Permudah alur kerja Anda: Cari miniwebtool.
Tambahkan
Beranda > Matematika > Kalkulus > Kalkulator Deret Pangkat
 

Kalkulator Deret Pangkat

Temukan representasi deret pangkat dari fungsi yang berpusat di titik mana pun. Hitung koefisien Taylor/Maclaurin, tentukan jari-jari dan interval konvergensi dengan analisis titik ujung, dan visualisasikan bagaimana jumlah parsial konvergen dengan grafik animasi interaktif.

Kalkulator Deret Pangkat
Contoh:
RUMUS DERET PANGKAT
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$$
Pilih fungsi untuk diekspansi
Titik ekspansi
0 hingga 20
Cek pendekatan

Embed Kalkulator Deret Pangkat Widget

Tentang Kalkulator Deret Pangkat

Kalkulator Deret Pangkat menemukan representasi deret pangkat dari fungsi matematika yang berpusat di titik a mana pun. Alat ini menghitung koefisien ekspansi Taylor/Maclaurin, menentukan jari-jari dan interval konvergensi (termasuk analisis titik ujung), menampilkan derivasi langkah demi langkah untuk setiap suku, dan menyediakan grafik animasi interaktif yang menunjukkan bagaimana jumlah parsial yang berurutan konvergen ke fungsi aslinya. Alat ini mendukung 11 fungsi umum termasuk fungsi eksponensial, trigonometri, logaritmik, dan aljabar.

Konsep Kunci dalam Deret Pangkat

∑
Deret Pangkat
Σ aₙ(x−a)ⁿ — polinomial tak hingga
🎯
Titik Pusat
Nilai a tempat deret berpijak
🔄
Jari-jari R
Jarak dari pusat di mana deret konvergen
↔
Interval
(a−R, a+R) dengan uji titik ujung
📐
Koefisien
aₙ = f⁽ⁿ⁾(a) / n!
⚡
Konvergensi
Jumlah parsial mendekati f(x)

Rumus Esensial

KonsepRumusDeskripsi
Deret Pangkat\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n\)Bentuk umum yang berpusat di a
Koefisien Taylor\(a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\)Koefisien dari turunan ke-n
Jari-jari Konvergensi\(R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}}\)Teorema Cauchy–Hadamard
Uji Rasio\(R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)Metode umum untuk mencari R
Sisa Lagrange\(|R_n(x)| \leq \frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\)Batas kesalahan untuk jumlah parsial

Memahami Deret Pangkat

Deret pangkat merepresentasikan sebuah fungsi sebagai jumlah tak hingga dari suku-suku yang melibatkan pangkat yang meningkat dari (x − a), di mana a adalah pusat ekspansi. Ide utamanya adalah jika Anda mengetahui semua turunan dari suatu fungsi pada satu titik a, Anda dapat menyusun kembali seluruh fungsi dalam jari-jari konvergensi. Setiap koefisien aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n! menangkap informasi tentang kelengkuran fungsi dan perilaku orde tinggi di titik pusat. Ketika a = 0, ini adalah deret Maclaurin; untuk pusat lainnya, ini adalah deret Taylor.

Jari-jari dan Interval Konvergensi

Setiap deret pangkat memiliki jari-jari konvergensi R yang menentukan di mana deret tersebut konvergen. Untuk |x − a| < R, deret konvergen mutlak; untuk |x − a| > R, deret divergen. Jari-jari tersebut sama dengan jarak dari pusat a ke singularitas terdekat dari fungsi tersebut di bidang kompleks. Misalnya, 1/(1−x) yang berpusat di a = 0 memiliki R = 1 karena adanya singularitas di x = 1. Interval konvergensi adalah (a − R, a + R), tetapi titik-titik ujungnya memerlukan pengujian terpisah menggunakan uji konvergensi seperti uji deret ganti tanda atau perbandingan deret-p.

