Calcolatore della Regola di Simpson

Approssima integrali definiti con la regola di Simpson 1/3, 3/8 e composita. Include visualizzazione parabolica interattiva, stima dell'errore, analisi di convergenza, confronto tra metodi e soluzioni passo per passo.

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Calcolatore della Regola di Simpson

Il Calcolatore della Regola di Simpson è un potente strumento di integrazione numerica che approssima gli integrali definiti adattando curve paraboliche (regola 1/3) o curve cubiche (regola 3/8) attraverso punti campionati. A differenza della regola del trapezio che utilizza linee rette tra i punti, la regola di Simpson cattura la curvatura della funzione, fornendo un'accuratezza di ordine O(h⁴) — rendendolo uno dei metodi più utilizzati nel calcolo, nell'ingegneria e nel calcolo scientifico.

Caratteristiche principali

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Supporto Doppia Regola

Scegli tra la regola di Simpson 1/3 (interpolazione quadratica, n pari) e la regola 3/8 (interpolazione cubica, n divisibile per 3). Entrambe sono calcolate con soluzioni complete MathJax passaggio dopo passaggio.

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Visualizzazione Interattiva

Guarda i segmenti parabolici disegnati sotto la curva. Passa il mouse per evidenziare i singoli segmenti e visualizzare le loro aree. Anima la convergenza o usa lo slider per esplorare diversi valori di n.

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Confronto Metodi

Confronta automaticamente i risultati di Simpson 1/3, 3/8, del trapezio e del punto medio affiancati per la stessa funzione e limiti. Scopri quale metodo fornisce la migliore approssimazione.

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Analisi dell'Errore

Calcolo automatico del limite di errore utilizzando la derivata quarta. La formula dell'errore $ |E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max|f^{(4)}| $ ti dice esattamente quanto è accurata la tua approssimazione.

Come usare il Calcolatore della Regola di Simpson

Inserisci la tua funzione — Digita un'espressione matematica f(x) come x^2, sin(x), exp(-x^2) o qualsiasi combinazione di funzioni supportate.
Imposta i limiti di integrazione — Inserisci il limite inferiore (a) e il limite superiore (b) e scegli il numero di sottointervalli (n).
Scegli una regola — Seleziona la Regola di Simpson 1/3 (richiede n pari, adattato automaticamente se dispari) o la Regola 3/8 (richiede n divisibile per 3, adattato automaticamente).
Clicca su Calcola — Lo strumento calcola l'approssimazione con una soluzione completa passaggio dopo passaggio renderizzata in MathJax.
Esplora i risultati — Interagisci con la visualizzazione parabolica, esamina le aree per segmento, confronta i metodi e studia l'analisi di convergenza.

Spiegazione della Regola di Simpson 1/3

La regola di Simpson 1/3 composta divide [a, b] in n sottointervalli uguali (n deve essere pari) e adatta una parabola ogni tre punti consecutivi:

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

dove $ \Delta x = \frac{b - a}{n} $. I coefficienti seguono lo schema 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1. Ogni coppia di sottointervalli utilizza un polinomio quadratico che passa per tre punti, catturando la curvatura della funzione molto meglio dell'interpolazione lineare.

Spiegazione della Regola di Simpson 3/8

La regola 3/8 utilizza l'interpolazione cubica su gruppi di tre sottointervalli (n deve essere divisibile per 3):

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

I coefficienti seguono lo schema 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1. Sebbene entrambe le regole raggiungano l'accuratezza O(h⁴), la regola 3/8 è utile quando n non è pari.

Confronto dell'Errore

Metodo	Ordine Errore	Limite Errore	Esatto Per
Trapezio	$ O(h^2) $	$ \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| $	Funzioni lineari
Simpson 1/3	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max\|f^{(4)}\| $	Cubiche e inferiori
Simpson 3/8	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max\|f^{(4)}\| $	Cubiche e inferiori

Raddoppiare n riduce l'errore della regola di Simpson di circa 16 volte, rispetto a sole 4 volte per la regola del trapezio. Questo fa sì che la regola di Simpson converga molto più velocemente per le funzioni regolari.

