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Calcolatore di Matrice di Adiacenza

Converti tra matrice di adiacenza, lista di archi e lista di adiacenza. Rileva automaticamente grafi diretti/non diretti, calcola la sequenza dei gradi, la densità, le componenti connesse e le potenze della matrice — con una visualizzazione interattiva del grafo in SVG.

Calcolatore di Matrice di Adiacenza
Esempi rapidi:
Triangolo+coda non orientato Ciclo orientato K4 (elenco adiacenza) Matrice 4×4 Etichette numeriche
Accetta A-B, A->B, A B, A,B, o righe della matrice come 0 1 1 0. Usa lettere, cifre o trattini bassi per le etichette dei vertici.
Etichette separate da virgola o spazio, una per ogni riga della matrice. Default: A, B, C… se omesso.

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Calcolatore di Matrice di Adiacenza

Il Calcolatore di Matrice di Adiacenza è un'utilità di teoria dei grafi che converte tra le tre rappresentazioni canoniche dei grafi — matrice di adiacenza, elenco archi e elenco adiacenza — e arricchisce il risultato con l'analisi strutturale: sequenza dei gradi, densità del grafo, componenti connesse e potenze della matrice. Rileva automaticamente se l'input descrive un grafo orientato o non orientato e genera una visualizzazione SVG interattiva per ogni risultato.

Cos'è una Matrice di Adiacenza?

Dato un grafo G = (V, E) con n vertici, la sua matrice di adiacenza è la matrice quadrata n × n A il cui elemento A[i][j] è 1 se esiste un arco dal vertice i al vertice j, e 0 altrimenti.

A[i][j] = 1 se (vi, vj) ∈ E , altrimenti 0

Per un grafo non orientato, la matrice di adiacenza è sempre simmetrica: ogni arco {u, v} contribuisce sia ad A[u][v] = 1 che ad A[v][u] = 1. Per un grafo orientato (digrafo), la matrice può essere asimmetrica, riflettendo la direzione di ogni arco.

Tre Rappresentazioni — Scegli Quella Adatta al Tuo Problema

Rappresentazione Spazio Ricerca Arco Elenco Vicini Ideale per
Matrice di adiacenza Θ(n²) O(1) Θ(n) Grafi densi; algebra matriciale (potenze, autovalori)
Elenco di adiacenza Θ(n + m) O(deg v) Θ(deg v) Grafi sparsi; algoritmi BFS/DFS e percorso minimo
Elenco di archi Θ(m) Θ(m) Θ(m) Input/output, MST di Kruskal, algoritmi incentrati sugli archi

Metriche Chiave Calcolate

Sequenza dei Gradi

Per i grafi non orientati, il grado di un vertice è il numero di archi incidenti ad esso (con i self-loop che contano due volte). Per i grafi orientati, ogni vertice ha un grado in entrata (archi entranti) e un grado in uscita (archi uscenti). L'elenco ordinato dei gradi è un classico invariante del grafo utilizzato nei test di isomorfismo e nel teorema di realizzabilità di Erdős–Gallai.

Lemma della stretta di mano: Σ deg(v) = 2m (non orientato) Σ grado-in(v) = Σ grado-out(v) = m (orientato)

Densità del Grafo

La densità misura quanto un grafo sia "pieno" rispetto al numero massimo di archi possibili su n vertici.

Non orientato: D = 2m / (n(n−1)) Orientato: D = m / (n(n−1))

Una densità pari a 0 significa assenza di archi, 1 significa che il grafo è completo e valori inferiori a 0,1 indicano tipicamente un grafo sparso dove un elenco di adiacenza è più efficiente in termini di spazio rispetto a una matrice.

Componenti Connesse

Una componente connessa è un sottoinsieme massimale di vertici tale che ogni coppia sia unita da un cammino. Per i grafi orientati, questo calcolatore riporta le componenti debolmente connesse (ignorando la direzione delle frecce) — gli stessi sottoinsiemi che si otterrebbero trattando ogni arco come un arco non orientato.

Potenze della Matrice (A², A³ ... )

Un teorema fondamentale della teoria dei grafi algebrici afferma che l'elemento (i, j) di Ak è uguale al numero di cammini di lunghezza esattamente k dal vertice i al vertice j. Di conseguenza:

Formati di Input Accettati

1. Elenco archi

Un arco per riga o separati da virgola. Funziona con qualsiasi separatore: A-B, A B, A,B, A->B, A--B. Usa -> se desideri forzare l'interpretazione orientata.

A-B, B-C, C-A, C-D (ciclo di 4 con coda non orientato) A->B, B->C, C->D, D->A (ciclo orientato di lunghezza 4)

2. Elenco adiacenza

Una riga per vertice, nella forma vertice: vicino1, vicino2, .... L'ordine non conta; i vertici mancanti vengono aggiunti automaticamente dagli elenchi dei vicini.