Cara Menggunakan Kalkulator Deret Pangkat

  1. Pilih fungsi: Pilih dari menu dropdown (misalnya, eˣ, sin(x), ln(x), √x) atau klik tombol contoh cepat untuk mengisi semua kolom secara otomatis.
  2. Masukkan titik pusat: Ketik nilai a. Gunakan 0 untuk deret Maclaurin, atau nilai lain seperti π, 1, atau 4 untuk deret Taylor umum.
  3. Atur jumlah suku: Masukkan n (0 hingga 20). Lebih banyak suku memberikan akurasi yang lebih baik tetapi menghasilkan ekspresi yang lebih panjang.
  4. Opsional: evaluasi: Masukkan nilai x untuk menghitung pendekatan polinomial P(x) dan bandingkan dengan nilai fungsi sebenarnya f(x), lengkap dengan analisis kesalahan.
  5. Tinjau hasil: Periksa ekspansi polinomial, interval konvergensi (dengan visualisasi garis bilangan), tabel koefisien, derivasi langkah demi langkah, dan grafik konvergensi interaktif. Gunakan slider atau tombol Animasi untuk melihat jumlah parsial secara bertahap mendekati fungsi tersebut.

Deret Pangkat vs. Deret Taylor vs. Deret Maclaurin

Istilah-istilah ini menggambarkan konsep yang terkait tetapi berbeda. Deret pangkat adalah deret apa pun dalam bentuk Σ aₙ(x−a)ⁿ dengan koefisien sembarang. Deret Taylor adalah deret pangkat yang koefisiennya berasal dari turunan fungsi tertentu: aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!. Deret Maclaurin adalah deret Taylor dengan pusat a = 0. Dalam praktiknya, ketika orang mengatakan "cari deret pangkat dari f(x)," mereka biasanya memaksudkan deret Taylor. Kalkulator ini menangani ketiga kasus tersebut — atur a = 0 untuk Maclaurin, nilai lainnya untuk ekspansi Taylor umum.

Aplikasi Deret Pangkat

Deret pangkat adalah alat fundamental dalam matematika, fisika, dan teknik. Mereka digunakan untuk mendekati fungsi transendental untuk perhitungan numerik, menyelesaikan persamaan diferensial (terutama ketika solusi bentuk tertutup tidak ada), mengevaluasi limit dan integral dari ekspresi kompleks, menganalisis perilaku fungsi di dekat titik-titik tertentu, dan mendukung perpustakaan komputasi ilmiah modern. Banyak chip kalkulator secara internal menggunakan deret pangkat yang dipotong untuk menghitung fungsi seperti sin, cos, exp, dan log.

FAQ

Apa itu deret pangkat?
Deret pangkat adalah deret tak hingga dalam bentuk Σ aₙ(x−a)ⁿ, di mana a adalah pusat, aₙ adalah koefisien, dan n berkisar dari 0 hingga tak hingga. Ini merepresentasikan fungsi sebagai polinomial tak hingga. Ketika koefisien diturunkan dari turunan suatu fungsi (aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!), ia menjadi deret Taylor. Ketika a = 0, ini disebut deret Maclaurin.
Apa itu interval konvergensi?
Interval konvergensi adalah himpunan semua nilai x di mana deret pangkat konvergen ke jumlah yang terbatas. Interval ini selalu berpusat pada titik ekspansi a dan membentang sejauh R unit ke setiap arah, di mana R adalah jari-jari konvergensi. Titik ujung x = a − R dan x = a + R harus diuji secara individual, karena deret tersebut mungkin konvergen di salah satu, keduanya, atau tidak sama sekali di titik ujung tersebut.
Bagaimana cara mencari jari-jari konvergensi?
Jari-jari konvergensi R dapat ditemukan menggunakan Uji Rasio (R = lim |aₙ/aₙ₊₁|) atau Uji Akar (R = 1/limsup |aₙ|^(1/n)). Untuk deret Taylor dari fungsi yang diketahui, R sama dengan jarak dari pusat a ke singularitas terdekat di bidang kompleks. Misalnya, ln(x) pada a = 1 memiliki R = 1 karena x = 0 adalah singularitas yang berjarak satu unit.
Apa perbedaan antara deret pangkat dan deret Taylor?
Deret Taylor adalah jenis deret pangkat khusus di mana koefisiennya ditentukan oleh turunan dari suatu fungsi: aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!. Deret pangkat umum Σ aₙ(x−a)ⁿ dapat memiliki koefisien apa pun. Dalam praktiknya, istilah "deret pangkat" dan "deret Taylor" sering digunakan secara bergantian ketika koefisiennya berasal dari turunan fungsi yang diketahui.
Mengapa deret pangkat hanya konvergen dalam suatu interval?
Deret pangkat konvergen dalam interval simetris di sekitar pusatnya karena adanya singularitas — titik di mana fungsi tidak terdefinisi atau tidak analitik — di bidang kompleks. Jari-jari konvergensi sama dengan jarak dari pusat ke singularitas terdekat tersebut. Meskipun fungsi berperilaku baik pada garis bilangan riil, singularitas kompleks pada jarak yang sama dapat membatasi konvergensi. Misalnya, 1/(1+x²) tidak memiliki singularitas riil, tetapi memiliki singularitas kompleks di x = ±i, sehingga memberikan R = 1 saat berpusat di 0.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Deret Pangkat" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-deret-pangkat/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 2026-04-06

