Sejak 2010 · Mendukung 2 juta+ penggunaan alat setiap bulan
Sejak 2010
Tambahkan ke Chrome

Kotak Alat Saya

Mode Otomatis

Belum ada alat yang disimpan.

Tingkatkan ke Versi Premium
Alat terkait
Kalkulator Deret MaclaurinKalkulator Koefisien Deret FourierKalkulator Jumlah Deret Tak HinggaKalkulator Uji Konvergensi DeretKalkulator Deret TaylorKalkulator Radius KonvergensiKalkulator Jumlah Riemann
Beranda > Matematika > Kalkulus
 

Kalkulator Deret Pangkat

Temukan representasi deret pangkat suatu fungsi yang berpusat di titik mana pun. Hitung koefisien Taylor dan Maclaurin, tentukan radius dan interval konvergensi dengan analisis titik akhir, dan saksikan jumlah parsial berkonvergensi.

Gratis digunakanTidak perlu mendaftarHasil instan
Kalkulator Deret PangkatCoba sekarang — gratis ▼
Contoh:
RUMUS DERET PANGKAT
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$$
Pilih fungsi untuk diekspansi
Titik ekspansi
0 hingga 20
Cek pendekatan

Embed Kalkulator Deret Pangkat Widget

Tentang Kalkulator Deret Pangkat

Kalkulator Deret Pangkat menemukan representasi deret pangkat dari fungsi matematika yang berpusat di titik a mana pun. Alat ini menghitung koefisien ekspansi Taylor/Maclaurin, menentukan jari-jari dan interval konvergensi (termasuk analisis titik ujung), menampilkan derivasi langkah demi langkah untuk setiap suku, dan menyediakan grafik animasi interaktif yang menunjukkan bagaimana jumlah parsial yang berurutan konvergen ke fungsi aslinya. Alat ini mendukung 11 fungsi umum termasuk fungsi eksponensial, trigonometri, logaritmik, dan aljabar.

Konsep Kunci dalam Deret Pangkat

∑
Deret Pangkat
Σ aₙ(x−a)ⁿ — polinomial tak hingga
🎯
Titik Pusat
Nilai a tempat deret berpijak
🔄
Jari-jari R
Jarak dari pusat di mana deret konvergen
↔
Interval
(a−R, a+R) dengan uji titik ujung
📐
Koefisien
aₙ = f⁽ⁿ⁾(a) / n!
⚡
Konvergensi
Jumlah parsial mendekati f(x)

Rumus Esensial

KonsepRumusDeskripsi
Deret Pangkat\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n\)Bentuk umum yang berpusat di a
Koefisien Taylor\(a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\)Koefisien dari turunan ke-n
Jari-jari Konvergensi\(R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}}\)Teorema Cauchy–Hadamard
Uji Rasio\(R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)Metode umum untuk mencari R
Sisa Lagrange\(|R_n(x)| \leq \frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\)Batas kesalahan untuk jumlah parsial

Memahami Deret Pangkat

Deret pangkat merepresentasikan sebuah fungsi sebagai jumlah tak hingga dari suku-suku yang melibatkan pangkat yang meningkat dari (x − a), di mana a adalah pusat ekspansi. Ide utamanya adalah jika Anda mengetahui semua turunan dari suatu fungsi pada satu titik a, Anda dapat menyusun kembali seluruh fungsi dalam jari-jari konvergensi. Setiap koefisien aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n! menangkap informasi tentang kelengkuran fungsi dan perilaku orde tinggi di titik pusat. Ketika a = 0, ini adalah deret Maclaurin; untuk pusat lainnya, ini adalah deret Taylor.

Jari-jari dan Interval Konvergensi

Setiap deret pangkat memiliki jari-jari konvergensi R yang menentukan di mana deret tersebut konvergen. Untuk |x − a| < R, deret konvergen mutlak; untuk |x − a| > R, deret divergen. Jari-jari tersebut sama dengan jarak dari pusat a ke singularitas terdekat dari fungsi tersebut di bidang kompleks. Misalnya, 1/(1−x) yang berpusat di a = 0 memiliki R = 1 karena adanya singularitas di x = 1. Interval konvergensi adalah (a − R, a + R), tetapi titik-titik ujungnya memerlukan pengujian terpisah menggunakan uji konvergensi seperti uji deret ganti tanda atau perbandingan deret-p.

Cara Menggunakan Kalkulator Deret Pangkat

  1. Pilih fungsi: Pilih dari menu dropdown (misalnya, eˣ, sin(x), ln(x), √x) atau klik tombol contoh cepat untuk mengisi semua kolom secara otomatis.
  2. Masukkan titik pusat: Ketik nilai a. Gunakan 0 untuk deret Maclaurin, atau nilai lain seperti π, 1, atau 4 untuk deret Taylor umum.
  3. Atur jumlah suku: Masukkan n (0 hingga 20). Lebih banyak suku memberikan akurasi yang lebih baik tetapi menghasilkan ekspresi yang lebih panjang.
  4. Opsional: evaluasi: Masukkan nilai x untuk menghitung pendekatan polinomial P(x) dan bandingkan dengan nilai fungsi sebenarnya f(x), lengkap dengan analisis kesalahan.
  5. Tinjau hasil: Periksa ekspansi polinomial, interval konvergensi (dengan visualisasi garis bilangan), tabel koefisien, derivasi langkah demi langkah, dan grafik konvergensi interaktif. Gunakan slider atau tombol Animasi untuk melihat jumlah parsial secara bertahap mendekati fungsi tersebut.

