Kalkulator Sudut Antara Vektor

Hitung sudut antara dua vektor 2D atau 3D menggunakan rumus perkalian titik cos(θ) = (a·b)/(|a||b|). Dapatkan solusi langkah demi langkah, hasil dalam derajat dan radian, diagram vektor interaktif, dan interpretasi geometris.

Embed Kalkulator Sudut Antara Vektor Widget

Tentang Kalkulator Sudut Antara Vektor

Kalkulator Sudut Antara Vektor menemukan sudut antara dua vektor 2D atau 3D menggunakan rumus dot product $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$. Masukkan komponen vektor Anda untuk mendapatkan sudut secara instan dalam derajat dan radian, solusi lengkap langkah demi langkah, magnitudo vektor, dot product, vektor satuan, proyeksi, interpretasi geometris, dan diagram interaktif dengan lapisan yang dapat dialihkan.

Rumus Sudut Dot Product

Sudut $\theta$ antara dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ diturunkan dari identitas dot product:

$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Di mana:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n$ adalah dot product
$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2}$ adalah magnitudo dari vektor a
$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)$ memberikan sudut antara 0° dan 180°

Memahami Tanda Dot Product

✓

a · b > 0

Sudut lancip (0° < θ < 90°) — vektor menunjuk ke arah yang serupa

⊥

a · b = 0

Sudut siku-siku (θ = 90°) — vektor saling tegak lurus / ortogonal

↔

a · b < 0

Sudut tumpul (90° < θ < 180°) — vektor menunjuk ke arah yang berlawanan

Aplikasi Dunia Nyata

🎮

Pengembangan Game

Pemeriksaan bidang pandang dan sudut pencahayaan

🤖

Machine Learning

Kemiripan kosinus mengukur kesamaan teks/dokumen

🔧

Fisika

Usaha = F·d·cos θ untuk gaya sepanjang perpindahan

📡

Pemrosesan Sinyal

Sudut fase antara vektor sinyal

🏗

Teknik

Analisis struktural arah gaya

🧬

Bioinformatika

Kemiripan vektor ekspresi gen

Rumus Utama

Rumus	Ekspresi	Deskripsi
Dot Product (2D)	$a_1 b_1 + a_2 b_2$	Jumlah dari hasil kali setiap komponen
Dot Product (3D)	$a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$	Meluas hingga tiga komponen
Magnitudo	$\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$	Panjang (norma) sebuah vektor
Sudut	$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\right)$	Selalu antara 0° dan 180°
Kemiripan Kosinus	$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}$	Sama dengan cos θ — berkisar dari −1 hingga 1
Proyeksi	$\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\vec{b}$	Komponen a sepanjang b

Cara Menggunakan Kalkulator Sudut Antara Vektor

Masukkan Vektor a: Ketik komponen yang dipisahkan oleh koma. Gunakan 2 komponen untuk 2D (contoh: 3, 4) atau 3 komponen untuk 3D (contoh: 1, 2, 3). Klik contoh cepat mana pun untuk mengisi kedua bidang secara otomatis.
Masukkan Vektor b: Ketik komponen vektor kedua dalam dimensi yang sama dengan vektor a.
Lihat pratinjau langsung: Diagram diperbarui secara real-time, menunjukkan kedua vektor dan sudut yang dihitung saat Anda mengetik.
Klik Hitung: Tekan tombol untuk mendapatkan hasil lengkap termasuk sudut dalam derajat dan radian, solusi langkah demi langkah, semua kuantitas terkait, dan diagram interaktif.
Jelajahi diagram: Aktifkan/nonaktifkan lapisan (busur sudut, proyeksi, kisi, label) untuk visualisasi yang berbeda. Untuk vektor 3D, seret untuk memutar tampilan.

Vektor 2D vs 3D

Rumus sudut dot product bekerja secara identik baik dalam 2D maupun 3D — hanya jumlah komponennya yang berubah. Dalam 2D, vektor memiliki komponen (x, y) dan diagram menunjukkan bidang Kartesius datar dengan busur sudut yang jelas. Dalam 3D, vektor memiliki komponen (x, y, z) dan diagram menyediakan tampilan isometrik interaktif yang dapat diputar. Prinsip matematikanya sama: hitung dot product, bagi dengan hasil kali magnitudo, dan ambil arccosine.

FAQ

Apa rumus untuk sudut antara dua vektor?

Sudut antara dua vektor a dan b ditemukan menggunakan rumus dot product: cos(θ) = (a · b) / (|a| × |b|). Pertama hitung dot product (jumlah hasil kali setiap komponen), kemudian bagi dengan hasil kali kedua magnitudo, dan terakhir ambil arccosine untuk mendapatkan sudut θ.

