Permudah alur kerja Anda: Cari miniwebtool.
Tambahkan
Beranda > Matematika > Kalkulus > Kalkulator Deret Pangkat
 

Kalkulator Deret Pangkat

Temukan representasi deret pangkat dari fungsi yang berpusat di titik mana pun. Hitung koefisien Taylor/Maclaurin, tentukan jari-jari dan interval konvergensi dengan analisis titik ujung, dan visualisasikan bagaimana jumlah parsial konvergen dengan grafik animasi interaktif.

Kalkulator Deret Pangkat
Contoh:
RUMUS DERET PANGKAT
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$$
Pilih fungsi untuk diekspansi
Titik ekspansi
0 hingga 20
Cek pendekatan

Embed Kalkulator Deret Pangkat Widget

Tentang Kalkulator Deret Pangkat

Kalkulator Deret Pangkat menemukan representasi deret pangkat dari fungsi matematika yang berpusat di titik a mana pun. Alat ini menghitung koefisien ekspansi Taylor/Maclaurin, menentukan jari-jari dan interval konvergensi (termasuk analisis titik ujung), menampilkan derivasi langkah demi langkah untuk setiap suku, dan menyediakan grafik animasi interaktif yang menunjukkan bagaimana jumlah parsial yang berurutan konvergen ke fungsi aslinya. Alat ini mendukung 11 fungsi umum termasuk fungsi eksponensial, trigonometri, logaritmik, dan aljabar.

Konsep Kunci dalam Deret Pangkat

∑
Deret Pangkat
Σ aₙ(x−a)ⁿ — polinomial tak hingga
🎯
Titik Pusat
Nilai a tempat deret berpijak
🔄
Jari-jari R
Jarak dari pusat di mana deret konvergen
↔
Interval
(a−R, a+R) dengan uji titik ujung
📐
Koefisien
aₙ = f⁽ⁿ⁾(a) / n!
⚡
Konvergensi
Jumlah parsial mendekati f(x)

Rumus Esensial

KonsepRumusDeskripsi
Deret Pangkat\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n\)Bentuk umum yang berpusat di a
Koefisien Taylor\(a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\)Koefisien dari turunan ke-n
Jari-jari Konvergensi\(R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}}\)Teorema Cauchy–Hadamard
Uji Rasio\(R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)Metode umum untuk mencari R
Sisa Lagrange\(|R_n(x)| \leq \frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\)Batas kesalahan untuk jumlah parsial

Memahami Deret Pangkat

Deret pangkat merepresentasikan sebuah fungsi sebagai jumlah tak hingga dari suku-suku yang melibatkan pangkat yang meningkat dari (x − a), di mana a adalah pusat ekspansi. Ide utamanya adalah jika Anda mengetahui semua turunan dari suatu fungsi pada satu titik a, Anda dapat menyusun kembali seluruh fungsi dalam jari-jari konvergensi. Setiap koefisien aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n! menangkap informasi tentang kelengkuran fungsi dan perilaku orde tinggi di titik pusat. Ketika a = 0, ini adalah deret Maclaurin; untuk pusat lainnya, ini adalah deret Taylor.

Jari-jari dan Interval Konvergensi

Setiap deret pangkat memiliki jari-jari konvergensi R yang menentukan di mana deret tersebut konvergen. Untuk |x − a| < R, deret konvergen mutlak; untuk |x − a| > R, deret divergen. Jari-jari tersebut sama dengan jarak dari pusat a ke singularitas terdekat dari fungsi tersebut di bidang kompleks. Misalnya, 1/(1−x) yang berpusat di a = 0 memiliki R = 1 karena adanya singularitas di x = 1. Interval konvergensi adalah (a − R, a + R), tetapi titik-titik ujungnya memerlukan pengujian terpisah menggunakan uji konvergensi seperti uji deret ganti tanda atau perbandingan deret-p.

