Kalkulator Diagonalisasi Matriks
Lakukan diagonalisasi matriks persegi dengan menghitung nilai eigen, vektor eigen, dan dekomposisi A = PDP⁻¹. Mendukung matriks 2×2 hingga 5×5 dengan solusi langkah demi langkah, polinomial karakteristik, analisis multiplisitas, dan visualisasi interaktif.
Ad blocker Anda mencegah kami menampilkan iklan
MiniWebtool gratis karena iklan. Jika alat ini membantu, dukung kami dengan Premium (bebas iklan + lebih cepat) atau whitelist MiniWebtool.com lalu muat ulang halaman.
- Atau upgrade ke Premium (bebas iklan)
- Izinkan iklan untuk MiniWebtool.com, lalu muat ulang
Tentang Kalkulator Diagonalisasi Matriks
Kalkulator Diagonalisasi Matriks menguraikan matriks persegi apa pun ke dalam bentuk A = PDP⁻¹, di mana D adalah matriks diagonal dari nilai eigen dan P adalah matriks vektor eigen. Masukkan matriks 2×2 hingga 5×5 dan dapatkan faktorisasi lengkap dengan solusi langkah-demi-langkah, polinomial karakteristik, analisis multiplisitas aljabar dan geometris, serta animasi interaktif dari dekomposisi tersebut.
Apa Itu Diagonalisasi Matriks?
Diagonalisasi matriks adalah proses menemukan matriks P dan D sedemikian sehingga:
$$A = PDP^{-1}$$
di mana D adalah matriks diagonal yang entrinya merupakan nilai eigen dari A, dan P adalah matriks yang dapat dibalik yang kolom-kolomnya merupakan vektor eigen yang bersesuaian. Secara ekivalen, \(D = P^{-1}AP\), yang berarti D serupa dengan A.
Cara Mendiagonalisasi Matriks
Langkah 1. Pilih ukuran matriks (2×2 hingga 5×5) dan masukkan nilai ke dalam kisi. Anda juga dapat mengklik contoh cepat untuk memuat matriks preset untuk pengujian.
Langkah 2. Klik Diagonalisasi Matriks. Kalkulator menghitung polinomial karakteristik det(A − λI) dan menemukan akar-akarnya (nilai eigen).
Langkah 3. Untuk setiap nilai eigen, alat ini menyelesaikan (A − λI)x = 0 untuk menemukan vektor eigen, dan memeriksa multiplisitas aljabar vs. geometris untuk menentukan apakah matriks tersebut dapat didiagonalisasi.
Langkah 4. Jika dapat didiagonalisasi, kalkulator menyusun P (vektor eigen sebagai kolom), D (nilai eigen pada diagonal), dan P⁻¹, lalu memverifikasi PDP⁻¹ = A.
Langkah 5. Jelajahi animasi dekomposisi untuk memvisualisasikan bagaimana A difaktorkan menjadi P × D × P⁻¹, dan pelajari solusi lengkap menggunakan kontrol navigasi.
Kapan Sebuah Matriks Dapat Didiagonalisasi?
| Kondisi | Dapat Didiagonalisasi? | Contoh |
|---|---|---|
| n nilai eigen riil yang berbeda | Selalu ya | \(\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\) → λ = 2, 3 |
| Matriks simetris (A = Aᵀ) | Selalu ya (λ riil) | Teorema spektral menjamin diagonalisasi ortogonal |
| λ berulang dengan MA = MG | Ya | \(\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}\) → λ = 5 (MA=2, MG=2) |
| λ berulang dengan MA > MG | Tidak | \(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) → λ = 1 (MA=2, MG=1) |
| Nilai eigen kompleks | Atas ℂ: cek MA = MG | \(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) → λ = ±i |
Multiplisitas Aljabar vs. Geometris
Untuk setiap nilai eigen λ:
• Multiplisitas aljabar (MA): berapa kali λ muncul sebagai akar dari polinomial karakteristik det(A − λI) = 0.
• Multiplisitas geometris (MG): dimensi dari ruang eigen ker(A − λI), yaitu jumlah vektor eigen yang bebas linier.
Sebuah matriks dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika MG = MA untuk setiap nilai eigen. Kondisi 1 ≤ MG ≤ MA selalu berlaku.
