Kalkulator Laju Terkait

Susun dan selesaikan soal related rates langkah demi langkah dengan diferensiasi implisit dan aturan rantai. Mencakup bola mengembang, tangga meluncur, kerucut terisi, riak air, panjang bayangan, mobil mendekat, dan balon mengembang.

Gratis digunakanTidak perlu mendaftarHasil instan

Kalkulator Laju TerkaitCoba sekarang — gratis ▼

Contoh:

🔵 Bola yang Mengembang Jari-jari berubah → cari laju perubahan volume atau luas permukaan 🪜 Tangga yang Merosot Tangga merosot ke bawah dinding → cari laju pergerakan atas atau bawah 🍦 Kerucut yang Terisi Air mengisi kerucut → cari laju kenaikan permukaan air 🌊 Riak di Air Riak melingkar yang meluas → cari laju perubahan luas atau keliling 🏃 Panjang Bayangan Seseorang menjauh dari tiang lampu → cari laju pergerakan ujung bayangan 🚗 Mobil yang Mendekat Dua mobil mendekati persimpangan → cari laju perubahan jarak di antara keduanya 🎈 Balon yang Mengembang Balon sferis ditiup → cari laju perubahan jari-jari atau luas permukaan ▭ Persegi Panjang yang Berubah Dimensi persegi panjang berubah → cari laju perubahan luas atau diagonal

PRATINJAU SKENARIO

📐 Masukkan Nilai yang Diketahui

🎯 Apa yang ingin Anda cari?

Embed Kalkulator Laju Terkait Widget

Tentang Kalkulator Laju Terkait

Kalkulator Laju Terkait membantu Anda menyusun dan menyelesaikan masalah laju terkait dari kalkulus menggunakan diferensiasi implisit dan aturan rantai. Masukkan nilai yang Anda ketahui untuk salah satu dari delapan jenis masalah umum — bola memuai, tangga merosot, kerucut terisi, riak di air, panjang bayangan, mobil mendekat, balon mengembang, atau persegi panjang berubah — dan dapatkan solusi langkah demi langkah lengkap dengan diagram animasi yang menunjukkan bagaimana kuantitas berubah seiring waktu.

Apa Itu Laju Terkait?

Laju terkait adalah teknik dalam kalkulus diferensial untuk menemukan laju di mana satu kuantitas berubah dengan menghubungkannya ke kuantitas lain yang laju perubahannya diketahui. Alat utamanya adalah diferensiasi implisit: Anda mendiferensialkan persamaan yang menghubungkan variabel terhadap waktu \(t\), menerapkan aturan rantai ke setiap suku. Ini menghasilkan persamaan yang menghubungkan laju \(\frac{dx}{dt}\), \(\frac{dy}{dt}\), dsb., yang kemudian Anda selesaikan untuk laju yang tidak diketahui.

Metode 5 Langkah

Gambar Diagram

Sketsa skenario dan beri label pada semua variabel yang berubah seiring waktu.

Tulis Persamaan

Temukan persamaan yang menghubungkan variabel yang terlibat (misalnya, teorema Pythagoras, rumus volume).

Diferensialkan Terhadap t

Terapkan diferensiasi implisit dan aturan rantai ke kedua sisi persamaan.

Substitusikan Nilai Diketahui

Masukkan semua nilai yang diberikan dan laju yang diketahui pada momen waktu tertentu.

Selesaikan Laju Tak Diketahui

Isolasi laju yang diinginkan dan sederhanakan untuk mendapatkan jawaban.

