Aljabar Linear

Selesaikan sistem linear dengan dua atau tiga variabel menggunakan determinan di Kalkulator Aturan Cramer MiniWebtool. Koefisien dan konstanta menghasilkan langkah penggantian kolom dan rasio determinan ketika sistem memiliki solusi tunggal.

Sebagian matriks tidak dapat didiagonalkan, tetapi dapat dinyatakan melalui blok Jordan. Kalkulator Bentuk Normal Jordan MiniWebtool menghitung J dan matriks transisi P, menjelaskan rantai vektor eigen tergeneralisasi, serta menampilkan struktur blok.

Faktorkan matriks simetris definit positif sebagai A = LLᵀ dengan Kalkulator Dekomposisi Cholesky MiniWebtool. Faktor segitiga bawah dibentuk langkah demi langkah, lalu dikalikan dengan transposenya untuk memverifikasi rekonstruksi masukan.

Kalkulator Dekomposisi LU Matriks MiniWebtool memfaktorkan matriks persegi hingga 8×8 menggunakan pivot parsial. Matriks bawah, atas, dan permutasi menunjukkan bagaimana eliminasi dan pertukaran baris merekonstruksi sistem asli.

Kalkulator Dekomposisi Nilai Singular (SVD) MiniWebtool memfaktorkan matriks riil hingga 10×10 menjadi U, Sigma, dan transpos V, disertai rank dan bilangan kondisi untuk menilai struktur numeriknya.

Kalkulator Dekomposisi QR MiniWebtool menggunakan ortogonalisasi Gram-Schmidt untuk memfaktorkan matriks yang didukung berukuran 2×2 hingga 5×5 menjadi Q dan R. Langkah animasi menjelaskan proyeksi, sedangkan pemeriksaan ortogonalitas membandingkan QᵀQ dengan matriks identitas.

Kalkulator Determinan MiniWebtool menghitung matriks persegi dan menjelaskan ekspansi kofaktor di balik hasilnya. Masukkan matriks untuk memeriksa determinan dan maknanya bagi sifat seperti singularitas.

Lakukan diagonalisasi pada matriks persegi dengan Kalkulator Diagonalisasi Matriks MiniWebtool: hitung nilai eigen, vektor eigen, dan dekomposisi A = PDP⁻¹. Mendukung matriks 2×2 hingga 5×5 dengan penyelesaian langkah demi langkah, polinom karakteristik, analisis multiplisitas, dan visualisasi interaktif.

Gunakan eksponensial matriks untuk memeriksa sistem diferensial linear. Kalkulator Eksponensial Matriks MiniWebtool menghitung e^(At) dan dapat menerapkannya pada vektor awal, dengan detail metode numerik serta visualisasi aliran bidang fase.

Ikuti setiap proyeksi dalam proses Gram-Schmidt melalui Kalkulator Gram-Schmidt MiniWebtool. Masukkan vektor yang bebas linear untuk memperoleh basis ortogonal dan ortonormal, dengan perhitungan antara serta pemeriksaan hubungan antarvektor hasil.

Hitung magnitudo, atau norma Euclidean, vektor 2D, 3D, atau n-dimensi dengan Kalkulator Magnitudo Vektor MiniWebtool. Dapatkan perhitungan langkah demi langkah yang menunjukkan setiap komponen kuadrat, jumlah di bawah tanda akar, dan akar kuadrat akhirnya, disertai diagram vektor.

Kerjakan operasi matriks umum dengan Kalkulator Matriks MiniWebtool. Perhitungan penjumlahan, pengurangan, perkalian, transpose, determinan, dan invers disertai tampilan matriks terstruktur serta langkah yang menjelaskan cara memperoleh setiap entri.

Temukan invers matriks persegi 2×2 hingga 6×6 dengan Kalkulator Invers Matriks MiniWebtool. Proses Gauss-Jordan dan determinan menjelaskan kemampuan invers, sedangkan perkalian dengan hasilnya memeriksa matriks identitas.

Kalkulator Matriks Jacobian MiniWebtool menyusun turunan parsial fungsi bernilai vektor ke dalam matriks. Masukkan hingga enam komponen dan variabel untuk melihat langkah perhitungan, dengan kalkulasi determinan dan nilai eigen jika berlaku.

Temukan arah invarian matriks dengan Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen MiniWebtool. Matriks 2×2 atau 3×3 menghasilkan nilai eigen dan vektor eigen terkait, disertai langkah polinomial karakteristik dan geometri transformasi.

Kalkulator Pangkat Matriks MiniWebtool memangkatkan matriks persegi ke eksponen bilangan bulat pilihan. Perhitungan antara dan konteks sifat matriks membantu menjelaskan perkalian berulang; pangkat negatif memerlukan matriks yang dapat diinvers.

