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Calcolatore Spazio Colonna

Trova lo spazio delle colonne e la base di qualsiasi matrice usando la riduzione a gradini. Visualizza ogni operazione sulle righe passo dopo passo con evidenziazione delle colonne pivot, rango, dimensione e visualizzazione interattiva per spazi delle colonne 2D/3D.

Calcolatore Spazio Colonna
Esempi:
Righe:
Colonne:
Matrice A: 3×3
Matrice A 3×3
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Calcolatore Spazio Colonna

Il Calcolatore Spazio Colonna trova lo spazio colonna (chiamato anche immagine) di qualsiasi matrice eseguendo la riduzione a gradini in forma canonica (RREF). Identifica le colonne pivot, estrae i vettori di base corrispondenti dalla matrice originale e calcola il rango e la nullità. Il player passo-passo mostra ogni operazione sulle righe — scambi, scalature ed eliminazioni — così puoi seguire l'intero processo. Per le matrici 2D e 3D, una visualizzazione interattiva mostra lo spazio colonna come una retta, un piano o lo spazio intero.

Cos'è lo Spazio Colonna?

Lo spazio colonna di una matrice A (scritto Col(A) o Im(A)) è l'insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori colonna di A. In altre parole, è lo span delle colonne:

$$\text{Col}(A) = \{ A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \} = \text{span}(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n)$$

Lo spazio colonna è un sottospazio di \(\mathbb{R}^m\), dove m è il numero di righe. La sua dimensione è uguale al rango della matrice.

Come Trovare lo Spazio Colonna

  1. Scrivi la matrice A — disponi i tuoi vettori come colonne.
  2. Riduci a RREF — applica l'eliminazione gaussiana (scambi di riga, scalatura ed eliminazione) finché la matrice non è in forma a gradini ridotta.
  3. Identifica le colonne pivot — le colonne che contengono un 1 principale (pivot) nella RREF.
  4. Estrai la base dalla matrice originale — le colonne della matrice originale A nelle posizioni pivot formano una base per lo spazio colonna.

Concetti Chiave

◈
Rango
Dimensione dello spazio colonna = numero di colonne pivot
◯
Nullità
Dimensione del nucleo (null space) = numero di variabili libere
⊞
Teorema Rango-Nullità
rango(A) + nullità(A) = numero di colonne
↔
Colonna Pivot
Una colonna contenente un 1 principale nella RREF

Spazio Colonna vs. Spazio Riga vs. Nucleo (Null Space)

SottospazioDefinizioneDimensioneAppartiene a
Spazio Colonna (Col A)Span delle colonne di Arango(A)ℝm
Spazio Riga (Row A)Span delle righe di Arango(A)ℝn
Nucleo / Null Space (Null A)Soluzioni di Ax = 0nullità(A)ℝn
Nucleo SinistroSoluzioni di ATx = 0m − rango(A)ℝm

Come Usare il Calcolatore Spazio Colonna

  1. Imposta le dimensioni — Scegli il numero di righe e colonne per la tua matrice (fino a 6×6).
  2. Inserisci i valori — Digita i numeri in ogni cella. Usa gli esempi rapidi per matrici predefinite con diversi ranghi.
  3. Calcola — Clicca su "Trova Spazio Colonna" per vedere l'analisi completa.
  4. Esplora i risultati — Usa il player dei passaggi per guardare ogni operazione sulle righe. Esamina le colonne pivot evidenziate, i vettori di base e la scomposizione rango-nullità. Per matrici piccole, controlla la visualizzazione geometrica.

Domande Frequenti

Cos'è lo spazio colonna di una matrice?

Lo spazio colonna di una matrice A è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari dei suoi vettori colonna. È anche chiamato immagine della matrice. Geometricamente, rappresenta tutti i vettori che possono essere raggiunti applicando la trasformazione della matrice.

Come si trova lo spazio colonna di una matrice?

Riduci la matrice in forma a gradini ridotta (RREF). Identifica le colonne pivot nella RREF. Le colonne corrispondenti della matrice originale formano una base per lo spazio colonna.

Qual è la relazione tra rango e spazio colonna?

Il rango di una matrice è uguale alla dimensione del suo spazio colonna. È il numero di colonne linearmente indipendenti, che equivale al numero di colonne pivot nella RREF.

Cos'è il teorema del rango-nullità?

Il teorema del rango-nullità afferma che per una matrice A di m×n, rango(A) + nullità(A) = n, dove n è il numero di colonne. Il rango è la dimensione dello spazio colonna e la nullità è la dimensione del nucleo (null space).

Lo spazio colonna può essere vuoto?

Lo spazio colonna contiene sempre almeno il vettore nullo. Se la matrice è la matrice nulla, lo spazio colonna è semplicemente l'insieme del vettore nullo. Per qualsiasi matrice non nulla, lo spazio colonna è un sottospazio non triviale.

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