Solutore di EDO del Secondo Ordine

Solutore di EDO del Secondo Ordine

Il Solutore di EDO del Secondo Ordine analizza un'equazione differenziale ordinaria lineare della forma a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) con coefficienti reali costanti, ne deriva automaticamente l'equazione caratteristica, classifica il regime di smorzamento (sovrasmorzato, smorzamento critico, sottosmorzato, non smorzato o instabile) e produce sia una soluzione simbolica in forma chiusa che una soluzione numerica ad alta precisione. L'output interattivo affianca un grafico temporale a doppia curva di y(x) e y′(x) con una traiettoria nel piano delle fasi di (y, y′) — una visualizzazione che rivela il regime a colpo d'occhio: spirale convergente per il sottosmorzamento, nodo convergente per il sovrasmorzamento, orbita chiusa per il regime non smorzato, spirale divergente per l'instabilità.

Cos'è un'EDO lineare del secondo ordine a coefficienti costanti?

Un'equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine con coefficienti costanti reali è un'equazione della forma

dove a ≠ 0, b, c sono costanti reali e g(x) è il termine forzante. Due condizioni iniziali y(x₀) = y₀ e y′(x₀) = y′₀ trasformano l'equazione in un problema ai valori iniziali con una soluzione unica nell'intorno di x₀ — ciò deriva dal teorema di Picard-Lindelöf applicato al sistema equivalente del primo ordine.

Se g(x) = 0 l'equazione è omogenea. Altrimenti è non omogenea, e la soluzione completa si scompone come

dove y_h è la soluzione generale dell'equazione omogenea associata (contenente due costanti libere) e y_p è una qualsiasi soluzione particolare dell'equazione completa. L'applicazione delle due condizioni iniziali determina il valore delle due costanti libere.

L'equazione caratteristica

Ipotizzando y = e^(r·x) nell'equazione omogenea si ottiene l'equazione caratteristica (o ausiliaria)

un'equazione di secondo grado il cui discriminante Δ = b² − 4ac controlla l'intero comportamento qualitativo:

I tre casi delle radici e il regime di smorzamento

Metodo dei coefficienti indeterminati (Caso non omogeneo)

Quando g(x) assume una delle seguenti forme semplici, il metodo dei coefficienti indeterminati fornisce una soluzione particolare assumendo un tentativo della stessa forma con coefficienti incogniti e risolvendo per essi:

• Costante g(x) = k. Tentativo: y_p = K. Se c = 0 moltiplicare per x; se anche b = 0, moltiplicare ancora per x.
• Polinomio di grado n. Tentativo: polinomio generale di grado n. Moltiplicare per x o x² se il termine costante o lineare è in risonanza.
• Esponenziale g(x) = A·e^(k·x). Tentativo: y_p = K·e^(k·x). Se k coincide con una radice caratteristica, moltiplicare per x (radice semplice) o x² (radice doppia) — questa è la risonanza.
• Sinusoidale g(x) = A·cos(ω·x) + B·sin(ω·x). Tentativo: y_p = K₁·cos(ω·x) + K₂·sin(ω·x). Moltiplicare per x se iω è una radice (risonanza a frequenza pura).
• Prodotti e somme seguono per linearità e regola del prodotto.

Leggere il piano delle fasi

Il sistema equivalente del primo ordine è u = y, v = y′ con u′ = v e v′ = (g(x) − b·v − c·u)/a. Tracciare v rispetto a u parametricamente in x fornisce la traiettoria nel piano delle fasi. Per sistemi autonomi omogenei (senza x in g), le orbite sono determinate univocamente dal punto di partenza (y₀, y′₀) e rivelano il regime istantaneamente:

• Sottosmorzato: la traiettoria spiraleggia verso l'origine.
• Sovrasmorzato: la traiettoria si avvicina all'origine lungo una linea invariante (autovettore lento).
• Smorzamento critico: nodo degenere, traiettoria tangente all'unico autovettore.
• Non smorzato: ellisse chiusa che circonda l'origine — oscillazione perpetua.
• Instabile: la traiettoria spiraleggia o corre verso l'infinito.

Esempio svolto: Oscillatore armonico smorzato forzato

Consideriamo l'equazione y″ + 2·y′ + 5·y = 10 con y(0) = 0, y′(0) = 0 — un sistema sottosmorzato forzato.

1. Equazione caratteristica: r² + 2r + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → r = −1 ± 2i.
2. Soluzione omogenea: y_h = e^(−x)·(C₁·cos 2x + C₂·sin 2x).
3. Soluzione particolare per forzante costante g = 10: proviamo y_p = K, quindi 5K = 10, ottenendo y_p = 2.
4. Applica le CI: y(0) = 0 → C₁ + 2 = 0 → C₁ = −2. y′(0) = 0 → −C₁ + 2C₂ = 0 → C₂ = −1.
5. Risposta finale: y(x) = 2 − e^(−x)·(2·cos 2x + sin 2x) — oscilla con un inviluppo decrescente e limite y → 2.

Come usare questo calcolatore

1. Inserisci i coefficienti a, b, c nella riga superiore. a deve essere diverso da zero (altrimenti l'equazione è del primo ordine).
2. Digita il termine forzante g(x), oppure lascialo a 0 per un problema omogeneo. Le soluzioni particolari in forma chiusa sono derivate per costanti, polinomi fino al grado 2 ed esponenziali singoli A·e^(k·x) incluso il caso di risonanza.
3. Fornisci le condizioni iniziali (x₀, y₀, y′₀). Devono essere specificate sia y che y′ in x₀ poiché l'equazione è del secondo ordine.
4. Scegli l'intervallo x per i grafici. Il risolutore integra verso l'esterno da x₀ in entrambe le direzioni x utilizzando RK4.
5. Fai clic su Risolvi e Visualizza. Otterrai l'equazione caratteristica con le sue radici sul piano complesso, la classificazione del regime di smorzamento, le soluzioni in forma chiusa omogenea e particolare, un grafico temporale a doppia curva di y e y′ e la traiettoria nel piano delle fasi.

