Kalkulator Momen Inersia

Kalkulator Momen Inersia mencakup kedua arti dari istilah tersebut dalam satu tempat — momen inersia area (momen area kedua) yang digunakan oleh insinyur struktural untuk memprediksi seberapa besar balok membengkok di bawah beban, dan momen inersia massa yang digunakan oleh insinyur mekanik dan kedirgantaraan untuk memprediksi bagaimana suatu benda merespons torsi. Pilih salah satu dari 15 bentuk siap pakai, ketik dimensi dalam satuan apa pun yang familier, lihat diagram digambar ulang secara langsung, dan baca momen inersia bersama dengan luas penampang, momen polar J, modulus penampang S, jari-jari girasi k, dan turunan lengkap langkah demi langkah. Bidang teorema sumbu sejajar memungkinkan Anda menggeser hasil ke sumbu apa pun yang sejajar dengan sumbu sentroid hanya dengan satu angka.

Cara Menggunakan Kalkulator Momen Inersia Ini

1. Klik Momen Inersia Area jika Anda sedang menentukan ukuran balok, atau Momen Inersia Massa jika Anda sedang mempelajari rotasi. Galeri bentuk akan memfilter dirinya sendiri untuk hanya menampilkan bentuk yang berlaku.
2. Ketuk kartu bentuk — persegi panjang, lingkaran, tabung berongga, segitiga, kotak berongga, balok-I, setengah lingkaran, batang tipis, silinder padat atau berongga, bola padat atau berongga, pelat persegi panjang. Bidang dimensi yang diperlukan akan muncul dan diagram di sebelah kanan akan menyesuaikan.
3. Ketik dimensi dalam mm, cm, m, in, atau ft. Untuk bentuk mode massa, ketik juga massa total dalam kg, g, lb, t, atau oz.
4. Pilih satuan keluaran — mm⁴ / cm⁴ / m⁴ / in⁴ / ft⁴ untuk momen inersia area, atau kg·m² / kg·cm² / g·cm² / lb·ft² / lb·in² untuk momen inersia massa.
5. Secara opsional, masukkan jarak offset sumbu sejajar. Kalkulator akan menerapkan \(I' = I + A d^2\) (area) atau \(I' = I + m d^2\) (massa) secara otomatis.
6. Tekan Hitung untuk melihat momen inersia, momen polar, modulus penampang, jari-jari girasi, diagram SVG dari penampang yang menunjukkan sentroid dan sumbu, serta turunan LaTeX langkah demi langkah.

Apa yang Membuat Kalkulator Ini Berbeda

Momen Inersia Area vs Massa

Kedua kuantitas ini terdengar mirip dan berbagi simbol yang sama \(I\), tetapi mereka hidup di dunia yang berbeda. Momen inersia area \(I_x = \int_A y^2 \,dA\) hanya bergantung pada bentuk penampang — material tidak berpengaruh. Satuannya adalah panjang pangkat empat, jadi mm⁴, cm⁴, m⁴, atau in⁴. Anda menggunakannya dalam pembengkokan balok: \(I_x\) yang lebih tinggi berarti lebih tahan terhadap momen lentur pada sumbu yang sama. Momen inersia massa \(I = \int r^2 \,dm\) bergantung pada seberapa banyak massa yang ada dan bagaimana massa tersebut didistribusikan menjauh dari sumbu rotasi. Satuannya adalah massa × panjang², jadi kg·m², g·cm², lb·ft², atau lb·in². Anda menggunakannya dalam dinamika rotasi: \(\tau = I\alpha\) adalah bentuk rotasi dari hukum kedua Newton.

Rumus untuk Bentuk Umum

Setiap bentuk yang didukung oleh kalkulator ini mengikuti salah satu rumus di bawah ini. Semuanya adalah tentang sumbu sentroid yang ditunjukkan oleh diagram; teorema sumbu sejajar memperluasnya ke sumbu sejajar mana pun.

Teorema Sumbu Sejajar

Rumus di atas semuanya mengasumsikan sumbu melewati sentroid bentuk. Untuk bergeser ke sumbu apa pun yang sejajar dengan sumbu sentroid, tambahkan satu suku koreksi:

\[ I_{x'} \;=\; I_x \;+\; A\,d^{2} \qquad \text{(area)} \qquad I' \;=\; I \;+\; m\,d^{2} \qquad \text{(massa)} \]

di mana \(d\) adalah jarak antara dua sumbu sejajar, \(A\) adalah luas penampang, dan \(m\) adalah massa total. Kalkulator menerapkan ini secara otomatis saat Anda mengisi bidang offset opsional.

Contoh Soal: Bagian Balok-I

Sebuah balok-I flensa lebar W12×40 memiliki tinggi total H = 12 in, lebar flensa B = 8 in, tebal flensa t_f = 0.515 in, dan tebal badan t_w = 0.295 in. Tinggi badan adalah \(h_w = H - 2 t_f = 10.97\) in.

