Kalkulator Kelengkungan

Masukkan y=f(x) atau kurva parametrik dan sebuah titik untuk mendapat kelengkungan, jari-jari kelengkungan, dan lingkaran oskulasi, beserta langkah turunannya.

Gratis 3× per hariTidak perlu mendaftarDiperbarui Feb 2026

Kalkulator KelengkunganCoba sekarang — gratis ▼

Contoh cepat — klik untuk mencoba:

y = x²pada x=1 y = sin(x)pada x=π/2 y = eˣpada x=0 Lingkarancos(t), sin(t) Elips2cos(t), sin(t) y = x³−3xpada x=0

Jenis Kurva

Fungsi f(x)

Gunakan ** untuk pangkat, sin, cos, exp, sqrt, log, pi

Evaluasi pada x =

Angka atau ekspresi seperti pi/4, sqrt(2)

Tip: Gunakan ^ atau ** untuk pangkat. Perkalian implisit didukung: 2x = 2*x. Konstanta: pi, e.

Embed Kalkulator Kelengkungan Widget

Tentang Kalkulator Kelengkungan

Selamat datang di Kalkulator Kelengkungan, alat kalkulus canggih yang menghitung kelengkungan (κ) sebuah kurva pada titik mana pun. Baik Anda memiliki fungsi eksplisit y = f(x) atau kurva parametrik yang ditentukan oleh x(t) dan y(t), kalkulator ini menyediakan hasil simbolik eksak, perhitungan turunan langkah demi langkah, jari-jari kelengkungan, dan visualisasi yang menampilkan lingkaran oskulasi — lingkaran yang paling mendekati kurva pada titik yang Anda pilih.

Apa itu Kelengkungan?

Kelengkungan (κ) mengukur seberapa tajam sebuah kurva berbelok pada titik tertentu. Secara intuitif, ini mengukur laju perubahan arah garis singgung saat Anda bergerak di sepanjang kurva. Garis lurus memiliki kelengkungan nol di mana-mana, sedangkan tikungan tajam memiliki kelengkungan tinggi.

➖

Garis Lurus

κ = 0 di mana-mana. Tidak ada lengkungan sama sekali.

⭕

Lingkaran (jari-jari r)

κ = 1/r konstan. Lingkaran lebih kecil → kelengkungan lebih tinggi.

〰️

Kurva Umum

κ bervariasi di sepanjang kurva. Tikungan lebih tajam = κ lebih tinggi.

Rumus Kelengkungan

Untuk Fungsi Eksplisit y = f(x)

Kelengkungan y = f(x)

$$\kappa = \frac{|f''(x)|}{\left(1 + (f'(x))^2\right)^{3/2}}$$

Di mana:

f'(x) = turunan pertama (kemiringan garis singgung)
f''(x) = turunan kedua (laju perubahan kemiringan)

Untuk Kurva Parametrik x(t), y(t)

Kelengkungan Kurva Parametrik

$$\kappa = \frac{|x'\,y'' - y'\,x''|}{\left((x')^2 + (y')^2\right)^{3/2}}$$

Di mana aksen melambangkan turunan terhadap parameter t.

Jari-jari Kelengkungan

$$R = \frac{1}{\kappa}$$

Jari-jari kelengkungan R adalah kebalikan dari kelengkungan. Ini sama dengan jari-jari lingkaran oskulasi — lingkaran unik yang paling mendekati kurva pada titik tertentu.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

Pilih jenis kurva: Pilih "y = f(x)" untuk fungsi eksplisit atau "x(t), y(t)" untuk kurva parametrik.
Masukkan fungsi: Ketik ekspresi Anda menggunakan notasi matematika standar. Gunakan ** untuk eksponen, sin, cos, exp, log, sqrt, pi, dll.
Tentukan titik: Masukkan nilai x (atau nilai t untuk parametrik) di mana Anda ingin menghitung kelengkungan.
Klik Hitung: Lihat kelengkungan κ, jari-jari kelengkungan R, perhitungan langkah demi langkah, dan visualisasi lingkaran oskulasi.

