Sejak 2010 · Mendukung 2 juta+ penggunaan alat setiap bulan
Sejak 2010
Tambahkan ke Chrome

Kotak Alat Saya

Mode Otomatis

Belum ada alat yang disimpan.

Tingkatkan ke Versi Premium
Alat terkait
Kalkulator Volume RevolusiKalkulator Integral PermukaanKalkulator Luas Permukaan Kerucut Presisi TinggiPlotter Permukaan 3DKalkulator Laju Perubahan Rata-rataKalkulator Metode NewtonKalkulator Transformasi Laplace Invers
Beranda > Matematika > Kalkulus
 

Kalkulator Permukaan Revolusi

Hitung luas permukaan benda putar. Masukkan fungsi f(x) apa pun, tetapkan batas integrasi dan sumbu rotasi, dan dapatkan solusi langkah demi langkah dengan visualisasi 3D interaktif menggunakan rumus luas permukaan cakram dan kulit tabung.

Gratis digunakanTidak perlu mendaftarHasil instan
Kalkulator Permukaan RevolusiCoba sekarang — gratis ▼
Coba:
Pratinjau Kurva
📐 Fungsi
Mendukung: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e
📏 Batas Integrasi
🔄 Sumbu Rotasi
Garis sumbu tempat kurva diputar

Embed Kalkulator Permukaan Revolusi Widget

Tentang Kalkulator Permukaan Revolusi

Kalkulator Permukaan Revolusi menghitung luas permukaan benda padat 3D yang dihasilkan dengan memutar kurva 2D di sekitar sumbu. Ini adalah konsep dasar dalam kalkulus integral dengan aplikasi dalam teknik, fisika, dan desain. Cukup masukkan fungsi Anda, atur batas integrasi dan sumbu rotasi, dan dapatkan solusi langkah demi langkah dengan visualisasi 3D interaktif.

Memahami Permukaan Revolusi

Ketika sebuah kurva \( y = f(x) \) diputar di sekitar sebuah sumbu, ia membentuk permukaan dalam ruang tiga dimensi. Luas permukaan benda padat ini dihitung menggunakan integral tentu yang memperhitungkan jari-jari rotasi dan panjang busur kurva tersebut.

⟲
Rotasi di Sekitar Sumbu-x
Kurva membentuk lingkaran dengan jari-jari |f(x)|. Luas permukaan: \( S = 2\pi \int_a^b |f(x)|\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx \)
⟳
Rotasi di Sekitar Sumbu-y
Kurva membentuk lingkaran dengan jari-jari |x|. Luas permukaan: \( S = 2\pi \int_a^b |x|\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx \)
↔
Sumbu Kustom (y = k)
Geser jari-jari menjadi |f(x) − k|. Berguna untuk memutar kurva yang berjarak dari sumbu standar.
📐
Elemen Panjang Busur
Faktor \( ds = \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx \) mengukur panjang sebenarnya di sepanjang kurva, bukan hanya jarak horizontal.

Penjelasan Rumus Luas Permukaan

Rumus umum untuk luas permukaan revolusi adalah:

$$S = 2\pi \int_a^b r(x) \, ds$$

di mana \( r(x) \) adalah jarak dari kurva ke sumbu rotasi, dan \( ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx \) adalah diferensial panjang busur. Faktor \( 2\pi r(x) \) mewakili keliling lingkaran yang dibentuk oleh setiap titik pada kurva, sementara \( ds \) memastikan kita mengukur di sepanjang permukaan kurva yang sebenarnya, bukan hanya proyeksi datar.

Perbedaan Utama: Luas Permukaan vs Volume Revolusi

PropertiLuas PermukaanVolume
Apa yang diukurLuas kulit luar/selubungRuang interior
Faktor kunciPanjang busur: \( \sqrt{1+[f'(x)]^2} \)Tidak ada (integran lebih sederhana)
Rumus sumbu-x\( 2\pi\int|f(x)|\sqrt{1+[f']^2}\,dx \)\( \pi\int[f(x)]^2\,dx \)
Tingkat KesulitanSeringkali lebih sulit secara analitisBiasanya lebih mudah
Analogi catJumlah cat yang dibutuhkanJumlah air untuk mengisi