Jenis Masalah yang Didukung

Masalah	Hubungan	Setelah Diferensiasi
Bola Memuai	\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)	\(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\)
Tangga Merosot	\(x^2 + y^2 = L^2\)	\(2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0\)
Kerucut Terisi	\(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)	\(\frac{dV}{dt} = \frac{R^2\pi}{H^2} h^2 \frac{dh}{dt}\)
Riak di Air	\(A = \pi r^2\)	\(\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}\)
Panjang Bayangan	\(\frac{H}{x+s} = \frac{h}{s}\)	\(\frac{ds}{dt} = \frac{h}{H-h} \frac{dx}{dt}\)
Mobil Mendekat	\(z^2 = x^2 + y^2\)	\(z\frac{dz}{dt} = x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt}\)
Balon Mengembang	\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)	\(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\)
Persegi Panjang Berubah	\(A = p \times l\)	\(\frac{dA}{dt} = \frac{dp}{dt}l + p\frac{dl}{dt}\)

Aplikasi Dunia Nyata

🏗

Teknik

Laju tegangan struktur, aliran fluida, pemuaian termal

🏥

Kedokteran

Laju konsentrasi obat, pemodelan pertumbuhan tumor

📈

Ekonomi

Biaya/pendapatan marjinal, pemodelan laju inflasi

🚀

Fisika

Kecepatan, percepatan, laju fluks elektromagnetik

🌍

Lingkungan

Penyebaran tumpahan minyak, laju difusi polusi

🎮

Pengembangan Game

Pelacakan objek, waktu tabrakan, mesin fisika

Cara Menggunakan Kalkulator Laju Terkait

Pilih jenis masalah: Klik salah satu dari delapan kartu skenario (bola memuai, tangga merosot, dsb.) atau gunakan contoh cepat untuk mengisi otomatis.
Masukkan nilai yang diketahui: Isi dimensi saat ini dan laju perubahan yang diketahui untuk masalah Anda.
Pilih apa yang ingin dicari: Gunakan dropdown untuk memilih laju tak diketahui mana yang ingin Anda selesaikan.
Klik Selesaikan: Tekan tombol "Selesaikan Laju Terkait" untuk mendapatkan hasil.
Tinjau solusinya: Pelajari diagram animasi, kartu ringkasan yang menunjukkan hubungan dan bentuk aturan rantai, serta proses diferensiasi implisit langkah demi langkah yang lengkap.

Konsep Kalkulus Utama yang Digunakan

Aturan Rantai: Jika \(y = f(g(t))\), maka \(\frac{dy}{dt} = f'(g(t)) \cdot g'(t)\). Dalam laju terkait, setiap variabel adalah fungsi waktu, sehingga mendiferensialkan \(r^2\) menghasilkan \(2r \frac{dr}{dt}\), bukan sekadar \(2r\).

Diferensiasi Implisit: Alih-alih menyelesaikan satu variabel terlebih dahulu, Anda mendiferensialkan seluruh persamaan apa adanya, memperlakukan setiap variabel sebagai fungsi dari \(t\). Ini secara alami memunculkan suku laju \(\frac{dx}{dt}\), \(\frac{dy}{dt}\), dsb.

Aturan Perkalian: Ketika dua kuantitas yang berubah dikalikan (seperti \(A = p \times l\)), aturan perkalian memberikan \(\frac{dA}{dt} = \frac{dp}{dt} \cdot l + p \cdot \frac{dl}{dt}\). Kedua suku tersebut penting karena kedua dimensi berubah.

Tips Menyelesaikan Masalah Laju Terkait

Jangan pernah mensubstitusi nilai sebelum mendiferensialkan. Persamaan harus didiferensialkan dalam bentuk umum terlebih dahulu, baru kemudian Anda memasukkan nilai-nilai pada momen spesifik tersebut.
Perhatikan tanda. Laju negatif berarti kuantitas tersebut berkurang. Misalnya, jika sebuah mobil mendekati persimpangan, jaraknya berkurang, sehingga \(\frac{dx}{dt} < 0\).
Eliminasi variabel tambahan. Gunakan hubungan geometris (seperti segitiga sebangun pada masalah kerucut) untuk menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lain sebelum mendiferensialkan.
Satuan harus konsisten. Jika jari-jari dalam sentimeter dan laju dalam cm/detik, maka laju volume akan dalam cm³/detik.

FAQ

Apa itu laju terkait dalam kalkulus?

