polinomial Karakteristik Baru
Kalkulator Bentuk Normal Jordan Baru
Kalkulator Eksponensial Matriks Baru
Kalkulator Produk Tensor Baru

Kondisi	Dapat Didiagonalisasi?	Contoh
n nilai eigen riil yang berbeda	Selalu ya	\(\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\) → λ = 2, 3
Matriks simetris (A = Aᵀ)	Selalu ya (λ riil)	Teorema spektral menjamin diagonalisasi ortogonal
λ berulang dengan MA = MG	Ya	\(\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}\) → λ = 5 (MA=2, MG=2)
λ berulang dengan MA > MG	Tidak	\(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) → λ = 1 (MA=2, MG=1)
Nilai eigen kompleks	Atas ℂ: cek MA = MG	\(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) → λ = ±i

Kalkulator Diagonalisasi Matriks

Tentang Kalkulator Diagonalisasi Matriks

Apa Itu Diagonalisasi Matriks?

Cara Mendiagonalisasi Matriks

Kapan Sebuah Matriks Dapat Didiagonalisasi?

Multiplisitas Aljabar vs. Geometris

Mengapa Diagonalisasi Penting

Diagonalisasi vs. Dekomposisi Lainnya

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Aljabar Linear:

Alat unggulan: