Calcolatore del Rotore

Calcola il rotore ∇×F di qualsiasi campo vettoriale 2D o 3D con l'espansione del determinante del prodotto vettoriale passo dopo passo. Inserisci le funzioni componenti P, Q (e R per il 3D), ottieni il rotore simbolico, valuta in un punto, identifica i campi irrotazionali e visualizza un'interazione del campo vettoriale con sovrapposizione della vorticità.

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Calcolatore del Rotore

Il Calcolatore del Rotore calcola il rotore ∇×F di qualsiasi campo vettoriale 2D o 3D con l'espansione completa passo dopo passo del determinante del prodotto vettoriale. Inserisci le componenti del tuo campo vettoriale P, Q (e R per il 3D), opzionalmente effettua la valutazione in un punto specifico e ottieni il rotore simbolico, la classificazione della rotazione e, per i campi 2D, una visualizzazione interattiva con una mappa di calore della vorticità e un flusso di particelle animato che mostra il comportamento rotazionale del campo.

Cos'è il rotore?

Il rotore di un campo vettoriale $\mathbf{F}$ misura la rotazione infinitesimale del campo in ogni punto. Per un campo 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$, il rotore viene calcolato come un prodotto vettoriale:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

L'espansione del determinante fornisce il vettore rotore:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

Per un campo 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, il rotore si riduce allo scalare $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$, che rappresenta la rotazione nel piano xy.

Significato Fisico del Rotore

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Rotazione Antioraria (rotore > 0)

Una minuscola ruota a pale posizionata qui ruoterebbe in senso antiorario. Il campo circola in direzione positiva.

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Rotazione Oraria (rotore < 0)

Una minuscola ruota a pale posizionata qui ruoterebbe in senso orario. Il campo circola in direzione negativa.

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Irrotazionale (rotore = 0)

Nessuna rotazione netta — il campo è conservativo. Esiste una funzione potenziale φ tale che F = ∇φ.

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Teorema di Stokes

L'integrale di superficie del rotore è uguale all'integrale di linea lungo il bordo: circolazione = rotazione totale.

Formule del Rotore in Diversi Sistemi di Coordinate

Sistema di Coordinate	Formula del Rotore
Cartesiano 2D	$\text{rot}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (scalare)
Cartesiano 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
Cilindrico	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
Sferico	Vedi espansione completa usando i fattori di scala $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$

Importanti Identità che Coinvolgono il Rotore

Identità	Formula
Rotore del gradiente	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (sempre zero — i gradienti sono irrotazionali)
Divergenza del rotore	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (sempre zero — i rotori sono solenoidali)
Linearità	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
Regola del prodotto	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
Teorema di Stokes	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

Applicazioni del Rotore

Campo	Applicazione	Cosa Rappresenta il Rotore
Elettromagnetismo	Legge di Faraday	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — i campi magnetici variabili creano campi elettrici circolanti
Elettromagnetismo	Legge di Ampère	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — le correnti elettriche creano campi magnetici circolanti
Dinamica dei Fluidi	Vorticità	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — misura come ruota localmente il fluido
Meccanica	Velocità angolare	Per la rotazione di un corpo rigido $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$, il rotore dà $2\boldsymbol{\omega}$
Campi conservativi	Indipendenza dal percorso	Se $\nabla \times \mathbf{F} = 0$, gli integrali di linea sono indipendenti dal percorso e esiste un potenziale

Come usare il Calcolatore del Rotore

Scegli la dimensione: Seleziona 2D per i campi F = ⟨P, Q⟩ (rotore scalare) o 3D per F = ⟨P, Q, R⟩ (rotore vettoriale) usando i pulsanti di commutazione.
Inserisci le funzioni componenti: Digita ogni funzione componente (P, Q e opzionalmente R) usando la notazione standard. Usa ^ per gli esponenti, * per la moltiplicazione e funzioni come sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). La moltiplicazione implicita è supportata (es. 2x = 2*x).
Inserisci un punto di valutazione (opzionale): Fornisci le coordinate separate da virgola per valutare il rotore numericamente e classificare la direzione di rotazione.
Clicca su Calcola Rotore: Visualizza il rotore simbolico, l'espansione del determinante del prodotto vettoriale passo dopo passo, la valutazione numerica e la classificazione della rotazione.
Esplora la visualizzazione: Per i campi 2D, visualizza le frecce del campo vettoriale con una mappa di calore della vorticità (arancione = antiorario, viola = orario) e il flusso animato di particelle.