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Alat terkait lainnya:

Kalkulator Koefisien Deret FourierBaru
Kalkulator Jumlah Deret Tak HinggaBaru
Kalkulator Limit
Kalkulator Deret MaclaurinBaru
Kalkulator Radius KonvergensiBaru
Kalkulator Jumlah RiemannBaru
Kalkulator Uji Konvergensi DeretBaru
Kalkulator Deret Taylor

Kalkulus:

Alat unggulan:

Pembuat Grup AcakKalkulator Kecocokan CintaPengacak DaftarNama Generator AcakKalkulator Zodiak Matahari, Bulan & Ascendant 🌞🌙✨Kalkulator Persentase KenaikanKalkulator UsiaKonverter Desimal ke BinerMengurutkan Berdasarkan AbjadKalkulator NumerologiPengacak NomorKonverter FPSKonverter Biner ke DesimalKompresor VideoKompresor GambarKalkulator Nomor NamaPembuat Teka Teki SilangBerapa Nomor Keberuntungan Saya?Kalkulator OktalKalkulator Pace LariKalkulator Durasi WaktuPelemparan KoinKalkulator hasil bagi dan sisakonverter ppm ke persenGenerator Bracket Turnamen AcakKonverter Ukuran File⏱️ Kalkulator JamPembuat Kode MorseKalkulator ModuloPemisah AudioKalkulator Angka TakdirKalkulator TanggaPengembang Kalimat AIUrutkan AngkaKonverter Persen ke PPMKalkulator Hari KelahiranGenerator Acak KataKonverter Hex ke BinerGenerator Kode BatangGabungkan VideoKalkulator Membandingkan PecahanParafrase AIKalkulator Kemiringan dan KelasKonverter Desimal ke OktalPemilih Nama AcakKalkulator Hari dalam Tahun - Hari ke Berapa Hari Ini?Alat penghitung barisGenerator Nomor LotereKonverter Lbs ke KgGenerator AnagramGenerator IMEI Acak📅 Kalkulator TanggalKonverter Hex ke DesimalHari Per BulanKalkulator HexSimulator Gerbang LogikaKonverter Biner ke HexKalkulator RasioLooper MP3Teks TerbalikKalkulator AtapKonverter Desimal ke HeksadesimalKonverter DMS ke Derajat DesimalKalkulator Diskon PersenAnalisis Kompatibilitas Zodiak LanjutanKalkulator Golongan DarahKalkulator Rasio Pinggang-PinggulKonverter Oktal ke BinerPemeriksa Nama Pengguna Media SosialHapus SpasiKalkulator FaktorKalkulator MarkupGenerator Teka-Teki Cari KataKalkulator Persamaan GarisKonverter Oktal ke DesimalKonverter Cm ke Kaki dan Inci⏱️ Timer Hitung MundurKalkulator Ukuran BanAlat Online untuk Menghapus Tanda BacaKalkulator Deviasi Standar RelatifKalkulator PVIFKalkulator PVIFA Presisi TinggiKalkulator Pengurangan PersenHuruf Kecil Huruf Besarkalkulator-hba1cKalkulator Tes yang Dapat DibagiKalkulator Depresiasi MobilKalkulator Konversi Skala Model🥧 Pembuat Diagram LingkaranKalkulator BinerKonverter Hex ke CMYKPembuat Diagram Kotak dan GarisHapus Nomor BarisKonverter Kaki dan Inci ke SentimeterKalkulator Notasi IlmiahKalkulator Rasio BUN ke KreatininKalkulator Defisit KaloriKalkulator Keliling ElipsKonverter Angka RomawiKonverter Alamat IP ke BinerGit Command GeneratorKonverter Kode Warna Semua FormatGenerator dan Pemeriksa Hash BcryptGenerator JWTCSS Grid GeneratorKalkulator Integrasi NumerikKalkulator Transformasi ZKalkulator Transformasi Fourier Cepat (FFT)Kalkulator Produk TensorKalkulator Eksponensial MatriksKalkulator Bentuk Normal JordanKalkulator Ring dan LapanganKalkulator Orde Teori GrupPemecah Sistem