Memahami Hasil

Kelengkungan (κ): Hasil utama — seberapa tajam kurva melengkung pada titik tersebut. Selalu non-negatif.
Jari-jari Kelengkungan (R): Jari-jari lingkaran oskulasi. R = 1/κ. R yang lebih besar berarti lengkungan yang lebih landai.
Lingkaran Oskulasi: Lingkaran putus-putus berwarna hijau pada plot yang paling mendekati kurva secara lokal. Pusatnya terletak pada sisi cekung kurva.
Perhitungan Langkah demi Langkah: Perhitungan turunan lengkap yang menunjukkan bagaimana κ diperoleh.

Nilai Kelengkungan Umum

Kurva	Kelengkungan κ	Jari-jari R
Garis lurus y = mx + b	0	∞
Lingkaran berjari-jari r	1/r	r
y = x² pada x = 0	2	0.5
y = sin(x) pada x = 0	0	∞
y = sin(x) pada x = π/2	1	1
y = eˣ pada x = 0	1/(2√2) ≈ 0.354	2√2 ≈ 2.828

Lingkaran Oskulasi

Lingkaran oskulasi (dari bahasa Latin osculare, "mencium") pada titik P di sebuah kurva adalah lingkaran yang:

Melewati P
Memiliki arah singgung yang sama dengan kurva di P
Memiliki kelengkungan yang sama dengan kurva di P

Ini adalah pendekatan lingkaran terbaik untuk kurva di dekat titik tersebut. Pusat lingkaran oskulasi disebut pusat kelengkungan, dan selalu terletak di sisi cekung kurva, di sepanjang vektor normal satuan.

Aplikasi Kelengkungan

Desain Jalan dan Jalur Kereta Api

Insinyur menggunakan kelengkungan untuk merancang jalan dan lintasan kereta api. Kelengkungan maksimum menentukan jari-jari putaran minimum, yang memengaruhi kecepatan berkendara yang aman. Kurva transisi (clothoid) menyediakan transisi mulus antara bagian lurus dan melengkung dengan mengubah kelengkungan secara linier.

Grafik Komputer dan CAD

Dalam desain berbantuan komputer (CAD), kontinuitas kelengkungan (kontinuitas G2) memastikan permukaan tampak halus. Sisir kelengkungan (curvature combs) memvisualisasikan bagaimana kelengkungan bervariasi di sepanjang kurva, membantu desainer menciptakan bentuk yang estetis untuk mobil, pesawat, dan produk konsumen.

Optik dan Desain Lensa

Kelengkungan permukaan lensa menentukan panjang fokus dan sifat optiknya. Persamaan pembuat lensa (lensmaker's equation) secara langsung menghubungkan kelengkungan permukaan dengan daya lensa.

Fisika: Gerak Partikel

Dalam fisika, kelengkungan berkaitan dengan percepatan sentripetal. Sebuah partikel yang bergerak sepanjang lintasan melengkung dengan kecepatan v mengalami percepatan sentripetal a = κv², yang tegak lurus dengan arah kecepatan.

Geometri Diferensial

Kelengkungan adalah konsep fundamental dalam geometri diferensial. Untuk permukaan, kelengkungan Gaussian (hasil kali kelengkungan utama) menentukan apakah suatu permukaan secara lokal berbentuk bola, pelana, atau datar. Ini meluas hingga ke relativitas umum, di mana kelengkungan ruang-waktu mendeskripsikan gravitasi.

Panduan Notasi Input

Operasi	Notasi	Contoh
Pangkat	`**` atau `^`	`x**3` atau `x^3`
Akar kuadrat	`sqrt()`	`sqrt(x)`
Fungsi trigonometri	`sin, cos, tan`	`sin(x), cos(2*t)`
Trigonometri invers	`asin, acos, atan`	`atan(x)`
Eksponensial	`exp()`	`exp(-x**2)`
Logaritma natural	`log()` atau `ln()`	`log(x)`
Konstanta	`pi`, `e`	`pi/4`, `e**x`
Perkalian	`*` (atau implisit)	`2*x` atau `2x`

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu kelengkungan dalam kalkulus?

Kelengkungan (κ) adalah ukuran seberapa tajam suatu kurva berbelok pada titik tertentu. Garis lurus memiliki kelengkungan nol, sedangkan lingkaran dengan jari-jari r memiliki kelengkungan konstan κ = 1/r. Untuk fungsi y=f(x), rumusnya adalah κ = |f''(x)| / (1 + (f'(x))²)^(3/2).

