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Solutore di EDO del Secondo Ordine

Risolvi equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, omogenee o no. Deriva l'equazione caratteristica, classifica lo smorzamento come sovra, critico o sotto-smorzato, da forma chiusa e traiettoria.

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Solutore di EDO del Secondo OrdineProvalo ora — gratis ▼
EDO lineare del secondo ordine a·y″ + b·y′ + c·y = g(x)
Esempi rapidi:
Moto armonico semplice Sottosmorzato Smorzamento critico Sovrasmorzato Forzato (cost.) Forza decrescente Instabile
a·y″
b·y′
c·y
L'equazione è a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) con costanti reali a, b, c. Il coefficiente a non deve essere zero.
g(x) =
La forma chiusa y_p è derivata per costanti, polinomi (fino al grado 2) e A·exp(k·x). Qualsiasi altra espressione riceve comunque una soluzione numerica ad alta precisione.
x₀
y₀
y′₀
x min
x max
Sono richieste due condizioni iniziali: y(x₀) = y₀ e y′(x₀) = y′₀. Il risolutore integra a partire da x₀ in entrambe le direzioni di x.

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Solutore di EDO del Secondo Ordine

Il Solutore di EDO del Secondo Ordine analizza un'equazione differenziale ordinaria lineare della forma a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) con coefficienti reali costanti, ne deriva automaticamente l'equazione caratteristica, classifica il regime di smorzamento (sovrasmorzato, smorzamento critico, sottosmorzato, non smorzato o instabile) e produce sia una soluzione simbolica in forma chiusa che una soluzione numerica ad alta precisione. L'output interattivo affianca un grafico temporale a doppia curva di y(x) e y′(x) con una traiettoria nel piano delle fasi di (y, y′) — una visualizzazione che rivela il regime a colpo d'occhio: spirale convergente per il sottosmorzamento, nodo convergente per il sovrasmorzamento, orbita chiusa per il regime non smorzato, spirale divergente per l'instabilità.

Cos'è un'EDO lineare del secondo ordine a coefficienti costanti?

Un'equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine con coefficienti costanti reali è un'equazione della forma

a · y″(x) + b · y′(x) + c · y(x) = g(x)

dove a ≠ 0, b, c sono costanti reali e g(x) è il termine forzante. Due condizioni iniziali y(x₀) = y₀ e y′(x₀) = y′₀ trasformano l'equazione in un problema ai valori iniziali con una soluzione unica nell'intorno di x₀ — ciò deriva dal teorema di Picard-Lindelöf applicato al sistema equivalente del primo ordine.

Se g(x) = 0 l'equazione è omogenea. Altrimenti è non omogenea, e la soluzione completa si scompone come

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

dove y_h è la soluzione generale dell'equazione omogenea associata (contenente due costanti libere) e y_p è una qualsiasi soluzione particolare dell'equazione completa. L'applicazione delle due condizioni iniziali determina il valore delle due costanti libere.

L'equazione caratteristica

Ipotizzando y = e^(r·x) nell'equazione omogenea si ottiene l'equazione caratteristica (o ausiliaria)

a · r² + b · r + c = 0

un'equazione di secondo grado il cui discriminante Δ = b² − 4ac controlla l'intero comportamento qualitativo:

I tre casi delle radici e il regime di smorzamento

Discriminante Δ = b² − 4ac Radici di a·r² + b·r + c = 0 Soluzione omogenea y_h(x) Regime fisico
Δ > 0 Due radici reali distinte r₁, r₂ C₁·e^(r₁·x) + C₂·e^(r₂·x) Sovrasmorzato — ritorno monotono lento all'equilibrio (entrambe le radici negative).
Δ = 0 Una radice reale coincidente r = −b/(2a) (C₁ + C₂·x)·e^(r·x) Smorzamento critico — ritorno più veloce senza oscillazioni.
Δ < 0 Radici complesse coniugate α ± β·i con α = −b/(2a), β = √(−Δ)/(2a) e^(α·x)·(C₁·cos(β·x) + C₂·sin(β·x)) Sottosmorzato (α < 0) — oscillazione smorzata; non smorzato (α = 0) — moto sinusoidale puro; instabile (α > 0) — oscillazione crescente.

Metodo dei coefficienti indeterminati (Caso non omogeneo)

Quando g(x) assume una delle seguenti forme semplici, il metodo dei coefficienti indeterminati fornisce una soluzione particolare assumendo un tentativo della stessa forma con coefficienti incogniti e risolvendo per essi:

Leggere il piano delle fasi

Il sistema equivalente del primo ordine è u = y, v = y′ con u′ = v e v′ = (g(x) − b·v − c·u)/a. Tracciare v rispetto a u parametricamente in x fornisce la traiettoria nel piano delle fasi. Per sistemi autonomi omogenei (senza x in g), le orbite sono determinate univocamente dal punto di partenza (y₀, y′₀) e rivelano il regime istantaneamente:

Esempio svolto: Oscillatore armonico smorzato forzato

Consideriamo l'equazione y″ + 2·y′ + 5·y = 10 con y(0) = 0, y′(0) = 0 — un sistema sottosmorzato forzato.

  1. Equazione caratteristica: r² + 2r + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → r = −1 ± 2i.
  2. Soluzione omogenea: y_h = e^(−x)·(C₁·cos 2x + C₂·sin 2x).
  3. Soluzione particolare per forzante costante g = 10: proviamo y_p = K, quindi 5K = 10, ottenendo y_p = 2.
  4. Applica le CI: y(0) = 0 → C₁ + 2 = 0 → C₁ = −2. y′(0) = 0 → −C₁ + 2C₂ = 0 → C₂ = −1.
  5. Risposta finale: y(x) = 2 − e^(−x)·(2·cos 2x + sin 2x) — oscilla con un inviluppo decrescente e limite y → 2.

