Kalkulator Periode Pendulum

Kalkulator Periode Pendulum menggunakan rumus klasik pendulum sederhana \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) untuk mencari periode \(T\), panjang \(L\), gravitasi lokal \(g\), atau frekuensi alami \(f\). Alat ini mencakup preset gravitasi planet sekali klik, koreksi sudut besar eksak menggunakan deret integral eliptik, pendulum SVG langsung yang berayun pada kecepatan yang dihitung, dan output energi/kecepatan saat Anda memberikan massa bob.

Cara Menggunakan Kalkulator Periode Pendulum Ini

1. Pilih apa yang ingin dihitung: T (periode), L (panjang), g (gravitasi), atau f (frekuensi). Formulir akan menyesuaikan diri untuk hanya menanyakan kuantitas yang diperlukan.
2. Pilih preset planet — Bumi, Bulan, Mars, Jupiter, Matahari, ISS, dan lainnya — atau beralih ke Kustom dan ketik nilai g Anda sendiri.
3. Masukkan panjang, periode, atau kombinasi apa pun yang diperlukan oleh mode yang dipilih.
4. Opsional: masukkan amplitudo ayunan (dalam derajat) dan massa bob. Kalkulator kemudian akan melaporkan periode eksak (bukan sudut kecil), tinggi maksimum, kecepatan di dasar ayunan, dan puncak energi kinetik / potensial.
5. Tekan Hitung dan tinjau ayunan SVG langsung, tabel perbandingan lintas planet, pengerjaan langkah demi langkah, dan jumlah siklus per menit / jam / hari.

Apa yang Membuat Kalkulator Ini Berbeda

Rumus Periode Pendulum

Untuk bob massa titik yang tergantung pada batang tanpa massa, berayun melalui sudut kecil dalam medan gravitasi seragam:

\[ T \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad L \;=\; g\left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^{\!2} \qquad\Longleftrightarrow\qquad g \;=\; \dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}} \]

Di sini \(T\) adalah periode dalam detik, \(L\) adalah panjang dari poros ke pusat massa bob (meter), dan \(g\) adalah percepatan gravitasi lokal (m/s²). Frekuensi alami adalah kebalikan dari periode: \( f = 1/T \), dan frekuensi sudut adalah \( \omega = 2\pi/T = \sqrt{g/L} \).

Mengapa Massa Tidak Penting

Jika Anda menulis hukum kedua Newton untuk bob pendulum (massa \(m\)) yang tergantung pada batang sepanjang \(L\) pada sudut \(\theta\), torsi pemulih gravitasi adalah \(-m g L \sin\theta\) dan momen inersia adalah \(m L^{2}\). Persamaan gerak:

\[ m L^{2} \ddot{\theta} \;=\; -m g L \sin\theta \quad\Rightarrow\quad \ddot{\theta} \;=\; -\dfrac{g}{L}\sin\theta. \]

Massa saling meniadakan. Dua pendulum dengan panjang identik berayun pada periode yang sama persis tidak peduli seberapa berat bob mereka. Namun, massa bob mempengaruhi energi kinetik dan potensial ayunan (dan tegangan pada batang) secara linear.

Sudut Kecil vs Periode Eksak

Rumus familiar \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) hanyalah suku utama dari sebuah deret. Periode eksak adalah

\[ T_{exact} \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\;\left(1 + \tfrac{1}{16}\theta_0^{\,2} + \tfrac{11}{3072}\theta_0^{\,4} + \tfrac{173}{737280}\theta_0^{\,6} + \dots\right) \]

di mana \(\theta_0\) adalah amplitudo setengah dalam radian. Perkiraan sudut kecil memprediksi periode lebih rendah sebesar:

Pendulum Detik

Menetapkan \(T = 2\) s (sehingga setiap setengah ayunan adalah satu detik) dan \(g = 9.80665\) m/s² memberikan panjang "pendulum detik" yang terkenal:

\[ L \;=\; \dfrac{g\,T^{2}}{4\pi^{2}} \;=\; \dfrac{9.80665 \cdot 4}{4\pi^{2}} \;\approx\; 0.9936 \text{ m}. \]

Ini adalah panjang desain dari setiap jam kakek dan pernah diusulkan sebagai standar meter internasional. Karena periode pendulum bergantung pada g lokal, pendulum detik yang dikalibrasi di London berdetak berbeda di khatulistiwa — secara historis inilah cara para geodesis memetakan bentuk Bumi.

Contoh Pengerjaan: Pendulum 1 m di Bumi

• Panjang \(L = 1.00\) m, gravitasi \(g = 9.80665\) m/s².
• \( T = 2\pi\sqrt{1 / 9.80665} = 2.0064\) s (sudut kecil).
• Frekuensi \( f = 1/T \approx 0.4984 \) Hz; frekuensi sudut \( \omega \approx 3.132 \) rad/s.
• Pada amplitudo 20°, periode eksaknya sekitar 2.022 s — 0.77% lebih lama.
• Jika massa bob adalah 0.5 kg dan θ₀ = 20°, tinggi maks adalah \( h = L(1 - \cos 20°) \approx 0.060\) m, puncak EK = puncak EP \(\approx 0.295\) J, dan kecepatan puncak \( v = \sqrt{2gh} \approx 1.087\) m/s.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa rumus periode pendulum sederhana?
Untuk ayunan kecil, \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \). Periodenya hanya bergantung pada panjang dan gravitasi lokal — tidak pada massa bob atau amplitudo (selama amplitudo itu kecil).

Apakah massa bob mempengaruhi periode?
Tidak. Massa hilang dari persamaan gerak. Bob 1 kg dan bob 100 g pada tali yang sama akan berayun pada kecepatan yang sama. Namun, massa mempengaruhi energi kinetik, energi potensial, dan tegangan tali.

Bagaimana planet mempengaruhi periode pendulum?
Periode berskala sebagai \(1/\sqrt{g}\). Pendulum 1 m yang berayun setiap 2.01 s di Bumi akan berayun setiap 4.93 s di Bulan (\(g \approx 1.62\)), dan setiap 1.26 s di Jupiter (\(g \approx 24.79\)). Tabel lintas planet di bagian hasil memberikan visualisasi yang konkret.

Mengapa periode bertambah dengan amplitudo ayunan yang besar?
Rumus sudut kecil \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) berasal dari penggantian \(\sin\theta\) dengan \(\theta\). Untuk sudut yang lebih besar, "gaya" pemulih lebih lemah daripada yang disarankan oleh perkiraan linear, sehingga bob menghabiskan lebih banyak waktu di dekat titik balik dan periodenya bertambah. Hasil eksak melibatkan integral eliptik lengkap jenis pertama.

Berapa panjang pendulum seharusnya untuk berayun sekali per detik?
Jika maksud Anda "sekali per detik" adalah \(T = 1\) s, Anda memerlukan \(L = g (T/2\pi)^2 \approx 0.0248\) m, yaitu sekitar 25 mm — cukup pendek! Pendulum "detik" 1 m sebenarnya memiliki periode 2 s karena "detik" historis mengacu pada setiap detak atau tok secara individual.

Bagaimana pendulum bisa mengukur gravitasi?
Ubah mode ke Cari g. Masukkan panjang dan periode yang diukur secara tepat — kalkulator akan mengembalikan \( g = 4\pi^2 L / T^2 \). Ini adalah dasar dari gravimeter pendulum klasik (dan eksperimen asli Galileo).

Apa perbedaan antara pendulum sederhana dan fisik?
Pendulum sederhana adalah massa titik yang diidealkan pada tali tanpa massa. Pendulum fisik (majemuk) adalah benda tegar nyata apa pun yang berayun di sekitar poros. Periodenya adalah \( T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)} \) di mana \(I\) adalah momen inersia terhadap poros dan \(d\) adalah jarak dari poros ke pusat massa. Rumus pendulum sederhana adalah batas ketika semua massa terkonsentrasi pada satu titik.