Sejak 2010 · Mendukung 2 juta+ penggunaan alat setiap bulan
Sejak 2010
Tambahkan ke Chrome

Kotak Alat Saya

Mode Otomatis

Belum ada alat yang disimpan.

Tingkatkan ke Versi Premium
Alat terkait
Kalkulator Deret PangkatKalkulator Uji Konvergensi DeretKalkulator Koefisien Deret FourierKalkulator Jumlah Deret Tak HinggaKalkulator Deret TaylorKalkulator Radius KonvergensiKalkulator Laju Perubahan Sesaat
Beranda > Matematika > Kalkulus
 

Kalkulator Deret Maclaurin

Hitung ekspansi deret Maclaurin fungsi umum di x = 0. Dapatkan suku polinomial orde-n, estimasi sisa Lagrange, radius konvergensi dan grafik beranimasi jumlah parsial yang mendekati fungsinya.

Gratis digunakanTidak perlu mendaftarHasil instan
Kalkulator Deret MaclaurinCoba sekarang — gratis ▼
Contoh:
RUMUS DERET MACLAURIN
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$
Pilih fungsi untuk diperluas
0 hingga 20
Periksa kesalahan perkiraan

Embed Kalkulator Deret Maclaurin Widget

Tentang Kalkulator Deret Maclaurin

Kalkulator Deret Maclaurin menghitung ekspansi deret Maclaurin dari fungsi matematika umum yang berpusat di x = 0. Alat ini menghasilkan perkiraan polinomial orde ke-n, menampilkan tabel koefisien lengkap, memberikan estimasi sisa Lagrange untuk analisis kesalahan, menunjukkan jari-jari konvergensi, dan menyertakan grafik animasi interaktif yang memvisualisasikan bagaimana jumlah parsial secara progresif konvergen ke fungsi aslinya.

Ekspansi Deret Maclaurin Umum

ℯ
eˣ
1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
∿
sin(x)
x − x³/3! + x⁵/5! − ...
∾
cos(x)
1 − x²/2! + x⁴/4! − ...
㏑
ln(1+x)
x − x²/2 + x³/3 − ...
∡
arctan(x)
x − x³/3 + x⁵/5 − ...
∞
1/(1−x)
1 + x + x² + x³ + ...

Rumus Kunci

KonsepRumusDeskripsi
Deret Maclaurin\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\)Deret Taylor pada a = 0
Koefisien ke-n\(a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\)Koefisien dari xⁿ
Sisa Lagrange\(|R_n(x)| \leq \frac{M |x|^{n+1}}{(n+1)!}\)Batas atas kesalahan pemotongan
Jari-jari Konvergensi\(R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}}\)Rentang di mana deret konvergen

Memahami Deret Maclaurin

Deret Maclaurin merepresentasikan sebuah fungsi sebagai polinomial tak terhingga dengan menggunakan informasi tentang turunan fungsi tersebut pada x = 0. Suku ke-nol hanyalah f(0), suku orde pertama menangkap kemiringan f'(0), suku orde kedua menangkap kelengkungan f''(0)/2!, dan seterusnya. Setiap suku tambahan menyempurnakan perkiraan, menyesuaikan satu lagi turunan pada titik asal. Di dalam jari-jari konvergensi, jumlah tak terhingga tersebut sama persis dengan fungsinya.

Cara Menggunakan Kalkulator Deret Maclaurin

  1. Pilih fungsi: Pilih dari dropdown (misal: sin(x), eˣ, ln(1+x)) atau klik tombol contoh cepat untuk mengisi formulir secara otomatis.
  2. Masukkan jumlah suku: Tentukan n (0 hingga 20) untuk orde polinomial. n yang lebih tinggi memberikan akurasi yang lebih baik tetapi lebih banyak suku.
  3. Masukkan nilai x (opsional): Ketik angka untuk mengevaluasi polinomial dan membandingkannya dengan nilai fungsi yang tepat, lengkap dengan analisis kesalahan.
  4. Klik Perluas Deret: Tekan tombol untuk menghitung ekspansi Maclaurin secara instan.
  5. Jelajahi hasil: Tinjau rumus polinomial, tabel koefisien, dan penurunan langkah demi langkah. Gunakan slider atau tombol Animasi pada grafik konvergensi untuk melihat bagaimana penambahan suku secara progresif memperkirakan fungsi.

Maclaurin vs. Taylor Series

Deret Taylor digeneralisasi untuk perkiraan polinomial pada titik pusat a mana pun: \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\). Deret Maclaurin adalah kasus khusus di mana a = 0, menyederhanakan rumusnya menjadi \(f(x) = \sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\). Meskipun deret Taylor dapat dipusatkan di mana saja untuk meningkatkan konvergensi di dekat titik tertentu, deret Maclaurin sering kali lebih disukai untuk fungsi dengan turunan sederhana di nol, seperti sin(x), cos(x), dan eˣ.