ODEPenyelesai ODE BernoulliKalkulator Metode EulerPlotter Medan Arah / Medan KemiringanPenyelesai ODE Orde KeduaPenyelesai ODE Orde PertamaPemecah Masalah Pernikahan StabilKalkulator Aliran Jaringan (Aliran Maksimum)Pemeriksa Grafik PlanarPemeriksa Jalur HamiltonPemecah Masalah Penjual Keliling (TSP)Pemecah Pemrograman LinearKalkulator Inklusi-EksklusiPenyelesai Relasi RekurensiKalkulator Matriks KetetanggaanKalkulator Pengurutan TopologiKalkulator Pewarnaan GrafPemecah Peta Karnaugh (K-Map)Penyederhana Aljabar BooleanKalkulator Fungsi PartisiKalkulator Akar DigitalPemeriksa Angka FibonacciKalkulator Pecahan MesirKalkulator Fungsi MöbiusVerifikator Konjektur GoldbachPemeriksa Bilangan Prima MersennePencari Prima KembarPemeriksa Bilangan BersahabatPemeriksa Bilangan SempurnaKalkulator Eksponensial ModularKalkulator Permutasi dengan PengulanganKalkulator Ukuran EfekKalkulator Risiko RelatifKalkulator Odds RatioKalkulator Tabel KontingensiKalkulator Uji Pasti FisherKalkulator Korelasi Peringkat SpearmanKalkulator Distribusi BetaKalkulator Distribusi WeibullKalkulator Distribusi EksponensialKalkulator Distribusi GeometrikKalkulator Distribusi Binomial NegatifKalkulator Distribusi HipergeometrikKalkulator Uji F dan Distribusi FKalkulator Teorema BayesKalkulator Polinomial KarakteristikKalkulator Pangkat MatriksKalkulator Dekomposisi CholeskyKalkulator Dekomposisi QRKalkulator Diagonalisasi MatriksKalkulator Aturan CramerKalkulator Ruang KolomKalkulator Ruang NolKalkulator Sudut Antara VektorKalkulator Vektor SatuanKalkulator Magnitudo VektorKalkulator Perkalian Silang VektorKalkulator Perkalian TitikKalkulator Perkalian MatriksKalkulator Matriks InversKalkulator RREF (Bentuk Eselon Baris)Kalkulator Metode NewtonKalkulator Matriks JacobianKalkulator Integral PermukaanKalkulator Integral GarisKalkulator cURLKalkulator DivergensiKalkulator Gradien MultivariabelKalkulator Optimasi KalkulusKalkulator Laju TerkaitKalkulator Laju Perubahan SesaatKalkulator Laju Perubahan Rata-rataKalkulator Jumlah Deret Tak HinggaKalkulator Uji Konvergensi DeretKalkulator Deret PangkatKalkulator Deret MaclaurinKalkulator Aturan L'HôpitalKalkulator Integral Tak WajarKalkulator Aturan SimpsonKalkulator Aturan TrapesiumKalkulator Jumlah RiemannPembuat Grafik Kurva ParametrikKalkulator Permukaan RevolusiKalkulator Volume RevolusiKalkulator Jarak Geometri KoordinatKalkulator Rumus HeronKalkulator Garis Singgung LingkaranKalkulator Garis Bagi SudutKalkulator Lingkaran Dalam (Incircle)Kalkulator Lingkaran Luar (Circumcircle)Kalkulator Jarak Lingkaran BesarKalkulator Jarak 3DKalkulator TorusKalkulator Frustum KerucutKalkulator Luas Poligon Tidak BeraturanKalkulator Poligon BeraturanPengidentifikasi Bagian KerucutKalkulator HiperbolaKalkulator ParabolaKalkulator Ekspansi Teorema BinomialGenerator Segitiga PascalKalkulator Notasi Produk PiKalkulator Notasi Sigma PenjumlahanKalkulator Teorema Akar RasionalKalkulator Aturan Tanda DescartesKalkulator Garis Sejajar dan Tegak LurusKonverter Bentuk Standar ke Bentuk Slope-InterceptKalkulator