Mengapa Diagonalisasi Penting
Diagonalisasi vs. Dekomposisi Lainnya
| Dekomposisi | Bentuk | Syarat |
|---|---|---|
| Dekomposisi Eigen (alat ini) | A = PDP⁻¹ | n vektor eigen yang independen |
| Spektral (simetris) | A = QΛQᵀ | A = Aᵀ (Q ortogonal) |
| Bentuk Normal Jordan | A = PJP⁻¹ | Semua matriks persegi |
| SVD | A = UΣVᵀ | Semua matriks (bahkan yang tidak persegi) |
| Dekomposisi LU | A = LU | Persegi, dengan kondisi tertentu |
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Apa artinya mendiagonalisasi matriks?
Mendiagonalisasi matriks A berarti mencari matriks P yang dapat dibalik dan matriks diagonal D sedemikian sehingga A = PDP⁻¹. Entri diagonal D adalah nilai eigen, dan kolom-kolom P adalah vektor eigen yang bersesuaian.
Kapan sebuah matriks dapat didiagonalisasi?
Sebuah matriks dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika, untuk setiap nilai eigen, multiplisitas geometris sama dengan multiplisitas aljabar. Secara ekivalen, harus ada n vektor eigen yang bebas linier untuk matriks n×n. Semua matriks riil simetris dan semua matriks dengan n nilai eigen yang berbeda dapat didiagonalisasi.
Apa perbedaan antara multiplisitas aljabar dan geometris?
Multiplisitas aljabar adalah berapa kali nilai eigen muncul sebagai akar dari polinomial karakteristik. Multiplisitas geometris adalah dimensi ruang eigen, yaitu jumlah vektor eigen yang bebas linier untuk nilai eigen tersebut. Sebuah matriks dapat didiagonalisasi tepat ketika kedua besaran ini sama untuk setiap nilai eigen.
Dapatkah matriks dengan nilai eigen kompleks didiagonalisasi?
Ya, matriks dengan nilai eigen kompleks masih dapat didiagonalisasi atas bilangan kompleks, selama multiplisitas geometris sama dengan multiplisitas aljabar untuk setiap nilai eigen. Matriks P dan D yang dihasilkan akan berisi entri kompleks.
Apa saja aplikasi dari diagonalisasi matriks?
Diagonalisasi matriks digunakan untuk menghitung pangkat matriks secara efisien (A^k = PD^kP⁻¹), menyelesaikan sistem persamaan diferensial, menganalisis rantai Markov dan perilaku steady-state, melakukan analisis komponen utama dalam statistik, dan memahami transformasi linier dalam fisika dan teknik.
Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:
"Kalkulator Diagonalisasi Matriks" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-diagonalisasi-matriks/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
oleh tim MiniWebtool. Diperbarui: 2026-04-12
Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.
Alat terkait lainnya:
Aljabar Linear:
- Kalkulator Determinan
- Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen
- Kalkulator Matriks
- Kalkulator Penguraian Pecahan Parsial
- Kalkulator Vektor
- Kalkulator Gram-Schmidt
- Kalkulator Proyeksi Vektor
- Kalkulator Dekomposisi LU Matriks
- Kalkulator Dekomposisi Nilai Singular (SVD)
- Kalkulator Rank Matriks
- Kalkulator Trace Matriks
- Kalkulator Matriks Jacobian Baru
- Kalkulator RREF (Bentuk Eselon Baris) Baru
- Kalkulator Matriks Invers Baru
- Kalkulator Perkalian Matriks Baru
- Kalkulator Perkalian Titik Baru
- Kalkulator Perkalian Silang Vektor Baru
- Kalkulator Magnitudo Vektor Baru
- Kalkulator Vektor Satuan Baru
- Kalkulator Sudut Antara Vektor Baru
- Kalkulator Ruang Nol Baru
- Kalkulator Ruang Kolom Baru
- Kalkulator Aturan Cramer Baru
- Kalkulator Diagonalisasi Matriks Baru
- Kalkulator Dekomposisi QR Baru
- Kalkulator Dekomposisi Cholesky Baru
- Kalkulator Pangkat Matriks Baru
- Kalkulator Polinomial Karakteristik Baru
- Kalkulator Bentuk Normal Jordan Baru
- Kalkulator Eksponensial Matriks Baru
- Kalkulator Produk Tensor Baru