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Calcolatore della Regola di Simpson

Approssima integrali definiti utilizzando la regola di Simpson 1/3, la regola 3/8 e la regola di Simpson composta. Include visualizzazione parabolica interattiva, stima dell'errore, analisi di convergenza, confronto tra metodi e soluzioni dettagliate in MathJax.

Calcolatore della Regola di Simpson
Prova:
ANTEPRIMA IN TEMPO REALE
∿ Funzione
Supporta: x^2, sqrt(x), sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), pi, e
📏 Limiti e Suddivisioni
Nota: n verrà adattato al numero pari più vicino.
Nota: n verrà adattato al multiplo di 3 più vicino.

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Calcolatore della Regola di Simpson

Il Calcolatore della Regola di Simpson è un potente strumento di integrazione numerica che approssima gli integrali definiti adattando curve paraboliche (regola 1/3) o curve cubiche (regola 3/8) attraverso punti campionati. A differenza della regola del trapezio che utilizza linee rette tra i punti, la regola di Simpson cattura la curvatura della funzione, fornendo un'accuratezza di ordine O(h⁴) — rendendolo uno dei metodi più utilizzati nel calcolo, nell'ingegneria e nel calcolo scientifico.

Caratteristiche principali

∿
Supporto Doppia Regola
Scegli tra la regola di Simpson 1/3 (interpolazione quadratica, n pari) e la regola 3/8 (interpolazione cubica, n divisibile per 3). Entrambe sono calcolate con soluzioni complete MathJax passaggio dopo passaggio.
📐
Visualizzazione Interattiva
Guarda i segmenti parabolici disegnati sotto la curva. Passa il mouse per evidenziare i singoli segmenti e visualizzare le loro aree. Anima la convergenza o usa lo slider per esplorare diversi valori di n.
⚖
Confronto Metodi
Confronta automaticamente i risultati di Simpson 1/3, 3/8, del trapezio e del punto medio affiancati per la stessa funzione e limiti. Scopri quale metodo fornisce la migliore approssimazione.
⚡
Analisi dell'Errore
Calcolo automatico del limite di errore utilizzando la derivata quarta. La formula dell'errore \( |E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max|f^{(4)}| \) ti dice esattamente quanto è accurata la tua approssimazione.

Come usare il Calcolatore della Regola di Simpson

  1. Inserisci la tua funzione — Digita un'espressione matematica f(x) come x^2, sin(x), exp(-x^2) o qualsiasi combinazione di funzioni supportate.
  2. Imposta i limiti di integrazione — Inserisci il limite inferiore (a) e il limite superiore (b) e scegli il numero di sottointervalli (n).
  3. Scegli una regola — Seleziona la Regola di Simpson 1/3 (richiede n pari, adattato automaticamente se dispari) o la Regola 3/8 (richiede n divisibile per 3, adattato automaticamente).
  4. Clicca su Calcola — Lo strumento calcola l'approssimazione con una soluzione completa passaggio dopo passaggio renderizzata in MathJax.
  5. Esplora i risultati — Interagisci con la visualizzazione parabolica, esamina le aree per segmento, confronta i metodi e studia l'analisi di convergenza.

Spiegazione della Regola di Simpson 1/3

La regola di Simpson 1/3 composta divide [a, b] in n sottointervalli uguali (n deve essere pari) e adatta una parabola ogni tre punti consecutivi:

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

dove \( \Delta x = \frac{b - a}{n} \). I coefficienti seguono lo schema 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1. Ogni coppia di sottointervalli utilizza un polinomio quadratico che passa per tre punti, catturando la curvatura della funzione molto meglio dell'interpolazione lineare.

Spiegazione della Regola di Simpson 3/8

La regola 3/8 utilizza l'interpolazione cubica su gruppi di tre sottointervalli (n deve essere divisibile per 3):

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

I coefficienti seguono lo schema 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1. Sebbene entrambe le regole raggiungano l'accuratezza O(h⁴), la regola 3/8 è utile quando n non è pari.

Confronto dell'Errore

MetodoOrdine ErroreLimite ErroreEsatto Per
Trapezio\( O(h^2) \)\( \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max|f''| \)Funzioni lineari
Simpson 1/3\( O(h^4) \)\( \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max|f^{(4)}| \)Cubiche e inferiori
Simpson 3/8\( O(h^4) \)\( \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max|f^{(4)}| \)Cubiche e inferiori

Raddoppiare n riduce l'errore della regola di Simpson di circa 16 volte, rispetto a sole 4 volte per la regola del trapezio. Questo fa sì che la regola di Simpson converga molto più velocemente per le funzioni regolari.

Quando usare ciascuna regola

Funzioni Supportate

Questo calcolatore supporta una vasta gamma di funzioni matematiche:

Domande Frequenti

Cos'è la regola di Simpson?
La regola di Simpson è un metodo di integrazione numerica che approssima gli integrali definiti adattando parabole (o curve cubiche) attraverso punti campionati. È significativamente più accurata della regola del trapezio per funzioni regolari, con un errore di ordine O(h⁴) rispetto a O(h²).
Qual è la differenza tra le regole di Simpson 1/3 e 3/8?
La regola di Simpson 1/3 utilizza l'interpolazione quadratica (parabolica) su coppie di sottointervalli e richiede un numero pari di sottointervalli. La regola di Simpson 3/8 utilizza l'interpolazione cubica su triple di sottointervalli e richiede n divisibile per 3. La regola 1/3 è generalmente più accurata per lo stesso n, ma la regola 3/8 è utile quando n non è pari.
Perché la regola di Simpson 1/3 richiede un numero pari di sottointervalli?
La regola di Simpson 1/3 funziona adattando una parabola attraverso tre punti consecutivi (due sottointervalli alla volta). Poiché ogni segmento parabolico copre esattamente 2 sottointervalli, il numero totale di sottointervalli deve essere pari per una copertura completa.
Quanto è accurata la regola di Simpson rispetto alla regola del trapezio?
La regola di Simpson 1/3 ha un errore di O(h⁴), mentre la regola del trapezio ha O(h²). Ciò significa che raddoppiando il numero di sottointervalli si riduce l'errore di Simpson di circa 16 volte, rispetto a sole 4 volte per la regola del trapezio. Per le funzioni regolari, la regola di Simpson è significativamente più accurata.
Quali funzioni posso inserire nel calcolatore?
Puoi inserire polinomi come x^2 o x^3-2x+1, funzioni trigonometriche come sin(x) e cos(x), funzioni esponenziali e logaritmiche come exp(x) e ln(x), radici come sqrt(x) e combinazioni. Sono supportate anche le costanti pi ed e. Usa ^ per gli esponenti e la notazione standard delle funzioni.

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dal team miniwebtool. Aggiornato: 2026-04-05

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