Bentuk Titik-KemiringanPemecah Sistem Persamaan NonlinearPenyelesaian Persamaan RasionalPemecah Persamaan LiteralPemecah Persamaan TrigonometriPenyelesai Persamaan EksponensialPemecah Persamaan LogaritmaKalkulator Persamaan KuartikKalkulator Persamaan KubikKalkulator EstimasiKonverter Angka ke PecahanGenerator Hitung LoncatKalkulator Harga SatuanKalkulator Fungsi Ceiling dan FloorKalkulator Nilai AbsolutPencari Pola AngkaGenerator Grafik Nilai TempatKalkulator Urutan Operasi (PEMDAS)Kalkulator Penjumlahan dan Pengurangan BersusunKalkulator Perkalian PanjangGenerator Tabel Perkalian🎮 Konverter Mata Uang Game🎲 Kalkulator Probabilitas Loot Drop🎰 Kalkulator Pity Gacha⚔️ Kalkulator DPS🎮 Konverter Sensitivitas Game❄️ Kalkulator Hari Salju🚚 Kalkulator Biaya Pindahan🔍 Pemeriksa Plagiarisme📷 OCR / Gambar ke Teks📈 Pembuat Grafik Garis📊 Pembuat Grafik Batang🔊 Generator Nada🖱️ Penghitung KlikNotepad Online⬛ Kalkulator Rasio Aspek🌍 Kalkulator Jejak Karbon👙 Kalkulator Ukuran BraKalkulator Biaya Bahan Bakar💧 Kalkulator Titik Embun🌡️ Kalkulator Indeks Panas🌬️ Kalkulator Angin Dingin⏰ Jam Alarm Online⏰ Kalkulator Kartu Absensi📅 Kalkulator Selisih Tanggal🕐 Konverter Waktu Militer⏱️ Stopwatch Online🌐 Konverter Zona WaktuKalkulator KarpetKalkulator Dinding PenahanKalkulator Ukuran HVACKalkulator InsulasiKalkulator PavingKalkulator Besi BetonKalkulator KayuKalkulator LuasKalkulator Perkalian SilangKalkulator Ringkasan Lima AngkaKalkulator PersentilKalkulator Distribusi NormalKalkulator Nilai PKalkulator Melengkapkan Kuadrat SempurnaKalkulator PembulatanKalkulator Pembagian PanjangKalkulator IlmiahTimer Belajar PomodoroKalkulator Angka PentingKalkulator Nilai UjianKalkulator Nilai TertimbangKalkulator Nilai AkhirKalkulator NilaiKalkulator Frekuensi ResonansiKalkulator ImpedansiKalkulator Desibel (dB)Kalkulator Faktor DayaKalkulator Konstanta Waktu RCKalkulator TransformatorKalkulator Ukuran KabelKalkulator Timer 555Kalkulator KapasitorKalkulator Resistor ParalelKalkulator Pembagi TeganganKalkulator Resistor LEDKonverter Mol/Gram/PartikelKalkulator TitrasiKalkulator Titik DidihKalkulator Rumus EmpirisKalkulator Hasil PersentaseKalkulator StoikiometriPenyeimbang Persamaan KimiaKalkulator PengenceranKalkulator Tenaga KudaKalkulator TorsiKalkulator Jatuh BebasKalkulator Hukum Gas IdealKalkulator TekananKalkulator KepadatanKalkulator Usaha dan DayaKalkulator Energi PotensialKalkulator Energi KinetikKalkulator Gerak ProyektilKalkulator MomentumKalkulator KecepatanKalkulator AkselerasiKalkulator GayaKalkulator ROI InfluencerKalkulator ROASKalkulator CTRPengoptimal Waktu Posting Media SosialKalkulator ROI Media SosialKalkulator Biaya Iklan FacebookKalkulator Monetisasi YouTube ShortsKalkulator Penghasilan TwitchYouTube Watch Time CalculatorKonverter Timestamp Twitter/XStatistik Saluran YouTubeKalkulator Uang TikTokPanduan Ukuran Gambar Media SosialGenerator Font InstagramPenghitung Karakter Twitter/XPemilih Komentar YouTubeEkstraktor Tag YouTubePengunduh Thumbnail YouTubeKalkulator Penghasilan YouTubeGenerator Karakter RPG Acak