A: B, C, D B: A, C C: A, B, D D: A, C

3. Matrice di adiacenza

Una riga per riga con valori 0/1 separati da spazi o virgole. La matrice deve essere quadrata. Opzionalmente, fornisci etichette personalizzate nel campo Etichette della matrice (altrimenti verranno usate A, B, C…).

0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0

Come Usare Questo Calcolatore

  1. Scegli un formato di input usando il selettore a schede: elenco archi, elenco adiacenza o matrice di adiacenza.
  2. Incolla o digita il tuo grafo nell'area di testo. Per l'input della matrice, aggiungi etichette opzionali nel campo Etichette della matrice.
  3. Seleziona il tipo di grafo — lascia su Rilevamento automatico e il calcolatore dedurrà l'orientamento dalle frecce (->) o dalla simmetria della matrice. Forza su Orientato o Non orientato se desideri ignorare il rilevamento.
  4. Clicca su Converti e Analizza Grafo. La pagina dei risultati mostra la matrice di adiacenza, un rendering SVG interattivo, le altre due rappresentazioni testuali, le statistiche sui gradi, le componenti connesse e le matrici dei cammini A² e A³ quando il grafo è abbastanza piccolo.
  5. Passa il mouse su una riga della matrice o su un nodo del grafo per illuminare la riga/colonna corrispondente e gli archi incidenti — una prova visiva istantanea che ogni formato codifica le stesse informazioni.

Esempio Svolto

Considera un grafo non orientato sui vertici {A, B, C, D} con archi AB, BC, CA, CD. La matrice di adiacenza è:

A B C D A [ 0 1 1 0 ] B [ 1 0 1 0 ] C [ 1 1 0 1 ] D [ 0 0 1 0 ]

Fatti chiave derivati dal calcolatore:

Applicazioni Comuni

Domande Frequenti

Cos'è una matrice di adiacenza?

Una matrice di adiacenza è una matrice quadrata n × n utilizzata per rappresentare un grafo finito. Ogni cella A[i][j] è 1 se esiste un arco dal vertice i al vertice j, e 0 altrimenti. Per i grafi non orientati la matrice è simmetrica, quindi A[i][j] = A[j][i]. La matrice rende facile verificare se due vertici sono connessi in tempo costante, e le potenze della matrice codificano il numero di cammini tra i vertici.

Come posso capire se un grafo è orientato dalla sua matrice di adiacenza?

Se la matrice di adiacenza è simmetrica, ovvero A[i][j] è uguale ad A[j][i] per ogni coppia di indici, il grafo non è orientato. Se esiste almeno una coppia in cui A[i][j] differisce da A[j][i], il grafo è orientato. Questo calcolatore esegue automaticamente il controllo di simmetria quando si sceglie l'opzione Rilevamento automatico.

Cosa rappresenta la k-esima potenza di una matrice di adiacenza?

L'elemento (i, j) di A^k conta il numero di cammini di lunghezza esattamente k dal vertice i al vertice j. Ad esempio, A²[i][j] è il numero di percorsi in 2 passaggi, che equivale al numero di vicini comuni tra i e j nei grafi non orientati. Questa proprietà viene utilizzata negli algoritmi per il conteggio dei triangoli, la raggiungibilità e i calcoli di tipo PageRank.

Cos'è la densità del grafo?

La densità del grafo è il rapporto tra il numero di archi presenti e il numero massimo possibile di archi. Per un grafo semplice non orientato con n vertici, densità = 2m / (n(n-1)). Per un grafo orientato, densità = m / (n(n-1)). Una densità prossima a 0 indica un grafo sparso; una densità di 1 indica un grafo completo.

In che modo una matrice di adiacenza differisce da un elenco di adiacenza?

Una matrice di adiacenza memorizza la connettività per ogni coppia di vertici utilizzando n² bit, rendendo la ricerca del vicino O(1) ma l'uso della memoria O(n²). Un elenco di adiacenza memorizza solo i vicini effettivi di ciascun vertice, fornendo una memoria O(n + m), che è molto più piccola per i grafi sparsi, ma la ricerca del vicino richiede una scansione lineare. Le matrici sono migliori per i grafi densi e le operazioni di algebra matriciale; gli elenchi sono migliori per i grafi sparsi e gli algoritmi di attraversamento come BFS/DFS.

Questo strumento può gestire grafi pesati?

L'attuale calcolatore si concentra su matrici di adiacenza non pesate con voci 0/1. Se si incolla una matrice con pesi numerici diversi da zero, ogni cella diversa da zero viene trattata come 1 per l'analisi strutturale. Per i calcoli sui grafi pesati come il percorso minimo, considera uno strumento specifico per grafi pesati.

Ulteriori Letture

Cita questo contenuto, pagina o strumento come:

"Calcolatore di Matrice di Adiacenza" su https://MiniWebtool.com/it/calcolatore-di-matrice-di-adiacenza/ di MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

dal team di miniwebtool. Aggiornato: 20 aprile 2026

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