Uraikan ekspresi rasional menjadi suku-suku yang lebih sederhana dengan Kalkulator Dekomposisi Pecahan Parsial MiniWebtool. Perhitungan koefisien dan perincian visual menjelaskan cara pecahan-pecahan tersebut digabungkan kembali untuk menghasilkan fungsi semula.

Ikuti perhitungan hasil kali titik untuk setiap pasangan baris dan kolom dengan Kalkulator Perkalian Matriks MiniWebtool. Masukkan dua matriks yang ukurannya sesuai hingga 5×5 untuk melihat hasil perkalian dan perhitungan masing-masing entri.

Kalkulator Hasil Kali Silang MiniWebtool mencari vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor 3D. Komponen menghasilkan hasil kali silang, magnitudo, dan sudut terkait, dengan uraian determinan dan diagram yang dapat diputar untuk memverifikasi ketegaklurusan.

Kalkulator Hasil Kali Titik MiniWebtool menjumlahkan hasil kali pasangan komponen vektor dalam dimensi 2D, 3D, atau lebih tinggi. Hasil skalar disertai magnitudo, sudut, dan proyeksi jika terdefinisi, dengan langkah perhitungan dan diagram vektor.

Hitung det(λI − A) dengan Kalkulator Polinomial Karakteristik MiniWebtool. Matriks persegi dari 2×2 hingga 6×6 menghasilkan bentuk polinomial yang diuraikan dan difaktorkan, nilai eigen beserta multiplisitasnya, serta langkah perhitungan matriks.

Hitung hasil kali Kronecker dengan Kalkulator Hasil Kali Tensor MiniWebtool. Dua matriks persegi panjang menghasilkan jawaban pecahan eksak, dengan visualisasi blok demi blok dan keluaran yang dapat disalin untuk menjelaskan perluasan setiap entri terhadap matriks kedua.

Hitung proyeksi vektor dan proyeksi skalar satu vektor pada vektor lainnya dengan Kalkulator Proyeksi Vektor MiniWebtool. Mendukung vektor 2D dan 3D dengan rumus langkah demi langkah, diagram interaktif, dan dekomposisi ortogonal.

Tentukan jumlah baris atau kolom independen dengan Kalkulator Rank Matriks MiniWebtool. Alat ini menangani matriks hingga 10×10 dan menampilkan proses bentuk eselon baris bersama dimensi ruang kolom dan ruang nol.

Ikuti reduksi matriks di Kalkulator RREF (Bentuk Eselon Baris Tereduksi) MiniWebtool. Setiap pivot, pertukaran baris, dan eliminasi menghasilkan bentuk eselon baris tereduksi, dengan informasi rank, nulitas, dan solusi untuk matriks augmented.

Temukan rentang matriks dengan Kalkulator Ruang Kolom MiniWebtool. Reduksi baris mengidentifikasi kolom pivot, lalu kolom asli yang bersesuaian membentuk basis; rank, nulitas, dan operasi langkah demi langkah menjelaskan hasilnya.

Kalkulator Ruang Nol MiniWebtool mencari basis bagi semua vektor yang memenuhi Ax = 0. Eliminasi baris dengan pecahan eksak menampilkan variabel bebas, sedangkan nulitas dan pemeriksaan teorema rank-nulitas menghubungkan himpunan solusi dengan dimensi matriks.

Hitung sudut antara dua vektor 2D atau 3D dengan Kalkulator Sudut Antara Vektor MiniWebtool menggunakan rumus hasil kali titik cos(θ) = (a·b)/(|a||b|). Dapatkan penyelesaian langkah demi langkah, hasil dalam derajat dan radian, diagram vektor interaktif, serta interpretasi geometris.

Trace adalah jumlah sepanjang diagonal utama matriks persegi. Kalkulator Trace Matriks MiniWebtool menyoroti entri tersebut untuk matriks hingga 10×10 dan membandingkan jumlahnya dengan jumlah nilai eigen.

Kalkulator Vektor MiniWebtool adalah alat daring gratis dengan penyelesaian langkah demi langkah untuk hasil kali titik, hasil kali silang, magnitudo, vektor satuan, sudut antarvektor, proyeksi, dan lainnya, disertai visualisasi 3D interaktif.

Kalkulator Vektor Satuan MiniWebtool menormalkan vektor bukan nol dengan membaginya berdasarkan magnitudo. Masukkan dua, tiga, atau hingga 50 komponen untuk melihat vektor satuan dan informasi sudut arah yang berlaku.