Bagaimana cara menghitung kelengkungan kurva parametrik?

Untuk kurva parametrik yang didefinisikan oleh x(t) dan y(t), rumus kelengkungannya adalah κ = |x'y'' - y'x''| / ((x')² + (y')²)^(3/2). Ini memerlukan perhitungan turunan pertama dan kedua dari x(t) dan y(t) terhadap parameter t.

Apa itu lingkaran oskulasi?

Lingkaran oskulasi pada suatu titik di kurva adalah lingkaran yang paling mendekati kurva di titik tersebut. Jari-jarinya sama dengan jari-jari kelengkungan R = 1/κ, dan pusatnya terletak pada garis normal kurva di titik tersebut, di sisi yang cekung.

Apa itu jari-jari kelengkungan?

Jari-jari kelengkungan R adalah kebalikan dari kelengkungan: R = 1/κ. Ini mewakili jari-jari lingkaran oskulasi. Jari-jari yang besar berarti kurva melengkung landai, sedangkan jari-jari kecil berarti kurva melengkung tajam.

Apa arti kelengkungan nol?

Kelengkungan nol pada suatu titik berarti kurva tersebut secara lokal adalah garis lurus — tidak ada lengkungan. Turunan kedua f''(x) sama dengan nol pada titik tersebut (untuk kurva eksplisit). Jari-jari kelengkungan tidak terhingga, yang berarti lingkaran oskulasi berubah menjadi garis lurus.

Bisakah kelengkungan bernilai negatif?

Dalam rumus kelengkungan skalar standar, kelengkungan κ selalu non-negatif karena adanya nilai mutlak di pembilang. Namun, kelengkungan bertanda (tanpa nilai mutlak) bisa positif atau negatif, menunjukkan apakah kurva berbelok ke kiri atau ke kanan. Kalkulator ini menghitung kelengkungan tak bertanda (non-negatif).

Sumber Tambahan

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Kelengkungan" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-kelengkungan/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 18 Feb 2026

API developer tersedia: Jalankan alat ini dari aplikasi, otomatisasi, atau agen Anda dengan satu permintaan HTTP JSON. Lihat dokumentasi API

Kalkulus:

Kalkulator Laju Perubahan Rata-rata Baru
Penyelesai ODE Bernoulli Baru
Kalkulator Konvolusi
Kalkulator cURL Baru
Kalkulator Kelengkungan
Kalkulator Turunan
Plotter Medan Arah / Medan Kemiringan Baru
Kalkulator Turunan Arah
Kalkulator Divergensi Baru
Kalkulator Integral Ganda
Kalkulator Metode Euler Baru
Kalkulator Transformasi Fourier Cepat (FFT) Baru
Penyelesai ODE Orde Pertama Baru
Kalkulator Koefisien Deret Fourier
Kalkulator Gradien Multivariabel Baru
Kalkulator Turunan Implisit
Kalkulator Integral Tak Wajar Baru
Kalkulator Jumlah Deret Tak Hingga Baru
Kalkulator Laju Perubahan Sesaat Baru
Kalkulator Integral
Kalkulator Transformasi Laplace Invers
Kalkulator Aturan L'Hôpital Baru
Kalkulator Transformasi Laplace
Kalkulator Limit
Kalkulator Integral Garis Baru
Kalkulator Deret Maclaurin Baru
Kalkulator Metode Newton Baru
Kalkulator Integrasi Numerik Baru
Kalkulator Optimasi Kalkulus Baru
Kalkulator Turunan Parsial
Kalkulator Deret Pangkat Baru
Kalkulator Radius Konvergensi
Kalkulator Laju Terkait Baru
Kalkulator Jumlah Riemann Baru
Kalkulator Metode Runge-Kutta (RK4)
Penyelesai ODE Orde Kedua Baru
Kalkulator Uji Konvergensi Deret Baru
Kalkulator Aturan Simpson Baru
Kalkulator Turunan Satu Variabel
Kalkulator Integral Permukaan Baru
Kalkulator Permukaan Revolusi Baru
Pemecah Sistem ODE Baru
Kalkulator Deret Taylor
Kalkulator Aturan Trapesium Baru
Kalkulator Integral Tiga Kali
Kalkulator Volume Revolusi Baru
Kalkulator Wronskian
Kalkulator Transformasi Z Baru