Applicazioni comuni

• Sistemi meccanici molla-massa-smorzatore: m·x″ + c·x′ + k·x = F(t). Sovrasmorzato, smorzamento critico e sottosmorzato corrispondono a diversi rapporti di smorzamento ζ = c/(2·√(m·k)).
• Circuiti elettrici RLC: i circuiti RLC in serie obbediscono a L·Q″ + R·Q′ + Q/C = V(t) — struttura identica, simboli diversi.
• Pendolo (piccoli angoli): θ″ + (g/L)·θ = 0 produce un moto armonico semplice; l'aggiunta della resistenza dell'aria produce un'oscillazione smorzata.
• Risposta degli edifici ai terremoti: struttura a singolo grado di libertà con l'accelerazione della base come termine forzante.
• Servosistemi a controllo PID: la dinamica dell'errore ad anello chiuso si riduce a un'EDO del secondo ordine il cui rapporto di smorzamento governa il superamento (overshoot).
• Modelli di popolazione con inerzia: crescita economica con ritardo nell'accumulazione di capitale o modelli ecologici con risposta ritardata.

Metodo numerico — Runge-Kutta classico (RK4) sul sistema 2D

Lo strumento riduce a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) al sistema del primo ordine

con u(x₀) = y₀, v(x₀) = y′₀. Il metodo Runge-Kutta a quattro stadi viene quindi applicato allo stato vettoriale (u, v). RK4 ha un errore di troncamento locale O(h⁵) e un errore globale O(h⁴); i 400 sotto-passaggi predefiniti in ogni direzione forniscono un'accuratezza di circa sei cifre per problemi non rigidi.

Domande frequenti

Cos'è un'EDO lineare del secondo ordine a coefficienti costanti?

Un'EDO lineare del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma a·y″ + b·y′ + c·y = g(x), dove a, b, c sono costanti reali e g(x) è il termine forzante (non omogeneo). Con due condizioni iniziali y(x₀) = y₀ e y′(x₀) = y′₀ la soluzione è unica. Il caso omogeneo g(x) = 0 ammette sempre una soluzione in forma chiusa tramite l'equazione caratteristica a·r² + b·r + c = 0; il caso non omogeneo si risolve come y(x) = y_h(x) + y_p(x).

Cos'è l'equazione caratteristica?

Per a·y″ + b·y′ + c·y = 0, sostituendo l'ansatz y = e^(r·x) si ottiene a·r² + b·r + c = 0 — l'equazione caratteristica o ausiliaria. Le sue radici determinano la forma della soluzione omogenea: due radici reali distinte danno y_h = C₁·e^(r₁·x) + C₂·e^(r₂·x); una radice reale coincidente r dà y_h = (C₁ + C₂·x)·e^(r·x); radici complesse coniugate α ± β·i danno y_h = e^(α·x)·(C₁·cos(β·x) + C₂·sin(β·x)).

Cosa significano i termini sottosmorzato, smorzamento critico e sovrasmorzato?

La terminologia deriva dal modello molla-massa-smorzatore m·x″ + c·x′ + k·x = 0. Sovrasmorzato (discriminante > 0, due radici reali) significa che il sistema torna all'equilibrio lentamente senza oscillazioni. Smorzamento critico (discriminante = 0, radice coincidente) è il ritorno più veloce senza superamento. Sottosmorzato (discriminante < 0, radici complesse) produce un'oscillazione smorzata. Non smorzato (b = 0, c/a > 0) produce un'oscillazione sinusoidale pura perenne.

Cos'è il metodo dei coefficienti indeterminati?

Per forzanti semplici g(x) — costanti, polinomi, esponenziali, seni, coseni e i loro prodotti — si assume che la soluzione particolare y_p abbia la stessa forma di g con coefficienti incogniti, che vengono determinati sostituendo nell'EDO e uguagliando i termini. Il tentativo deve essere moltiplicato per x (o x² per radici doppie) quando g(x) risuona con una radice caratteristica.

Cos'è il piano delle fasi?

Per un'equazione del secondo ordine ridotta a un sistema 2D (y, y') il piano delle fasi traccia y' rispetto a y all'avanzare di x. Le curve di soluzione nel piano delle fasi rivelano il regime a colpo d'occhio: spirali convergenti per il sottosmorzamento, nodi interni per il sovrasmorzamento, ellissi chiuse per il moto armonico non smorzato e spirali divergenti per l'oscillazione instabile. È la controparte geometrica del diagramma delle radici dell'equazione caratteristica.

Quale metodo numerico utilizza questo strumento?

Il metodo classico di Runge-Kutta del quarto ordine (RK4) viene applicato al sistema del primo ordine equivalente u = y, v = y', con u' = v e v' = (g(x) − b·v − c·u)/a. RK4 ha un errore di troncamento locale O(h⁵) e i 400 sotto-passaggi predefiniti per direzione forniscono un'accuratezza di circa sei cifre per equazioni non rigide sulla finestra scelta.

Ulteriori letture

• Equazione differenziale lineare — Wikipedia
• Equazione caratteristica — Wikipedia
• Metodo dei coefficienti indeterminati — Wikipedia
• Oscillatore armonico — Wikipedia
• Piano delle fasi — Wikipedia
• Metodi di Runge-Kutta — Wikipedia

Calcolo:

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• Calcolatrice delle Derivate
• Calcolatore di Derivate Direzionali
• Calcolatore di integrali doppi
• Calcolatrice di derivata implicita
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