Calcolatore Spazio Colonna
Trova l'immagine di una matrice con il calcolatore dello spazio delle colonne di MiniWebtool. La riduzione per righe individua le colonne pivot; le corrispondenti colonne originali formano una base. Rango, nullità e operazioni passo per passo spiegano il risultato.
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Inserisci una matrice per ottenere una base del suo spazio delle colonne, il rango e la dimensione, con ogni passaggio di riduzione per righe e le colonne pivot evidenziate.
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Calcolatore Spazio Colonna
Il Calcolatore Spazio Colonna trova lo spazio colonna (chiamato anche immagine) di qualsiasi matrice eseguendo la riduzione a gradini in forma canonica (RREF). Identifica le colonne pivot, estrae i vettori di base corrispondenti dalla matrice originale e calcola il rango e la nullità. Il player passo-passo mostra ogni operazione sulle righe — scambi, scalature ed eliminazioni — così puoi seguire l'intero processo. Per le matrici 2D e 3D, una visualizzazione interattiva mostra lo spazio colonna come una retta, un piano o lo spazio intero.
In sintesi
Il Calcolatore Spazio Colonna trova lo spazio delle colonne di una matrice portandola alla forma a scala ridotta per righe. Restituisce una base dalle colonne pivot originali, oltre a rango, nullità e ogni operazione sulle righe.
| Funzione | Cosa offre | Ideale per |
|---|---|---|
| Dimensione della matrice | Scegliere righe e colonne, fino a 6×6, poi digitare un numero in ogni cella. | Compiti di algebra lineare con matrici fino a 6×6 |
| Vettori della base | Le colonne pivot si trovano nella forma a scala ridotta per righe. Le colonne corrispondenti della matrice originale formano una base. | Descrivere lo spazio generato da un insieme di vettori colonna |
| Rango e nullità | Il rango è il numero di colonne pivot e la nullità è il numero di variabili libere. Viene mostrata la scomposizione rango-nullità. | Verificare che rango più nullità sia uguale al numero di colonne |
| Riproduttore dei passaggi | Esegue ogni scambio di righe, ogni scalatura ed eliminazione, con i pulsanti primo, precedente, successivo, ultimo e riproduci. | Seguire la riduzione per righe un passo alla volta |
| Vista geometrica | Per matrici 2D e 3D lo spazio delle colonne è disegnato come una retta, un piano o l'intero spazio. | Immaginare ciò che generano le colonne |
| Esempi rapidi | Matrici preimpostate: rango 2 (3×3), 3×3 di rango pieno, rango 1 (3×3), rettangolare 3×4 e colonne dipendenti. | Vedere come cambia il rango da una matrice all'altra |
Cos'è lo Spazio Colonna?
Lo spazio colonna di una matrice A (scritto Col(A) o Im(A)) è l'insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori colonna di A. In altre parole, è lo span delle colonne:
$$\text{Col}(A) = \{ A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \} = \text{span}(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n)$$
Lo spazio colonna è un sottospazio di \(\mathbb{R}^m\), dove m è il numero di righe. La sua dimensione è uguale al rango della matrice.
Come Trovare lo Spazio Colonna
- Scrivi la matrice A — disponi i tuoi vettori come colonne.
- Riduci a RREF — applica l'eliminazione gaussiana (scambi di riga, scalatura ed eliminazione) finché la matrice non è in forma a gradini ridotta.
- Identifica le colonne pivot — le colonne che contengono un 1 principale (pivot) nella RREF.
- Estrai la base dalla matrice originale — le colonne della matrice originale A nelle posizioni pivot formano una base per lo spazio colonna.
Concetti Chiave
Spazio Colonna vs. Spazio Riga vs. Nucleo (Null Space)
| Sottospazio | Definizione | Dimensione | Appartiene a |
|---|---|---|---|
| Spazio Colonna (Col A) | Span delle colonne di A | rango(A) | ℝm |
| Spazio Riga (Row A) | Span delle righe di A | rango(A) | ℝn |
| Nucleo / Null Space (Null A) | Soluzioni di Ax = 0 | nullità(A) | ℝn |
| Nucleo Sinistro | Soluzioni di ATx = 0 | m − rango(A) | ℝm |
Come Usare il Calcolatore Spazio Colonna
- Imposta le dimensioni — Scegli il numero di righe e colonne per la tua matrice (fino a 6×6).
- Inserisci i valori — Digita i numeri in ogni cella. Usa gli esempi rapidi per matrici predefinite con diversi ranghi.
- Calcola — Clicca su "Trova Spazio Colonna" per vedere l'analisi completa.
- Esplora i risultati — Usa il player dei passaggi per guardare ogni operazione sulle righe. Esamina le colonne pivot evidenziate, i vettori di base e la scomposizione rango-nullità. Per matrici piccole, controlla la visualizzazione geometrica.
Domande Frequenti
Cos'è lo spazio colonna di una matrice?
Lo spazio colonna di una matrice A è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari dei suoi vettori colonna. È anche chiamato immagine della matrice. Geometricamente, rappresenta tutti i vettori che possono essere raggiunti applicando la trasformazione della matrice.
Come si trova lo spazio colonna di una matrice?
Riduci la matrice in forma a gradini ridotta (RREF). Identifica le colonne pivot nella RREF. Le colonne corrispondenti della matrice originale formano una base per lo spazio colonna.
Qual è la relazione tra rango e spazio colonna?
Il rango di una matrice è uguale alla dimensione del suo spazio colonna. È il numero di colonne linearmente indipendenti, che equivale al numero di colonne pivot nella RREF.
Cos'è il teorema del rango-nullità?
Il teorema del rango-nullità afferma che per una matrice A di m×n, rango(A) + nullità(A) = n, dove n è il numero di colonne. Il rango è la dimensione dello spazio colonna e la nullità è la dimensione del nucleo (null space).
Lo spazio colonna può essere vuoto?
Lo spazio colonna contiene sempre almeno il vettore nullo. Se la matrice è la matrice nulla, lo spazio colonna è semplicemente l'insieme del vettore nullo. Per qualsiasi matrice non nulla, lo spazio colonna è un sottospazio non triviale.
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dal team MiniWebtool. Aggiornato: 2026-04-12
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