Dapatkah Anda menemukan sudut antara vektor 2D?

Ya. Rumus dot product bekerja dalam dimensi apa pun. Untuk vektor 2D (x, y), dot product-nya adalah a₁b₁ + a₂b₂ dan magnitudonya menggunakan dua komponen yang sama. Rumus dan langkah-langkahnya identik dengan 3D — hanya dengan satu komponen lebih sedikit.

Apa artinya jika sudut antara vektor adalah 90 derajat?

Ketika sudutnya 90°, vektor-vektor tersebut saling tegak lurus (ortogonal). Dot product mereka sama dengan nol, yang berarti mereka tidak berbagi komponen di arah yang sama. Konsep ini mendasar dalam aljabar linear, fisika, dan machine learning (fitur ortogonal bersifat independen).

Berapa rentang sudut antara dua vektor?

Sudut antara dua vektor selalu jatuh antara 0° dan 180° (0 hingga π radian). Pada 0° vektor-vektor tersebut sejajar dan menunjuk ke arah yang sama, pada 90° mereka tegak lurus, dan pada 180° mereka menunjuk ke arah yang tepat berlawanan.

Bagaimana hubungan dot product dengan sudut antara vektor?

Dot product a · b sama dengan |a| × |b| × cos(θ). Dot product positif berarti sudut lancip (kurang dari 90°), nol berarti vektor tegak lurus (tepat 90°), dan dot product negatif berarti sudut tumpul (lebih dari 90°). Versi yang dinormalisasi, kemiripan kosinus (cosine similarity), banyak digunakan dalam NLP dan sistem rekomendasi.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Sudut Antara Vektor" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-sudut-antara-vektor/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim MiniWebtool. Diperbarui: 2026-04-10

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Alat terkait lainnya:

Kalkulator Perkalian Silang VektorBaru

Kalkulator Perkalian TitikBaru

Kalkulator Vektor SatuanBaru

Kalkulator Vektor

Kalkulator Magnitudo VektorBaru

Aljabar Linear:

Kalkulator Determinan
Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Kalkulator Matriks
Kalkulator Penguraian Pecahan Parsial
Kalkulator Vektor
Kalkulator Gram-Schmidt Baru
Kalkulator Proyeksi Vektor Baru
Kalkulator Dekomposisi LU Matriks Baru
Kalkulator Dekomposisi Nilai Singular (SVD) Baru
Kalkulator Rank Matriks Baru
Kalkulator Trace Matriks Baru
Kalkulator Matriks Jacobian Baru
Kalkulator RREF (Bentuk Eselon Baris) Baru
Kalkulator Matriks Invers Baru
Kalkulator Perkalian Matriks Baru
Kalkulator Perkalian Titik Baru
Kalkulator Perkalian Silang Vektor Baru
Kalkulator Magnitudo Vektor Baru
Kalkulator Vektor Satuan Baru
Kalkulator Sudut Antara Vektor Baru
Kalkulator Ruang Nol Baru
Kalkulator Ruang Kolom Baru
Kalkulator Aturan Cramer Baru
Kalkulator Diagonalisasi Matriks Baru
Kalkulator Dekomposisi QR Baru
Kalkulator Dekomposisi Cholesky Baru
Kalkulator Pangkat Matriks Baru
Kalkulator Polinomial Karakteristik Baru
Kalkulator Bentuk Normal Jordan Baru
Kalkulator Eksponensial Matriks Baru
Kalkulator Produk Tensor Baru

Rumus	Ekspresi	Deskripsi
Dot Product (2D)	\(a_1 b_1 + a_2 b_2\)	Jumlah dari hasil kali setiap komponen
Dot Product (3D)	\(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)	Meluas hingga tiga komponen
Magnitudo	\(\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)	Panjang (norma) sebuah vektor
Sudut	\(\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\right)\)	Selalu antara 0° dan 180°
Kemiripan Kosinus	\(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\)	Sama dengan cos θ — berkisar dari −1 hingga 1
Proyeksi	\(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\vec{b}\)	Komponen a sepanjang b

Kalkulator Sudut Antara Vektor

Tentang Kalkulator Sudut Antara Vektor

Rumus Sudut Dot Product

Memahami Tanda Dot Product

Aplikasi Dunia Nyata

Rumus Utama

Cara Menggunakan Kalkulator Sudut Antara Vektor

Vektor 2D vs 3D

FAQ

Alat terkait lainnya:

Aljabar Linear:

Alat unggulan: