Sejak 2010 · Mendukung 2 juta+ penggunaan alat setiap bulan
Sejak 2010
Tambahkan ke Chrome

Kotak Alat Saya

Mode Otomatis

Belum ada alat yang disimpan.

Tingkatkan ke Versi Premium
Alat terkait
Langkah berikutnya
Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Alat lainnya
Kalkulator Dekomposisi LU MatriksKalkulator Perkalian MatriksKalkulator Trace MatriksKalkulator Polinomial KarakteristikKalkulator Dekomposisi QRKalkulator Bentuk Normal Jordan
Beranda > Matematika > Aljabar Linear
 

Kalkulator Diagonalisasi Matriks

Lakukan diagonalisasi pada matriks persegi dengan Kalkulator Diagonalisasi Matriks MiniWebtool: hitung nilai eigen, vektor eigen, dan dekomposisi A = PDP⁻¹. Mendukung matriks 2×2 hingga 5×5 dengan penyelesaian langkah demi langkah, polinom karakteristik, analisis multiplisitas, dan visualisasi interaktif.

Belum tahu cara menggunakannya? Tanya AI
Gemini (salin dan buka)

Di Gemini, tempelkan pertanyaan yang disalin ke chat. Anda juga dapat menyalinnya di bawah.

Lihat pertanyaan

Gratis 3× per hariTidak perlu mendaftarHasil instan
Kalkulator Diagonalisasi MatriksCoba sekarang — gratis ▼
Diagonalisasi adalah pergantian basis: A = P D P⁻¹

Masukkan di bawah matriks persegi untuk mendapatkan nilai eigen, matriks P dan D dengan A = PDP⁻¹, serta langkah-langkahnya.

Contoh:
Ukuran Matriks: 3 × 3
[
]

Embed Kalkulator Diagonalisasi Matriks Widget

Tentang Kalkulator Diagonalisasi Matriks

Kalkulator Diagonalisasi Matriks menguraikan matriks persegi apa pun ke dalam bentuk A = PDP⁻¹, di mana D adalah matriks diagonal dari nilai eigen dan P adalah matriks vektor eigen. Masukkan matriks 2×2 hingga 5×5 dan dapatkan faktorisasi lengkap dengan solusi langkah-demi-langkah, polinomial karakteristik, analisis multiplisitas aljabar dan geometris, serta animasi interaktif dari dekomposisi tersebut.

Sekilas

Kalkulator Diagonalisasi Matriks menguraikan matriks persegi 2×2 hingga 5×5 sebagai A = PDP⁻¹. Alat ini menampilkan nilai eigen, vektor eigen, polinomial karakteristik, pemeriksaan multiplisitas, dan pengerjaan bertahap.

Kalkulator Diagonalisasi Matriks: fitur sekilas
FiturYang didapatCocok untuk
Ukuran matriksGunakan tombol tambah dan kurang untuk mengatur matriks persegi 2×2 hingga 5×5, lalu isi kisinya.Soal kuliah dari matriks 2×2 sampai 5×5
Dekomposisi eigenMencari nilai eigen dari det(A − λI) dan vektor eigen dari (A − λI)x = 0, lalu menyusun P, D, dan P⁻¹.Mendapatkan faktorisasi A = PDP⁻¹
Uji diagonalizabilitasMembandingkan multiplisitas aljabar dan geometri tiap nilai eigen untuk menentukan apakah matriks dapat didiagonalisasi.Mengenali matriks cacat seperti nilai eigen berulang
Contoh cepatMatriks preset mencakup nilai eigen berbeda, simetris 3×3, berulang, tidak dapat didiagonalisasi, kompleks, dan segitiga atas 3×3.Melihat tiap kasus tanpa mengetik matriks
Langkah dan animasiJelajahi solusi dengan tombol mundur dan maju atau putar animasi. Hasil diverifikasi dengan memeriksa PDP⁻¹ = A.Mempelajari penguraian A menjadi P, D, dan P⁻¹

Apa Itu Diagonalisasi Matriks?