Cara Menggunakan Kalkulator Deret Pangkat

  1. Pilih fungsi: Pilih dari menu dropdown (misalnya, eˣ, sin(x), ln(x), √x) atau klik tombol contoh cepat untuk mengisi semua kolom secara otomatis.
  2. Masukkan titik pusat: Ketik nilai a. Gunakan 0 untuk deret Maclaurin, atau nilai lain seperti π, 1, atau 4 untuk deret Taylor umum.
  3. Atur jumlah suku: Masukkan n (0 hingga 20). Lebih banyak suku memberikan akurasi yang lebih baik tetapi menghasilkan ekspresi yang lebih panjang.
  4. Opsional: evaluasi: Masukkan nilai x untuk menghitung pendekatan polinomial P(x) dan bandingkan dengan nilai fungsi sebenarnya f(x), lengkap dengan analisis kesalahan.
  5. Tinjau hasil: Periksa ekspansi polinomial, interval konvergensi (dengan visualisasi garis bilangan), tabel koefisien, derivasi langkah demi langkah, dan grafik konvergensi interaktif. Gunakan slider atau tombol Animasi untuk melihat jumlah parsial secara bertahap mendekati fungsi tersebut.

Deret Pangkat vs. Deret Taylor vs. Deret Maclaurin

Istilah-istilah ini menggambarkan konsep yang terkait tetapi berbeda. Deret pangkat adalah deret apa pun dalam bentuk Σ aₙ(x−a)ⁿ dengan koefisien sembarang. Deret Taylor adalah deret pangkat yang koefisiennya berasal dari turunan fungsi tertentu: aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!. Deret Maclaurin adalah deret Taylor dengan pusat a = 0. Dalam praktiknya, ketika orang mengatakan "cari deret pangkat dari f(x)," mereka biasanya memaksudkan deret Taylor. Kalkulator ini menangani ketiga kasus tersebut — atur a = 0 untuk Maclaurin, nilai lainnya untuk ekspansi Taylor umum.

Aplikasi Deret Pangkat

Deret pangkat adalah alat fundamental dalam matematika, fisika, dan teknik. Mereka digunakan untuk mendekati fungsi transendental untuk perhitungan numerik, menyelesaikan persamaan diferensial (terutama ketika solusi bentuk tertutup tidak ada), mengevaluasi limit dan integral dari ekspresi kompleks, menganalisis perilaku fungsi di dekat titik-titik tertentu, dan mendukung perpustakaan komputasi ilmiah modern. Banyak chip kalkulator secara internal menggunakan deret pangkat yang dipotong untuk menghitung fungsi seperti sin, cos, exp, dan log.

FAQ

Apa itu deret pangkat?
Deret pangkat adalah deret tak hingga dalam bentuk Σ aₙ(x−a)ⁿ, di mana a adalah pusat, aₙ adalah koefisien, dan n berkisar dari 0 hingga tak hingga. Ini merepresentasikan fungsi sebagai polinomial tak hingga. Ketika koefisien diturunkan dari turunan suatu fungsi (aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!), ia menjadi deret Taylor. Ketika a = 0, ini disebut deret Maclaurin.
Apa itu interval konvergensi?
Interval konvergensi adalah himpunan semua nilai x di mana deret pangkat konvergen ke jumlah yang terbatas. Interval ini selalu berpusat pada titik ekspansi a dan membentang sejauh R unit ke setiap arah, di mana R adalah jari-jari konvergensi. Titik ujung x = a − R dan x = a + R harus diuji secara individual, karena deret tersebut mungkin konvergen di salah satu, keduanya, atau tidak sama sekali di titik ujung tersebut.
Bagaimana cara mencari jari-jari konvergensi?
Jari-jari konvergensi R dapat ditemukan menggunakan Uji Rasio (R = lim |aₙ/aₙ₊₁|) atau Uji Akar (R = 1/limsup |aₙ|^(1/n)). Untuk deret Taylor dari fungsi yang diketahui, R sama dengan jarak dari pusat a ke singularitas terdekat di bidang kompleks. Misalnya, ln(x) pada a = 1 memiliki R = 1 karena x = 0 adalah singularitas yang berjarak satu unit.
Apa perbedaan antara deret pangkat dan deret Taylor?
Deret Taylor adalah jenis deret pangkat khusus di mana koefisiennya ditentukan oleh turunan dari suatu fungsi: aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!. Deret pangkat umum Σ aₙ(x−a)ⁿ dapat memiliki koefisien apa pun. Dalam praktiknya, istilah "deret pangkat" dan "deret Taylor" sering digunakan secara bergantian ketika koefisiennya berasal dari turunan fungsi yang diketahui.
Mengapa deret pangkat hanya konvergen dalam suatu interval?
Deret pangkat konvergen dalam interval simetris di sekitar pusatnya karena adanya singularitas — titik di mana fungsi tidak terdefinisi atau tidak analitik — di bidang kompleks. Jari-jari konvergensi sama dengan jarak dari pusat ke singularitas terdekat tersebut. Meskipun fungsi berperilaku baik pada garis bilangan riil, singularitas kompleks pada jarak yang sama dapat membatasi konvergensi. Misalnya, 1/(1+x²) tidak memiliki singularitas riil, tetapi memiliki singularitas kompleks di x = ±i, sehingga memberikan R = 1 saat berpusat di 0.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Deret Pangkat" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-deret-pangkat/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 2026-04-06