Quando usare ciascuna regola

Regola di Simpson 1/3 — Ideale per la maggior parte delle applicazioni. Usala quando n è pari (o può essere reso pari). È la più accurata per valutazione di funzione tra le tre formule di Newton-Cotes di base.
Regola di Simpson 3/8 — Usala quando n è un multiplo di 3 ma non è pari. Utile anche nelle formule composte quando si combina con la regola 1/3 per gestire conteggi di sottointervalli dispari.
Regola del Trapezio — Da preferire quando i dati sono spaziati in modo non uniforme, n è dispari e piccolo, o la semplicità conta più dell'accuratezza. È migliore anche per funzioni con discontinuità nelle derivate superiori.

Funzioni Supportate

Questo calcolatore supporta una vasta gamma di funzioni matematiche:

Polinomi: x^2, x^3 + 2x - 1, x^5 - 3x^3 + 2
Trigonometriche: sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x)
Esponenziali/Logaritmiche: exp(x), ln(x), log(x)
Radici: sqrt(x)
Costanti: pi, e
Combinazioni: sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2), sqrt(1+x^3)

Domande Frequenti

Cos'è la regola di Simpson?

La regola di Simpson è un metodo di integrazione numerica che approssima gli integrali definiti adattando parabole (o curve cubiche) attraverso punti campionati. È significativamente più accurata della regola del trapezio per funzioni regolari, con un errore di ordine O(h⁴) rispetto a O(h²).

Qual è la differenza tra le regole di Simpson 1/3 e 3/8?

La regola di Simpson 1/3 utilizza l'interpolazione quadratica (parabolica) su coppie di sottointervalli e richiede un numero pari di sottointervalli. La regola di Simpson 3/8 utilizza l'interpolazione cubica su triple di sottointervalli e richiede n divisibile per 3. La regola 1/3 è generalmente più accurata per lo stesso n, ma la regola 3/8 è utile quando n non è pari.

Perché la regola di Simpson 1/3 richiede un numero pari di sottointervalli?

La regola di Simpson 1/3 funziona adattando una parabola attraverso tre punti consecutivi (due sottointervalli alla volta). Poiché ogni segmento parabolico copre esattamente 2 sottointervalli, il numero totale di sottointervalli deve essere pari per una copertura completa.

Quanto è accurata la regola di Simpson rispetto alla regola del trapezio?

La regola di Simpson 1/3 ha un errore di O(h⁴), mentre la regola del trapezio ha O(h²). Ciò significa che raddoppiando il numero di sottointervalli si riduce l'errore di Simpson di circa 16 volte, rispetto a sole 4 volte per la regola del trapezio. Per le funzioni regolari, la regola di Simpson è significativamente più accurata.

Quali funzioni posso inserire nel calcolatore?

Puoi inserire polinomi come x^2 o x^3-2x+1, funzioni trigonometriche come sin(x) e cos(x), funzioni esponenziali e logaritmiche come exp(x) e ln(x), radici come sqrt(x) e combinazioni. Sono supportate anche le costanti pi ed e. Usa ^ per gli esponenti e la notazione standard delle funzioni.

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Calcolatore della Regola di Simpson

Calcolatore della Regola di Simpson

Caratteristiche principali

Come usare il Calcolatore della Regola di Simpson

Spiegazione della Regola di Simpson 1/3

Spiegazione della Regola di Simpson 3/8

Confronto dell'Errore

Quando usare ciascuna regola

Funzioni Supportate

Domande Frequenti

Calcolo:

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Metodo	Ordine Errore	Limite Errore	Esatto Per
Trapezio	\( O(h^2) \)	\( \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| \)	Funzioni lineari
Simpson 1/3	\( O(h^4) \)	\( \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max\|f^{(4)}\| \)	Cubiche e inferiori
Simpson 3/8	\( O(h^4) \)	\( \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max\|f^{(4)}\| \)	Cubiche e inferiori