Diagonalisasi matriks adalah proses menemukan matriks P dan D sedemikian sehingga:

$$A = PDP^{-1}$$

di mana D adalah matriks diagonal yang entrinya merupakan nilai eigen dari A, dan P adalah matriks yang dapat dibalik yang kolom-kolomnya merupakan vektor eigen yang bersesuaian. Secara ekivalen, \(D = P^{-1}AP\), yang berarti D serupa dengan A.

λ
Nilai Eigen
Skalar λ yang memenuhi Av = λv. Mereka muncul pada diagonal D.
→
Vektor Eigen
Vektor non-nol v yang memenuhi Av = λv. Mereka membentuk kolom-kolom P.
◇
Matriks Diagonal D
Berisi nilai eigen pada diagonal, nol di tempat lain. Mudah untuk menghitung pangkat.
↔
Keserupaan
A dan D adalah matriks yang serupa — mereka mewakili transformasi yang sama dalam basis yang berbeda.

Cara Mendiagonalisasi Matriks

Langkah 1. Pilih ukuran matriks (2×2 hingga 5×5) dan masukkan nilai ke dalam kisi. Anda juga dapat mengklik contoh cepat untuk memuat matriks preset untuk pengujian.

Langkah 2. Klik Diagonalisasi Matriks. Kalkulator menghitung polinomial karakteristik det(A − λI) dan menemukan akar-akarnya (nilai eigen).

Langkah 3. Untuk setiap nilai eigen, alat ini menyelesaikan (A − λI)x = 0 untuk menemukan vektor eigen, dan memeriksa multiplisitas aljabar vs. geometris untuk menentukan apakah matriks tersebut dapat didiagonalisasi.

Langkah 4. Jika dapat didiagonalisasi, kalkulator menyusun P (vektor eigen sebagai kolom), D (nilai eigen pada diagonal), dan P⁻¹, lalu memverifikasi PDP⁻¹ = A.

Langkah 5. Jelajahi animasi dekomposisi untuk memvisualisasikan bagaimana A difaktorkan menjadi P × D × P⁻¹, dan pelajari solusi lengkap menggunakan kontrol navigasi.

Kapan Sebuah Matriks Dapat Didiagonalisasi?

Kalkulator Diagonalisasi Matriks: Kapan Sebuah Matriks Dapat Didiagonalisasi?
KondisiDapat Didiagonalisasi?Contoh
n nilai eigen riil yang berbedaSelalu ya\(\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\) → λ = 2, 3
Matriks simetris (A = Aᵀ)Selalu ya (λ riil)Teorema spektral menjamin diagonalisasi ortogonal
λ berulang dengan MA = MGYa\(\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}\) → λ = 5 (MA=2, MG=2)
λ berulang dengan MA > MGTidak\(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) → λ = 1 (MA=2, MG=1)
Nilai eigen kompleksAtas ℂ: cek MA = MG\(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) → λ = ±i

Multiplisitas Aljabar vs. Geometris

Untuk setiap nilai eigen λ:

• Multiplisitas aljabar (MA): berapa kali λ muncul sebagai akar dari polinomial karakteristik det(A − λI) = 0.

• Multiplisitas geometris (MG): dimensi dari ruang eigen ker(A − λI), yaitu jumlah vektor eigen yang bebas linier.

Sebuah matriks dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika MG = MA untuk setiap nilai eigen. Kondisi 1 ≤ MG ≤ MA selalu berlaku.

Mengapa Diagonalisasi Penting

⚡
Pangkat Matriks
\(A^k = PD^kP^{-1}\). Karena D diagonal, \(D^k\) hanya memangkatkan setiap nilai eigen ke pangkat k.
📈
Persamaan Diferensial
Sistem x' = Ax terurai menjadi persamaan independen ketika A didiagonalisasi: x' = PDP⁻¹x.
🔗
Rantai Markov
Perilaku jangka panjang dari matriks transisi ditentukan oleh nilai eigen — diagonalisasi mengungkapkan keadaan tunak (steady states).
📊
PCA
Analisis Komponen Utama mendiagonalisasi matriks kovarians untuk menemukan arah variansi maksimum.