Konvergensi dan Jari-jari Konvergensi

Setiap deret pangkat memiliki jari-jari konvergensi R. Untuk |x| < R deret tersebut konvergen mutlak; untuk |x| > R deret tersebut divergen. Beberapa deret (seperti eˣ, sin(x), cos(x)) konvergen untuk semua x riil, sehingga R = ∞. Yang lainnya (seperti ln(1+x), 1/(1−x), arctan(x)) memiliki R = 1, yang berarti mereka hanya konvergen dalam interval (−1, 1) atau [−1, 1]. Grafik interaktif menunjukkan batas jari-jari konvergensi sebagai garis putus-putus merah.

Sisa Lagrange dan Batas Kesalahan

Sisa Lagrange \(R_n(x)\) mengukur kesalahan pemotongan saat menggunakan n+1 suku pertama. Batasnya adalah \(|R_n(x)| \leq \frac{M |x|^{n+1}}{(n+1)!}\), di mana M adalah nilai maksimum dari \(|f^{(n+1)}(t)|\) pada interval [0, x]. Untuk fungsi seperti eˣ dan sin(x), di mana semua turunannya terbatas, ini memberikan jaminan akurasi yang ketat. Pertumbuhan faktorial pada penyebut berarti kesalahan berkurang dengan cepat seiring bertambahnya n.

FAQ

Apa itu deret Maclaurin?
Deret Maclaurin adalah ekspansi deret Taylor dari suatu fungsi yang berpusat di x = 0. Ini merepresentasikan sebuah fungsi sebagai jumlah tak terhingga dari suku-suku: f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + ... Setiap suku melibatkan turunan tingkat tinggi dari fungsi yang dievaluasi pada nol, dibagi dengan faktorial yang sesuai.
Apa perbedaan antara deret Maclaurin dan deret Taylor?
Deret Maclaurin adalah kasus khusus dari deret Taylor di mana titik ekspansinya adalah a = 0. Deret Taylor dapat berpusat di titik a mana pun, menggunakan rumus f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ/n!. Ketika a = 0, deret Taylor menjadi deret Maclaurin. Deret Maclaurin lebih sederhana karena suku (x−a)ⁿ berkurang menjadi hanya xⁿ.
Apa itu jari-jari konvergensi?
Jari-jari konvergensi R adalah jarak dari pusat (x = 0 untuk deret Maclaurin) di mana deret tersebut konvergen ke nilai fungsi sebenarnya. Untuk |x| < R, deret tersebut konvergen; untuk |x| > R, deret tersebut divergen. Beberapa deret seperti eˣ, sin(x), dan cos(x) konvergen untuk semua bilangan real (R = ∞), sementara yang lain seperti ln(1+x) dan 1/(1−x) memiliki R = 1.
Bagaimana sisa Lagrange digunakan?
Sisa Lagrange R_n(x) memberikan batas atas kesalahan saat memperkirakan f(x) dengan n+1 suku pertama. Rumusnya adalah |R_n(x)| ≤ M × |x|^(n+1) / (n+1)!, di mana M adalah nilai maksimum dari |f^(n+1)(t)| untuk t di antara 0 dan x. Sisa yang lebih kecil berarti perkiraan yang lebih baik. Ini sangat penting dalam analisis numerik untuk menjamin presisi.
Mengapa beberapa deret Maclaurin hanya memiliki pangkat ganjil atau genap?
Hal ini terjadi karena simetri fungsi. Fungsi ganjil seperti sin(x) dan arctan(x) memenuhi f(−x) = −f(x), sehingga semua turunan tingkat genapnya pada 0 adalah nol, menyisakan hanya pangkat ganjil. Fungsi genap seperti cos(x) dan cosh(x) memenuhi f(−x) = f(x), sehingga turunan tingkat ganjilnya pada 0 adalah nol, menyisakan hanya pangkat genap. Pola ini terlihat di tabel koefisien.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Deret Maclaurin" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-deret-maclaurin/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim MiniWebtool. Diperbarui: 2026-04-06

API developer tersedia: Jalankan alat ini dari aplikasi, otomatisasi, atau agen Anda dengan satu permintaan HTTP JSON. Lihat dokumentasi API

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Kalkulus:

Alat populer dan terbaru:

Kalkulator Kapasitor Seri dan ParalelKalkulator Resistor SeriKalkulator Metode NewtonLihat semua →
Beranda > Matematika > Kalkulus > Kalkulator Deret Maclaurin