Masalah laju terkait melibatkan pencarian laju perubahan satu kuantitas berdasarkan laju perubahan kuantitas terkait lainnya. Masalah ini menggunakan diferensiasi implisit dan aturan rantai untuk menghubungkan laju perubahan melalui persamaan bersama yang menghubungkan variabel-variabel tersebut.

Bagaimana cara menyelesaikan masalah laju terkait?

Ikuti lima langkah: (1) gambar diagram dan beri label variabel, (2) tulis persamaan yang menghubungkan variabel, (3) diferensialkan kedua ruas terhadap waktu menggunakan aturan rantai, (4) substitusikan semua nilai yang diketahui pada saat yang diberikan, dan (5) selesaikan untuk laju yang tidak diketahui.

Apa itu diferensiasi implisit dalam laju terkait?

Diferensiasi implisit memperlakukan setiap variabel sebagai fungsi waktu t. Alih-alih mengisolasi y sebelum mendiferensialkan, Anda mendiferensialkan seluruh persamaan secara langsung. Aturan rantai secara otomatis memperkenalkan suku laju seperti dy/dt, yang menghubungkan variabel dengan laju perubahannya.

Mengapa menggunakan aturan rantai dalam laju terkait?

Aturan rantai sangat penting karena variabel dalam persamaan itu sendiri adalah fungsi dari waktu. Saat Anda mendiferensialkan r² terhadap t, aturan rantai memberikan 2r(dr/dt) bukan hanya 2r. Inilah yang menghubungkan setiap kuantitas dengan laju perubahannya dan membuat seluruh metode ini berhasil.

Dapatkah masalah laju terkait memiliki jawaban negatif?

Ya. Laju perubahan negatif berarti kuantitas tersebut berkurang. Misalnya, saat tangga meluncur turun di dinding, dy/dt bernilai negatif karena ketinggian y berkurang. Tanda tersebut membawa makna fisik penting tentang arah perubahan.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Laju Terkait" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-laju-terkait/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim MiniWebtool. Diperbarui: 2026-04-07

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Kalkulus:

Kalkulator Laju Perubahan Rata-rata Baru
Penyelesai ODE Bernoulli Baru
Kalkulator Konvolusi
Kalkulator cURL Baru
Kalkulator Kelengkungan
Kalkulator Turunan
Plotter Medan Arah / Medan Kemiringan Baru
Kalkulator Turunan Arah
Kalkulator Divergensi Baru
Kalkulator Integral Ganda
Kalkulator Metode Euler Baru
Kalkulator Transformasi Fourier Cepat (FFT) Baru
Penyelesai ODE Orde Pertama Baru
Kalkulator Koefisien Deret Fourier
Kalkulator Gradien Multivariabel Baru
Kalkulator Turunan Implisit
Kalkulator Integral Tak Wajar Baru
Kalkulator Jumlah Deret Tak Hingga Baru
Kalkulator Laju Perubahan Sesaat Baru
Kalkulator Integral
Kalkulator Transformasi Laplace Invers
Kalkulator Aturan L'Hôpital Baru
Kalkulator Transformasi Laplace
Kalkulator Limit
Kalkulator Integral Garis Baru
Kalkulator Deret Maclaurin Baru
Kalkulator Metode Newton Baru
Kalkulator Integrasi Numerik Baru
Kalkulator Optimasi Kalkulus Baru
Kalkulator Turunan Parsial
Kalkulator Deret Pangkat Baru
Kalkulator Radius Konvergensi
Kalkulator Laju Terkait Baru
Kalkulator Jumlah Riemann Baru
Kalkulator Metode Runge-Kutta (RK4)
Penyelesai ODE Orde Kedua Baru
Kalkulator Uji Konvergensi Deret Baru
Kalkulator Aturan Simpson Baru
Kalkulator Turunan Satu Variabel
Kalkulator Integral Permukaan Baru
Kalkulator Permukaan Revolusi Baru
Pemecah Sistem ODE Baru
Kalkulator Deret Taylor
Kalkulator Aturan Trapesium Baru
Kalkulator Integral Tiga Kali
Kalkulator Volume Revolusi Baru
Kalkulator Wronskian
Kalkulator Transformasi Z Baru