Come usare questo calcolatore

  1. Inserisci i coefficienti a, b, c nella riga superiore. a deve essere diverso da zero (altrimenti l'equazione è del primo ordine).
  2. Digita il termine forzante g(x), oppure lascialo a 0 per un problema omogeneo. Le soluzioni particolari in forma chiusa sono derivate per costanti, polinomi fino al grado 2 ed esponenziali singoli A·e^(k·x) incluso il caso di risonanza.
  3. Fornisci le condizioni iniziali (x₀, y₀, y′₀). Devono essere specificate sia y che y′ in x₀ poiché l'equazione è del secondo ordine.
  4. Scegli l'intervallo x per i grafici. Il risolutore integra verso l'esterno da x₀ in entrambe le direzioni x utilizzando RK4.
  5. Fai clic su Risolvi e Visualizza. Otterrai l'equazione caratteristica con le sue radici sul piano complesso, la classificazione del regime di smorzamento, le soluzioni in forma chiusa omogenea e particolare, un grafico temporale a doppia curva di y e y′ e la traiettoria nel piano delle fasi.

Applicazioni comuni

Metodo numerico — Runge-Kutta classico (RK4) sul sistema 2D

Lo strumento riduce a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) al sistema del primo ordine

u′ = v v′ = ( g(x) − b·v − c·u ) / a

con u(x₀) = y₀, v(x₀) = y′₀. Il metodo Runge-Kutta a quattro stadi viene quindi applicato allo stato vettoriale (u, v). RK4 ha un errore di troncamento locale O(h⁵) e un errore globale O(h⁴); i 400 sotto-passaggi predefiniti in ogni direzione forniscono un'accuratezza di circa sei cifre per problemi non rigidi.

Domande frequenti

Cos'è un'EDO lineare del secondo ordine a coefficienti costanti?

Un'EDO lineare del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma a·y″ + b·y′ + c·y = g(x), dove a, b, c sono costanti reali e g(x) è il termine forzante (non omogeneo). Con due condizioni iniziali y(x₀) = y₀ e y′(x₀) = y′₀ la soluzione è unica. Il caso omogeneo g(x) = 0 ammette sempre una soluzione in forma chiusa tramite l'equazione caratteristica a·r² + b·r + c = 0; il caso non omogeneo si risolve come y(x) = y_h(x) + y_p(x).

Cos'è l'equazione caratteristica?

Per a·y″ + b·y′ + c·y = 0, sostituendo l'ansatz y = e^(r·x) si ottiene a·r² + b·r + c = 0 — l'equazione caratteristica o ausiliaria. Le sue radici determinano la forma della soluzione omogenea: due radici reali distinte danno y_h = C₁·e^(r₁·x) + C₂·e^(r₂·x); una radice reale coincidente r dà y_h = (C₁ + C₂·x)·e^(r·x); radici complesse coniugate α ± β·i danno y_h = e^(α·x)·(C₁·cos(β·x) + C₂·sin(β·x)).

Cosa significano i termini sottosmorzato, smorzamento critico e sovrasmorzato?

La terminologia deriva dal modello molla-massa-smorzatore m·x″ + c·x′ + k·x = 0. Sovrasmorzato (discriminante > 0, due radici reali) significa che il sistema torna all'equilibrio lentamente senza oscillazioni. Smorzamento critico (discriminante = 0, radice coincidente) è il ritorno più veloce senza superamento. Sottosmorzato (discriminante < 0, radici complesse) produce un'oscillazione smorzata. Non smorzato (b = 0, c/a > 0) produce un'oscillazione sinusoidale pura perenne.

Cos'è il metodo dei coefficienti indeterminati?

Per forzanti semplici g(x) — costanti, polinomi, esponenziali, seni, coseni e i loro prodotti — si assume che la soluzione particolare y_p abbia la stessa forma di g con coefficienti incogniti, che vengono determinati sostituendo nell'EDO e uguagliando i termini. Il tentativo deve essere moltiplicato per x (o x² per radici doppie) quando g(x) risuona con una radice caratteristica.

Cos'è il piano delle fasi?

Per un'equazione del secondo ordine ridotta a un sistema 2D (y, y') il piano delle fasi traccia y' rispetto a y all'avanzare di x. Le curve di soluzione nel piano delle fasi rivelano il regime a colpo d'occhio: spirali convergenti per il sottosmorzamento, nodi interni per il sovrasmorzamento, ellissi chiuse per il moto armonico non smorzato e spirali divergenti per l'oscillazione instabile. È la controparte geometrica del diagramma delle radici dell'equazione caratteristica.

Quale metodo numerico utilizza questo strumento?

Il metodo classico di Runge-Kutta del quarto ordine (RK4) viene applicato al sistema del primo ordine equivalente u = y, v = y', con u' = v e v' = (g(x) − b·v − c·u)/a. RK4 ha un errore di troncamento locale O(h⁵) e i 400 sotto-passaggi predefiniti per direzione forniscono un'accuratezza di circa sei cifre per equazioni non rigide sulla finestra scelta.

Ulteriori letture

Cita questo contenuto, pagina o strumento come:

"Solutore di EDO del Secondo Ordine" su https://MiniWebtool.com/it/solutore-di-edo-del-secondo-ordine/ di MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

dal team di miniwebtool. Aggiornato: 22 apr 2026

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