Diagonalisasi vs. Dekomposisi Lainnya

Kalkulator Diagonalisasi Matriks: Diagonalisasi vs. Dekomposisi Lainnya
DekomposisiBentukSyarat
Dekomposisi Eigen (alat ini)A = PDP⁻¹n vektor eigen yang independen
Spektral (simetris)A = QΛQᵀA = Aᵀ (Q ortogonal)
Bentuk Normal JordanA = PJP⁻¹Semua matriks persegi
SVDA = UΣVᵀSemua matriks (bahkan yang tidak persegi)
Dekomposisi LUA = LUPersegi, dengan kondisi tertentu

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa artinya mendiagonalisasi matriks?

Mendiagonalisasi matriks A berarti mencari matriks P yang dapat dibalik dan matriks diagonal D sedemikian sehingga A = PDP⁻¹. Entri diagonal D adalah nilai eigen, dan kolom-kolom P adalah vektor eigen yang bersesuaian.

Kapan sebuah matriks dapat didiagonalisasi?

Sebuah matriks dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika, untuk setiap nilai eigen, multiplisitas geometris sama dengan multiplisitas aljabar. Secara ekivalen, harus ada n vektor eigen yang bebas linier untuk matriks n×n. Semua matriks riil simetris dan semua matriks dengan n nilai eigen yang berbeda dapat didiagonalisasi.

Apa perbedaan antara multiplisitas aljabar dan geometris?

Multiplisitas aljabar adalah berapa kali nilai eigen muncul sebagai akar dari polinomial karakteristik. Multiplisitas geometris adalah dimensi ruang eigen, yaitu jumlah vektor eigen yang bebas linier untuk nilai eigen tersebut. Sebuah matriks dapat didiagonalisasi tepat ketika kedua besaran ini sama untuk setiap nilai eigen.

Dapatkah matriks dengan nilai eigen kompleks didiagonalisasi?

Ya, matriks dengan nilai eigen kompleks masih dapat didiagonalisasi atas bilangan kompleks, selama multiplisitas geometris sama dengan multiplisitas aljabar untuk setiap nilai eigen. Matriks P dan D yang dihasilkan akan berisi entri kompleks.

Apa saja aplikasi dari diagonalisasi matriks?

Diagonalisasi matriks digunakan untuk menghitung pangkat matriks secara efisien (A^k = PD^kP⁻¹), menyelesaikan sistem persamaan diferensial, menganalisis rantai Markov dan perilaku steady-state, melakukan analisis komponen utama dalam statistik, dan memahami transformasi linier dalam fisika dan teknik.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Diagonalisasi Matriks" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-diagonalisasi-matriks/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim MiniWebtool. Diperbarui: 2026-04-12

API developer tersedia: Jalankan alat ini dari aplikasi, otomatisasi, atau agen Anda dengan satu permintaan HTTP JSON. Lihat dokumentasi API

Mengobrol dengan AI favorit Anda

Gemini (salin dan buka)

Di Gemini, tempelkan pertanyaan yang disalin ke chat. Anda juga dapat menyalinnya di bawah.

Lihat pertanyaan

Aljabar Linear:

Pemecah matematikaApa yang ingin dihitung?

Pemecah matematika

Contoh
Lihat contoh ekspresi

Pilih contoh, ubah angka, lalu selesaikan. log berbasis 10; ln adalah logaritma natural.

Bilangan dan faktor

Pecahan dan pembagian

Pangkat, akar dan logaritma

Aljabar dan persamaan

Kalkulus

Geometri dan trigonometri

Alat populer dan terbaru:

Kalkulator Matriks InversKalkulator Eksponensial MatriksKalkulator Rank MatriksLihat semua →
Beranda > Matematika > Aljabar Linear > Kalkulator Diagonalisasi Matriks