Esempio Svolto

Trova il rotore di $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ nel punto $(1, 2, 3)$:

Passaggio 1: Scrivi il determinante: $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

Passaggio 2: Espandi: $\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

Passaggio 3: Il rotore è identicamente zero — questo campo è irrotazionale (conservativo). Infatti, $\mathbf{F} = \nabla(xyz)$, confermando l'esistenza di una funzione potenziale.

Rotore vs. Divergenza

Proprietà	Rotore (∇×F)	Divergenza (∇·F)
Tipo di operatore	Prodotto vettoriale con ∇	Prodotto scalare con ∇
Output	Vettore (3D) / Scalare (2D)	Scalare
Misura	Rotazione / circolazione	Espansione / contrazione
Zero significa	Irrotazionale / conservativo	Solenoidale / incompressibile
Teorema	Teorema di Stokes	Teorema della divergenza (Gauss)

FAQ

Cos'è il rotore di un campo vettoriale?

Il rotore di un campo vettoriale misura la tendenza alla rotazione o circolazione in ogni punto. Per un campo 3D F = (P, Q, R), il rotore è un vettore calcolato tramite il prodotto vettoriale dell'operatore nabla con F: ∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y). Un rotore positivo indica una rotazione antioraria, negativo indica una rotazione oraria.

Come si calcola il rotore?

Per calcolare il rotore di un campo vettoriale 3D, imposta un determinante 3×3 con i vettori unitari i, j, k nella prima riga, gli operatori di derivata parziale ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z nella seconda riga e le componenti del campo P, Q, R nella terza riga. Espandi il determinante usando lo sviluppo di Laplace lungo la prima riga per ottenere ogni componente del vettore rotore.

Cosa significa quando il rotore è zero?

Quando il rotore è ovunque zero, il campo vettoriale è detto irrotazionale o conservativo. Ciò significa che esiste una funzione potenziale scalare φ tale che F = ∇φ, e l'integrale di linea di F lungo qualsiasi percorso chiuso è zero. I campi gravitazionali e i campi elettrostatici sono esempi di campi irrotazionali.

Qual è la differenza tra rotore e divergenza?

Il rotore misura la rotazione e produce un vettore (in 3D), mentre la divergenza misura l'espansione o la contrazione e produce uno scalare. Il rotore usa il prodotto vettoriale di nabla con F (∇×F), mentre la divergenza usa il prodotto scalare (∇·F). Un campo può avere rotore diverso da zero ma divergenza zero (come F = (−y, x, 0)), o rotore zero ma divergenza diversa da zero (come F = (x, y, z)).

Qual è il significato fisico del rotore?

Fisicamente, il rotore misura la tendenza di un campo vettoriale a circolare o ruotare attorno a un punto. Immagina di posizionare una minuscola ruota a pale in un flusso di fluido: il rotore ti dice quanto velocemente e in quale direzione ruoterebbe la ruota a pale. Nell'elettromagnetismo, il rotore appare nella legge di Faraday (i campi magnetici variabili creano campi elettrici circolanti) e nella legge di Ampère (le correnti creano campi magnetici circolanti). Nella dinamica dei fluidi, il rotore della velocità è chiamato vorticità.

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Esempio Svolto

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Strumenti in primo piano:

Sistema di Coordinate	Formula del Rotore
Cartesiano 2D	\(\text{rot}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (scalare)
Cartesiano 3D	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle\)
Cilindrico	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle\)
Sferico	Vedi espansione completa usando i fattori di scala \(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta\)

Identità	Formula
Rotore del gradiente	\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\) (sempre zero — i gradienti sono irrotazionali)
Divergenza del rotore	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (sempre zero — i rotori sono solenoidali)
Linearità	\(\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})\)
Regola del prodotto	\(\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)
Teorema di Stokes	\(\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

Campo	Applicazione	Cosa Rappresenta il Rotore
Elettromagnetismo	Legge di Faraday	\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) — i campi magnetici variabili creano campi elettrici circolanti
Elettromagnetismo	Legge di Ampère	\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) — le correnti elettriche creano campi magnetici circolanti
Dinamica dei Fluidi	Vorticità	\(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}\) — misura come ruota localmente il fluido
Meccanica	Velocità angolare	Per la rotazione di un corpo rigido \(\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\), il rotore dà \(2\boldsymbol{\omega}\)
Campi conservativi	Indipendenza dal percorso	Se \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), gli integrali di linea sono indipendenti dal percorso e esiste un potenziale