• \( I_x = B H^{3}/12 - (B - t_w)\,h_w^{3}/12 = 8 \cdot 12^{3}/12 - (8 - 0.295) \cdot 10.97^{3}/12 \approx 1152 - 847 \approx 305 \) in⁴.
• Itu cocok dengan nilai tabel AISC sebesar 307 in⁴ dalam batas toleransi teknik.
• Untuk momen lentur \(M = 50000\) lb·in, tegangan lentur maksimum adalah \( \sigma = M c / I = 50000 \cdot 6 / 307 \approx 977 \) psi.

Contoh Soal: Roda Gila

Sebuah roda gila baja padat dengan massa 20 kg dan jari-jari luar 0.30 m, berputar pada sumbu pusatnya sendiri:

• \( I = m r^{2}/2 = 20 \cdot 0.30^{2} / 2 = 0.9\) kg·m².
• Torsi yang dibutuhkan untuk memutarnya dari keadaan diam ke 60 RPM (\(\omega = 6.28\) rad/s) dalam 5 detik (\(\alpha = 1.26\) rad/s²) adalah \( \tau = I \alpha = 0.9 \cdot 1.26 \approx 1.13\) N·m.
• Energi kinetik rotasi pada 60 RPM adalah \( K = \tfrac{1}{2} I \omega^{2} = 0.5 \cdot 0.9 \cdot 6.28^{2} \approx 17.7\) J.

Modulus Penampang, Jari-Jari Girasi, Momen Polar

Untuk setiap bentuk mode area, kalkulator juga melaporkan tiga kuantitas pendamping yang pada akhirnya dibutuhkan oleh setiap mahasiswa teknik:

• Modulus penampang \(S = I_x / c\), di mana \(c\) is jarak dari sentroid ke serat yang paling tertekan. Digunakan langsung dalam rumus tegangan lentur \( \sigma = M / S \).
• Jari-jari girasi \(k = \sqrt{I / A}\) (area) atau \(k = \sqrt{I / m}\) (massa). Ini adalah jari-jari di mana semua area atau massa dapat dikonsentrasikan pada satu titik dan masih menghasilkan I yang sama. Muncul dalam rumus tekuk kolom Euler dan dalam kesetaraan rotasi dari \(KE = \tfrac{1}{2} m v^{2}\) ketika ditulis sebagai \(KE = \tfrac{1}{2} m (k\omega)^{2}\).
• Momen inersia polar \(J = I_x + I_y\), momen area terhadap sumbu sentroid yang tegak lurus dengan penampang. Mendorong tegangan geser puntir poros lingkaran: \(\tau = T r / J\).

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa perbedaan antara momen inersia area dan massa?
Momen inersia area hanya bergantung pada bentuk penampang dan digunakan untuk pembengkokan balok — satuannya adalah panjang⁴ (mm⁴, in⁴). Momen inersia massa bergantung pada massa dan bagaimana massa tersebut didistribusikan di sekitar sumbu rotasi dan digunakan untuk dinamika rotasi — satuannya adalah massa × panjang² (kg·m², lb·ft²). Mereka berbagi simbol I tetapi menjawab pertanyaan fisik yang berbeda.

Bagaimana cara menghitung I untuk persegi panjang?
Terhadap sumbu x sentroid, \(I_x = b h^{3}/12\). Terhadap sumbu y sentroid yang tegak lurus, itu adalah \(I_y = h b^{3}/12\). Momen polar terhadap sumbu sentroid yang tegak lurus dengan bidang adalah \(J = I_x + I_y\).

Bagaimana cara menghitung I for lingkaran?
Untuk lingkaran padat berdiameter d, \(I = \pi d^{4}/64\) terhadap diameter mana pun dan \(J = \pi d^{4}/32\) terhadap sumbu tegak lurus pusat. Untuk tabung berongga, kurangi bagian dalam dari bagian luar: \(I = \pi (D^{4} - d^{4})/64\).

Apa itu teorema sumbu sejajar?
Teorema ini menyatakan \(I_{sejajar} = I_{sentroid} + A d^{2}\) untuk momen area dan \(I_{sejajar} = I_{sentroid} + m d^{2}\) untuk momen massa, di mana d adalah jarak antara dua sumbu sejajar. Kalkulator ini menerapkannya secara otomatis saat Anda mengisi bidang offset.

Berapakah momen inersia dari bola padat?
\(I = \tfrac{2}{5} m r^{2}\) terhadap diameter mana pun. Sebuah bola berongga tipis dengan massa dan jari-jari yang sama adalah \(\tfrac{2}{3} m r^{2}\) — lebih besar karena lebih banyak massa berada di tepi luar.

Apa itu modulus penampang dan bagaimana cara menggunakannya?
\(S = I_x / c\) di mana c adalah jarak dari sentroid ke serat terluar. Tegangan lentur maksimum adalah \(\sigma = M / S\). S yang lebih besar berarti balok dapat memikul momen yang lebih besar pada tegangan izin yang sama.

Mengapa bentuk balok-I mengungguli persegi panjang padat dengan area yang sama?
Karena momen inersia area membobot setiap bagian material dengan nilai kuadrat dari jaraknya dari sentroid. Balok-I menempatkan sebagian besar materialnya di flensa, jauh dari sentroid, sehingga setiap kg berkontribusi jauh lebih banyak ke I daripada kg yang sama yang berada di dekat sentroid pada batang padat. Itulah sebabnya balok baja hampir selalu berbentuk seperti huruf I.