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Alat terkait lainnya:

Kalkulator Persamaan Nilai Mutlak
Kalkulator Matriks KetetanggaanBaru
Kalkulator Uji Chi-Square
Kalkulator Tes yang Dapat Dibagi
Kalkulator Uji F dan Distribusi FBaru
Kalkulator Jumlah Deret Tak HinggaBaru
Kalkulator Deret MaclaurinBaru
Kalkulator Matriks InversBaru
Kalkulator Perkalian MatriksBaru
Kalkulator Pangkat MatriksBaru

Kalkulus:

Alat unggulan:

Pembuat Grup AcakKalkulator Kecocokan CintaKalkulator Zodiak Matahari, Bulan & Ascendant 🌞🌙✨Kalkulator NumerologiPengacak DaftarKalkulator UsiaNama Generator AcakKalkulator Durasi WaktuKompresor VideoKalkulator Persentase KenaikanBerapa Nomor Keberuntungan Saya?Kalkulator Pace LariPengacak NomorKonverter FPS⏱️ Kalkulator JamMengurutkan Berdasarkan AbjadKonverter Ukuran FileGenerator AnagramPemilih Nama Acak📅 Kalkulator TanggalGenerator Acak KataPembuat Kode MorseHari Per BulanKalkulator Nomor NamaKonverter Desimal ke BinerKonverter Lbs ke KgAntara Dua TanggalKonverter Biner ke DesimalKalkulator Angka TakdirKalkulator hasil bagi dan sisaLooper MP3Kalkulator Hari dalam Tahun - Hari ke Berapa Hari Ini?Gabungkan VideoKalkulator TanggaParafrase AIPemisah AudioPengembang Kalimat AIGenerator Nomor LoterePembuat Teka Teki SilangKalkulator BinerKalkulator Hari KelahiranTeks TerbalikKalkulator Kemiringan dan KelasKalkulator PembulatanKonverter Hex ke DesimalKalkulator Nomor Jalan HidupKalkulator Momen InersiaGenerator hewan acakKalkulator Deviasi Standar RelatifKalkulator Membandingkan PecahanKonverter Persen ke PPMKalkulator Jumlah DigitGenerator Kode BatangKalkulator Konversi Skala ModelGenerator Kartu Kredit AcakHuruf Kecil Huruf BesarKonverter Kode Warna Semua FormatKalkulator KomisiKalkulator Ukuran Cetak dan Resolusi (DPI/PPI)Urutkan AngkaGenerator Truth or Dare AcakKalkulator LuasKalkulator Segitiga Siku-SikuKalkulator Torsi BautKalkulator Diskon PersenKonverter Oktal ke DesimalAlat penghitung barisKalkulator Akar KuadratKalkulator Defisit KaloriKalkulator Golongan DarahKonverter Desimal ke Oktal🔍 Pemeriksa PlagiarismeGenerator Teks Kecil ⁽ᶜᵒᵖʸ ⁿ ᵖᵃˢᵗᵉ⁾Kalkulator Pengurangan PersenKompresor Gambarkonverter ppm ke persenKalkulator Bilangan KompleksKalkulator MarkupPemeriksa Nama Pengguna Media SosialGenerator Skema WarnaGenerator String AcakKalkulator Konversi GajiKalkulator Angka MalaikatKalkulator Hasil DividenKalkulator NPVKalkulator OktalEkstraktor Gambar dari VideoGenerator Bracket Turnamen AcakKonverter Biner ke HexAlat Online untuk Menghapus Tanda BacaKalkulator Nilai Rata-rata IPKKalkulator Notasi IlmiahKonverter Desimal ke Heksadesimal🥧 Pembuat Diagram LingkaranSimulator Gerbang LogikaKalkulator Dosis ObatKalkulator ModuloKalkulator Rasio ParkirKonverter Hex ke BinerKalkulator Konversi Oktal ke HexadesimalPencarian ID Pengguna FacebookPenghitung karakterHapus Audio dari VideoHapus Nomor