Calcolatore Regola di Cramer
Risolvi un sistema lineare di due o tre variabili usando i determinanti con il calcolatore della regola di Cramer di MiniWebtool. Coefficienti e termini noti producono passaggi di sostituzione delle colonne e rapporti tra determinanti quando il sistema ha una soluzione unica.
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Inserisci i coefficienti e i termini noti di un sistema 2x2 o 3x3 per ottenere D, il determinante di ciascuna colonna sostituita e la soluzione, con i passaggi.
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Calcolatore Regola di Cramer
Il Calcolatore Regola di Cramer risolve sistemi di 2 o 3 equazioni lineari utilizzando i determinanti. Inserisci la matrice dei coefficienti e il vettore delle costanti per ottenere la soluzione completa con calcoli dei determinanti passo dopo passo, visualizzazione animata della matrice che mostra la sostituzione delle colonne e un grafico di interpretazione geometrica per i sistemi 2×2. La regola di Cramer è una tecnica fondamentale dell'algebra lineare che esprime ogni variabile come rapporto tra due determinanti.
In sintesi
Il Calcolatore Regola di Cramer risolve sistemi di 2 o 3 equazioni lineari usando i determinanti. Inserisci i coefficienti e i termini noti per ottenere D, Dx, Dy (e Dz), il tipo di soluzione e il calcolo passo dopo passo.
| Funzione | Cosa offre | Ideale per |
|---|---|---|
| Dimensione del sistema | Risolve sistemi lineari 2x2 e 3x3, con una riga per ogni equazione e una colonna per ogni variabile. | Piccoli sistemi nei corsi di algebra |
| Passaggi dei determinanti | Mostra D dalla matrice dei coefficienti e ogni Di formato sostituendo una colonna con i termini noti, poi x = Dx / D e così via. | Seguire il metodo riga per riga |
| Tipo di soluzione | D diverso da 0 dà una soluzione unica. D = 0 significa nessuna soluzione o infinite, a seconda dei valori di Di. | Distinguere i sistemi incompatibili da quelli dipendenti |
| Vista della sostituzione di colonna | Una visualizzazione animata della matrice mostra quale colonna viene sostituita dai termini noti. | Vedere come viene costruito ogni determinante |
| Grafico geometrico | Un grafico mostra le due rette di un sistema 2x2 e il punto in cui si incontrano. | Collegare l'algebra a un'immagine |
| Pulsanti di esempio | I preset includono un 2x2 dipendente, un sistema 3x3 e un 3x3 con segni misti. | Provare lo strumento su casi noti |
Cos'è la Regola di Cramer?
La regola di Cramer è un teorema di algebra lineare che fornisce una formula esplicita per risolvere un sistema di equazioni lineari con tante equazioni quante incognite, a condizione che il sistema abbia un'unica soluzione. Prende il nome dal matematico svizzero Gabriel Cramer (1704–1752) e utilizza i determinanti per esprimere ogni variabile come un rapporto:
$$x_i = \frac{D_i}{D}$$
dove \(D\) è il determinante della matrice dei coefficienti e \(D_i\) è il determinante formato sostituendo l'i-esima colonna della matrice dei coefficienti con il vettore delle costanti.
Concetti Chiave
Formule della Regola di Cramer
Per un Sistema 2×2
Dato il sistema:
$$a_1x + b_1y = c_1$$ $$a_2x + b_2y = c_2$$
| Determinante | Formula | Descrizione |
|---|---|---|
| \(D\) | \(\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - b_1 a_2\) | Determinante matrice coefficienti |
| \(D_x\) | \(\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1 b_2 - b_1 c_2\) | Sostituzione colonna x con costanti |
| \(D_y\) | \(\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1 c_2 - c_1 a_2\) | Sostituzione colonna y con costanti |
Soluzione: \(x = D_x / D\), \(y = D_y / D\)
Per un Sistema 3×3
Il determinante di una matrice 3×3 viene calcolato utilizzando lo sviluppo di Laplace lungo la prima riga. Ogni \(D_i\) viene formato sostituendo la colonna corrispondente con il vettore delle costanti, e la soluzione è \(x_i = D_i / D\).
Quando Funziona la Regola di Cramer?
| Condizione | Valore D | Risultato |
|---|---|---|
| Soluzione unica | D ≠ 0 | Ogni variabile = D_i / D |
| Nessuna soluzione (impossibile) | D = 0, qualche D_i ≠ 0 | Linee/piani sono paralleli |
| Infinite soluzioni (indeterminato) | D = 0, tutti i D_i = 0 | Le equazioni sono dipendenti |
Regola di Cramer vs Altri Metodi
| Metodo | Ideale per | Limitazioni |
|---|---|---|
| Regola di Cramer | Sistemi piccoli (2×2, 3×3), soluzioni simboliche esatte | Lento per sistemi grandi (complessità n!) |
| Eliminazione Gaussiana | Sistemi generali, matrici grandi | Nessuna formula in forma chiusa |
| Matrice Inversa | Molteplici termini noti | Richiede D ≠ 0, costoso da calcolare |
| Decomposizione LU | Risoluzione ripetuta, stabilità numerica | Più complesso da implementare |
Come Usare il Calcolatore Regola di Cramer
- Scegli la dimensione del sistema: Seleziona 2×2 o 3×3 in base al numero di equazioni e incognite che hai.
- Inserisci i coefficienti: Compila la matrice dei coefficienti a sinistra. Ogni riga corrisponde a un'equazione e ogni colonna a una variabile (x, y, z).
- Inserisci le costanti: Compila il vettore delle costanti a destra (il termine noto di ogni equazione).
- Clicca su Risolvi: Il calcolatore elabora tutti i determinanti (D, D_x, D_y e opzionalmente D_z), determina il tipo di soluzione e mostra il processo passo dopo passo con visualizzazione animata.
Applicazioni nel Mondo Reale
| Campo | Applicazione | Esempio |
|---|---|---|
| Ingegneria | Analisi dei circuiti (leggi di Kirchhoff) | Trovare le correnti in una rete di resistori |
| Economia | Equilibrio di mercato | Intersezione tra domanda e offerta |
| Fisica | Bilancio delle forze | Trovare le forze di reazione nella statica |
| Chimica | Bilanciamento di equazioni | Coefficienti stechiometrici |
| Computer Graphics | Trasformazioni di coordinate | Punti di intersezione linea/piano |
FAQ
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dal team di miniwebtool. Aggiornato: 2026-04-12
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