Permukaan Revolusi Umum

PermukaanKurva PembentukLuas Permukaan
Bola (jari-jari r)\( f(x) = \sqrt{r^2 - x^2} \), [−r, r]\( 4\pi r^2 \)
Kerucut (jari-jari r, tinggi h)\( f(x) = \frac{r}{h}x \), [0, h]\( \pi r\sqrt{r^2+h^2} \)
Silinder (jari-jari r, tinggi h)\( f(x) = r \), [0, h]\( 2\pi rh \)
Paraboloid\( f(x) = x^2 \), [0, a]\( \frac{\pi}{6}[(1+4a^2)^{3/2}-1] \)
Terompet Gabriel\( f(x) = 1/x \), [1, ∞)Tak terhingga! (volume terbatas)

Cara Menggunakan Kalkulator Permukaan Revolusi

  1. Masukkan fungsi Anda — Ketik fungsi x apa pun menggunakan notasi standar: x^2, sqrt(x), sin(x), exp(x), ln(x), atau kombinasinya.
  2. Atur batas integrasi — Masukkan batas bawah (a) and batas atas (b) untuk interval tersebut. Kurva dari x = a ke x = b akan diputar.
  3. Pilih sumbu rotasi — Pilih sumbu-x, sumbu-y, atau sumbu kustom. Sumbu menentukan jari-jari yang digunakan dalam integral.
  4. Hitung dan tinjau — Klik Hitung untuk melihat luas permukaan dengan rumus MathJax langkah demi langkah, visualisasi wireframe 3D, dan perbandingan antara kedua sumbu rotasi.

Aplikasi Praktis

Perhitungan luas permukaan revolusi sangat penting dalam:

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu permukaan revolusi?

Permukaan revolusi adalah permukaan 3D yang dibuat dengan memutar kurva 2D di sekitar sumbu tetap. Contoh umum termasuk bola (memutar setengah lingkaran), kerucut (memutar garis), dan torus (memutar lingkaran yang berjarak dari sumbu). Luas permukaannya dihitung menggunakan kalkulus integral.

Apa rumus luas permukaan revolusi di sekitar sumbu-x?

Saat memutar \( f(x) \) di sekitar sumbu-x dari \( a \) ke \( b \), luas permukaannya adalah \( S = 2\pi \int_a^b |f(x)| \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx \). Faktor \( \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \) adalah elemen panjang busur \( ds \), yang memperhitungkan kemiringan kurva.

Apa perbedaan antara luas permukaan dan volume revolusi?

Volume revolusi mengukur ruang di dalam benda padat yang dihasilkan oleh rotasi, sedangkan luas permukaan mengukur kulit luar. Volume menggunakan metode cakram/cincin/kulit dengan integran yang lebih sederhana, sedangkan luas permukaan memerlukan faktor panjang busur \( \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \), yang umumnya lebih sulit dihitung secara analitis.

Kapan saya harus memutar di sekitar sumbu-y alih-alih sumbu-x?

Putar di sekitar sumbu-y jika Anda menginginkan permukaan yang membungkus sumbu vertikal, seperti bentuk vas atau mangkuk. Rumusnya menjadi \( S = 2\pi \int_a^b |x| \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx \). Pilihan sumbu mengubah jari-jari rotasi dari \( f(x) \) menjadi \( x \).

Fungsi apa saja yang didukung oleh kalkulator permukaan revolusi ini?

Kalkulator ini mendukung polinomial seperti x^2 dan x^3, fungsi trigonometri (sin, cos, tan), fungsi eksponensial dan logaritmik (exp, ln, log), akar kuadrat (sqrt), nilai mutlak (abs), dan kombinasi dengan operator aritmatika standar. Gunakan x sebagai variabel.

Apa itu Terompet Gabriel dan mengapa itu istimewa?

Terompet Gabriel adalah permukaan yang terbentuk dengan memutar \( f(x) = 1/x \) untuk \( x \geq 1 \) di sekitar sumbu-x. Ia memiliki sifat paradoks karena memiliki volume yang terbatas (\( \pi \)) tetapi luas permukaan yang tak terbatas. Ini berarti Anda bisa mengisinya dengan cat, tetapi tidak pernah bisa mengecat bagian luarnya — sebuah hasil terkenal dalam matematika yang dikenal sebagai Paradoks Pelukis.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Permukaan Revolusi" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-permukaan-revolusi/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 2026-04-04

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Kalkulus:

Alat populer dan terbaru:

Kalkulator Luas Permukaan Prisma Persegi Panjang Presisi TinggiKalkulator Luas PermukaanKalkulator Luas Permukaan Silinder Presisi TinggiLihat semua →
Beranda > Matematika > Kalkulus > Kalkulator Permukaan Revolusi