BarisKalkulator Jam KerjaKalkulator Penghasilan YouTubeKalkulator Skor APGARKalkulator Ukuran BanKalkulator Usia KehamilanKonverter Ukuran SepatuPemilih AcakPemilih Nomor AcakHapus SpasiKalkulator Cohen's dKalkulator GFRKalkulator Monetisasi YouTube ShortsKonverter Kalender HijriahKonverter Kaki dan Inci ke SentimeterKalkulator HexPanduan Ukuran Gambar Media SosialPencarian ID Pengguna InstagramPenghasil Nama AcakKalkulator Sewa Section 8Kalkulator Metode BRRRRKalkulator Cash on Cash ReturnKalkulator Hasil SewaKalkulator Pertukaran 1031Visualisasi Pertumbuhan KekayaanKalkulator Biaya Makan SiangKalkulator Biaya Gym vs Latihan di RumahKalkulator Biaya Kebiasaan KopiKalkulator Penghematan Kerja Jarak JauhKalkulator ROI Pekerjaan SampinganPelacak Biaya LanggananKalkulator Harga SaaSKalkulator Harga Proyek FreelancePanduan Pasangan Kayu AsapKalkulator Waktu FermentasiKalkulator Waktu MarinasiFilter Resep Berdasarkan Pembatasan DietPencari Pengganti BumbuPelacak Waktu Paruh KafeinKalkulator Minuman StandarSaran Pasangan WineKonverter Grade Panjat TebingKalkulator Rasio Gigi SepedaKalkulator Kekuatan Simpul PancingPengatur Waktu Pose YogaKalkulator SWOLF RenangKalkulator Prediksi Waktu LariKalkulator Kekuatan Pukulan TinjuKalkulator Poin RugbyKalkulator Run Rate KriketKalkulator xG (Expected Goals) Sepak BolaPenghitung Skor TenisKalkulator Skor Wells (DVT/PE)Kalkulator Skala Koma GlasgowKalkulator FFMIKalkulator Lari 12 Menit CooperKalkulator Tes Jalan Satu Mil RockportKalkulator Massa Tanpa Lemak ke KekuatanKalkulator Rasio Karbohidrat InsulinKalkulator Faktor Sensitivitas InsulinKonverter Kalender IbraniKonverter Kalender LunarKalkulator Usia Lintas BudayaKalkulator Sudah Berapa LamaKalkulator Berapa Lama LagiGenerator Pola TanggalKalkulator Tanggal TengahTambah Hari Kerja ke TanggalKalkulator Hari KerjaPenganalisis Frekuensi KataPenganalisis Variasi Panjang KalimatEditor Keterbacaan Gaya HemingwayKonverter Pengucapan IPAAlat Sandi VigenereAlat Sandi AtbashEncoder dan Decoder ROT13Penampil dan Penghapus Data EXIFPenerjemah Pig LatinGenerator BackronymGenerator AkronimPemeriksa PangramPemeriksa LipogramPelacak Gambar ke SVGKonverter Gambar ke Seni ASCIIGenerator Skema JSONPlayground TypeScriptKompilator Less ke CSSKompilator SCSS ke CSSKonverter SVG ke React/JSXPembuat Query StringParser URLValidator dan Dekoder UUIDReferensi Kode Status HTTPPembuat Perintah cURLPembuat Segitiga SierpinskiPlotter Permukaan 3DPlotter Persamaan PolarGenerator Himpunan JuliaPenjelajah Himpunan MandelbrotGenerator Fraktal L-SystemPembuat Triangulasi DelaunayPembuat Diagram VoronoiGenerator SpirographGenerator TesselasiKalkulator Kapabilitas Proses Six SigmaPembuat Diagram ParetoKalkulator NPS (Net Promoter Score)Kalkulator Retensi KohortKalkulator Tingkat ChurnKalkulator Biaya Akuisisi Pelanggan CACKalkulator Nilai Seumur Hidup Pelanggan (CLV)Kalkulator