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Calcolatore Integrale di Linea

Calcola integrali di linea di campi scalari (∫f ds) e campi vettoriali (∫F·dr) lungo curve parametriche in 2D e 3D. Inserisci il campo, le equazioni parametriche e gli estremi per ottenere risultati simbolici con soluzioni passo dopo passo, lunghezza dell'arco e una visualizzazione interattiva della curva.

Calcolatore Integrale di Linea
Esempi:
Campo
f f(x, y)
Curva Parametrica r(t)
x x(t)
y y(t)
z z(t)
Limiti del Parametro
→
ANTEPRIMA INTEGRALE
Inserisci un campo e una curva per l'anteprima

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Calcolatore Integrale di Linea

Il Calcolatore Integrale di Linea valuta sia gli integrali di linea scalari \(\int_C f\,ds\) che gli integrali di linea vettoriali \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) lungo curve parametriche nello spazio 2D e 3D. Inserisci il campo, le equazioni parametriche e i limiti del parametro per ottenere una soluzione completa passo dopo passo con risultati simbolici, calcolo della lunghezza dell'arco e una visualizzazione animata della curva.

∫ Integrale di Linea Scalare Integra f lungo la curva pesata dalla lunghezza d'arco ds
⟳ Integrale di Linea Vettoriale Il prodotto scalare di F con la tangente dr misura il lavoro
📏 Lunghezza dell'Arco Lunghezza totale della curva da r(a) a r(b)
🔄 Campi Conservativi Integrali indipendenti dal percorso quando ∇×F = 0

Formule degli Integrali di Linea

TipoFormulaDescrizione
Scalare ∫f ds\(\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt\)Integra una funzione scalare lungo la curva pesata dalla velocità
Vettoriale ∫F·dr\(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)L'integrale del prodotto scalare misura il lavoro o la circolazione
Lunghezza d'Arco\(L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\)Lunghezza totale della curva parametrica
Conservativo\(\int_C \nabla\phi\cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{r}(b)) - \phi(\mathbf{r}(a))\)Teorema Fondamentale degli Integrali di Linea

Come Usare il Calcolatore Integrale di Linea

  1. Scegli il tipo di integrale. Seleziona "∫f ds" per un integrale di linea scalare o "∫F·dr" per un integrale di linea vettoriale (lavoro/circolazione).
  2. Seleziona la dimensione. Scegli 2D o 3D a seconda della tua curva e del tuo campo.
  3. Inserisci il campo. Per gli integrali scalari, digita la funzione f(x, y) o f(x, y, z). Per gli integrali vettoriali, inserisci ogni componente P, Q e R.
  4. Definisci la curva parametrica. Inserisci x(t), y(t) e opzionalmente z(t). Usa la notazione matematica standard — cos(t), t^2, sin(t), ecc.
  5. Imposta i limiti. Inserisci i valori iniziale e finale di t. Puoi usare espressioni come pi o 2*pi.
  6. Fai clic su Calcola per vedere la soluzione passo dopo passo, il risultato numerico, la lunghezza dell'arco e l'animazione della curva.

Curve Parametriche Comuni

CurvaParametrizzazioneLimiti
Cerchio (raggio R)x = R cos(t), y = R sin(t)t ∈ [0, 2π]
Segmento di linea A→Br(t) = (1−t)A + tBt ∈ [0, 1]
Parabola y = x²x = t, y = t²t ∈ [a, b]
Elicax = cos(t), y = sin(t), z = tt ∈ [0, 2π]
Ellissex = a cos(t), y = b sin(t)t ∈ [0, 2π]

Comprendere i Risultati

Il calcolatore fornisce diverse informazioni nel risultato:

Domande Frequenti

Cos'è un integrale di linea?

Un integrale di linea calcola l'integrale di una funzione lungo una curva. Per i campi scalari, somma i valori di f pesati dalla lunghezza d'arco (∫f ds). Per i campi vettoriali, somma la componente di F lungo la direzione tangente (∫F·dr), spesso interpretato come il lavoro compiuto da un campo di forze.

Qual è la differenza tra un integrale di linea scalare e un integrale di linea vettoriale?

Un integrale di linea scalare ∫C f ds integra una funzione scalare f lungo una curva pesata dall'elemento di lunghezza d'arco ds, fornendo il valore totale accumulato di f lungo il percorso. Un integrale di linea vettoriale ∫C F·dr integra un campo vettoriale F lungo una curva prendendo il prodotto scalare con il vettore tangente dr, misurando quanto F spinge lungo la direzione della curva. Gli integrali scalari sono usati per problemi di massa e valore medio; gli integrali vettoriali calcolano il lavoro e la circolazione.

Come si parametrizza una curva per un integrale di linea?

Una curva parametrica r(t) esprime ogni coordinata come funzione di un singolo parametro t. Ad esempio, un cerchio di raggio R è parametrizzato come x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t) con t da 0 a 2π. La formula dell'integrale di linea converte quindi l'integrale di curva in un integrale definito standard su t.

Quando un integrale di linea vettoriale è indipendente dal percorso?

Un integrale di linea vettoriale è indipendente dal percorso quando il campo vettoriale F è conservativo, il che significa che il suo rotore è zero ovunque in un dominio semplicemente connesso. In tal caso, F è uguale al gradiente di una funzione potenziale φ, e l'integrale dipende solo dai valori di φ agli estremi, non dal percorso specifico intrapreso. Il calcolatore controlla automaticamente questa condizione.

Qual è il significato fisico di un integrale di linea?

Fisicamente, un integrale di linea scalare può rappresentare la massa di un filo con densità variabile o il calore totale lungo un percorso. Un integrale di linea vettoriale rappresenta comunemente il lavoro compiuto da un campo di forze su una particella che si muove lungo la curva, o la circolazione di un campo di velocità di un fluido attorno a un loop. Nell'elettromagnetismo, gli integrali di linea compaiono nella legge di Ampere e nella legge di Faraday.

Quale notazione matematica accetta il calcolatore?

Usa la notazione matematica standard: ^ per gli esponenti (x^2), * per la moltiplicazione (2*x, anche se funziona anche la moltiplicazione implicita come 2x) e nomi di funzioni standard come sin, cos, tan, exp, log, sqrt. Per i limiti del parametro, puoi inserire espressioni come pi, 2*pi o valori numerici.

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