Deret Pangkat vs. Deret Taylor vs. Deret Maclaurin

Istilah-istilah ini menggambarkan konsep yang terkait tetapi berbeda. Deret pangkat adalah deret apa pun dalam bentuk Σ aₙ(x−a)ⁿ dengan koefisien sembarang. Deret Taylor adalah deret pangkat yang koefisiennya berasal dari turunan fungsi tertentu: aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!. Deret Maclaurin adalah deret Taylor dengan pusat a = 0. Dalam praktiknya, ketika orang mengatakan "cari deret pangkat dari f(x)," mereka biasanya memaksudkan deret Taylor. Kalkulator ini menangani ketiga kasus tersebut — atur a = 0 untuk Maclaurin, nilai lainnya untuk ekspansi Taylor umum.

Aplikasi Deret Pangkat

Deret pangkat adalah alat fundamental dalam matematika, fisika, dan teknik. Mereka digunakan untuk mendekati fungsi transendental untuk perhitungan numerik, menyelesaikan persamaan diferensial (terutama ketika solusi bentuk tertutup tidak ada), mengevaluasi limit dan integral dari ekspresi kompleks, menganalisis perilaku fungsi di dekat titik-titik tertentu, dan mendukung perpustakaan komputasi ilmiah modern. Banyak chip kalkulator secara internal menggunakan deret pangkat yang dipotong untuk menghitung fungsi seperti sin, cos, exp, dan log.

FAQ

Apa itu deret pangkat?
Deret pangkat adalah deret tak hingga dalam bentuk Σ aₙ(x−a)ⁿ, di mana a adalah pusat, aₙ adalah koefisien, dan n berkisar dari 0 hingga tak hingga. Ini merepresentasikan fungsi sebagai polinomial tak hingga. Ketika koefisien diturunkan dari turunan suatu fungsi (aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!), ia menjadi deret Taylor. Ketika a = 0, ini disebut deret Maclaurin.
Apa itu interval konvergensi?
Interval konvergensi adalah himpunan semua nilai x di mana deret pangkat konvergen ke jumlah yang terbatas. Interval ini selalu berpusat pada titik ekspansi a dan membentang sejauh R unit ke setiap arah, di mana R adalah jari-jari konvergensi. Titik ujung x = a − R dan x = a + R harus diuji secara individual, karena deret tersebut mungkin konvergen di salah satu, keduanya, atau tidak sama sekali di titik ujung tersebut.
Bagaimana cara mencari jari-jari konvergensi?
Jari-jari konvergensi R dapat ditemukan menggunakan Uji Rasio (R = lim |aₙ/aₙ₊₁|) atau Uji Akar (R = 1/limsup |aₙ|^(1/n)). Untuk deret Taylor dari fungsi yang diketahui, R sama dengan jarak dari pusat a ke singularitas terdekat di bidang kompleks. Misalnya, ln(x) pada a = 1 memiliki R = 1 karena x = 0 adalah singularitas yang berjarak satu unit.
Apa perbedaan antara deret pangkat dan deret Taylor?
Deret Taylor adalah jenis deret pangkat khusus di mana koefisiennya ditentukan oleh turunan dari suatu fungsi: aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!. Deret pangkat umum Σ aₙ(x−a)ⁿ dapat memiliki koefisien apa pun. Dalam praktiknya, istilah "deret pangkat" dan "deret Taylor" sering digunakan secara bergantian ketika koefisiennya berasal dari turunan fungsi yang diketahui.
Mengapa deret pangkat hanya konvergen dalam suatu interval?
Deret pangkat konvergen dalam interval simetris di sekitar pusatnya karena adanya singularitas — titik di mana fungsi tidak terdefinisi atau tidak analitik — di bidang kompleks. Jari-jari konvergensi sama dengan jarak dari pusat ke singularitas terdekat tersebut. Meskipun fungsi berperilaku baik pada garis bilangan riil, singularitas kompleks pada jarak yang sama dapat membatasi konvergensi. Misalnya, 1/(1+x²) tidak memiliki singularitas riil, tetapi memiliki singularitas kompleks di x = ±i, sehingga memberikan R = 1 saat berpusat di 0.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Deret Pangkat" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-deret-pangkat/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 2026-04-06

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Kalkulus:

Alat populer dan terbaru:

Kalkulator Pangkat MatriksKalkulator Resistor SeriKalkulator Kapasitor Seri dan ParalelLihat semua →
Beranda > Matematika > Kalkulus > Kalkulator Deret Pangkat