Tingkat KonversiKalkulator Ukuran Sampel Tes A/BKalkulator Signifikansi Uji A/BKalkulator Persamaan LensaKalkulator Medan Magnet KawatKalkulator Medan ListrikKalkulator Hukum CoulombKalkulator Hukum SnellKalkulator Kecepatan SudutKalkulator Gaya SentripetalKalkulator Periode PendulumKalkulator Konstanta PegasKalkulator Efek DopplerKalkulator Rasio SortinoKalkulator Rasio TreynorKalkulator Beta SahamKalkulator Surat Utang Negara Terlindung Inflasi (TIPS)Kalkulator Rekalkulasi HipotekKalkulator Suku Bunga ForwardKalkulator Durasi Obligasi (Macaulay & Modifikasi)Kalkulator Konveksitas ObligasiKalkulator Anuitas Terindeks TetapKalkulator Anuitas VariabelKalkulator Hipotek TerbalikKalkulator Pembayaran AnuitasSimulator Soroban Sempoa JepangPerkalian Petani RusiaKalkulator Trik Matematika VedaKalkulator Perkalian Mesir KunoKalkulator Matematika Angka RomawiPelatih Matematika MentalKuis Tabel PerkalianVisualisator Menyimpan dan MeminjamGenerator Penguraian BilanganPenyelesai Soal Cerita KoinKalkulator Segitiga Jarak Kecepatan WaktuPemecah Soal Laju KerjaPemecah Soal CampuranPemecah Soal Cerita UsiaPemecah Soal Pertemuan KeretaKalkulator HidrasiKalkulator Pace ke KaloriKalkulator Kalori AlkoholKalkulator Rekomposisi TubuhGenerator Topik Debat AcakGenerator Nama Kucing & Anjing AcakGenerator Ayat Alkitab AcakGenerator Soal Matematika AcakGenerator Paragraf AcakGenerator Kalimat Acak Bahasa InggrisKalkulator Kerikil, Pasir dan Tanah AtasKalkulator Berat BajaKalkulator Aliran PipaKalkulator Beban BalokKonverter Dolar ke EmasKalkulator Probabilitas OpsiKalkulator Stock SplitKalkulator ESPPKalkulator Denda Keterlambatan FakturKalkulator Tarif Per Jam FreelancerKalkulator Sewa vs BeliPembagi Tip LanjutanGenerator Daftar Barang BawaanKalkulator Jet LagKalkulator Anggaran PerjalananKalkulator Jarak PenerbanganKalkulator Kehilangan PanasKalkulator Biaya Pembangkitan ListrikKalkulator Penggunaan AirKalkulator Biaya Energi Peralatan Rumah TanggaKalkulator Audit Energi RumahKalkulator ROI Tenaga SuryaKalkulator Panel SuryaKalkulator Kompos (Rasio C:N)Kalkulator Pupuk RumputKalkulator Tanggal Embun BekuKalkulator Tanah Bedengan TinggiKalkulator Pupuk NPKKalkulator Tingkat Perkecambahan BenihKalkulator Bitrate VideoTransposer Kunci MusikPenghitung BPM dengan KetukanEstimator Ukuran File FotoKalkulator Megapiksel ke Ukuran CetakKalkulator Faktor CropKalkulator Segitiga EksposurKalkulator Kapasitas Derek KendaraanKalkulator Leasing MobilKalkulator 0–60 dan Seperempat MilKalkulator Waktu Pengisian EVKalkulator Jangkauan EVKalkulator Jarak 3DKalkulator TorusKalkulator Frustum KerucutKalkulator Luas Poligon Tidak BeraturanKalkulator Poligon BeraturanPengidentifikasi Bagian KerucutKalkulator HiperbolaKalkulator Pembagian PanjangPenghitung Karakter Twitter/XPemilih Komentar YouTubeEkstraktor Tag YouTubePengunduh Thumbnail YouTubeGenerator Karakter RPG Acak