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Generatore di Spirografo

Genera classici motivi a rosetta spirografo. Simula le curve ipotrocoide ed epitrocoide tracciate da una penna mentre un cerchio piccolo rotola dentro o fuori uno più grande. Sovrapponi fino a tre penne, regola i raggi ed esporta SVG o PNG.

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L'anteprima si aggiorna mentre modifichi ciascun valore. Fai clic su Genera per un disegno ad alta risoluzione con animazione di riproduzione.

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● Pattern pronto
Ipotrocoide accorciata a 8 petali Ipotrocoide — il piccolo cerchio rotola all'interno (classico) · Simmetria d'ordine 8 · 1261 punti campionati · si chiude dopo 3 rivoluzionei
Ipotrocoide accorciata a 8 petali — Ipotrocoide — il piccolo cerchio rotola all'interno (classico)
Disegnato da R = 96, r = 36, d = 30, con mcd(R, r) = 12. La curva ha una simmetria rotazionale d'ordine 8 e si chiude esattamente dopo che il cerchio che rotola ha completato 3 rivoluzionei.
Rapporto R/r: 96:36 1 pennaa Arcobaleno (spettro completo)
ModalitàInterno
R / r / d96 / 36 / 30
MCD12
Lobi8
Penne1
Tavolozza:
Copiato ✓
Forma parametrica dell'ipotrocoide — la penna si trova sul cerchio piccolo che rotola all'interno:
\( x(t) = (R - r)\cos t + d\cos\!\left(\dfrac{R - r}{r}\, t\right) \)
\( y(t) = (R - r)\sin t - d\sin\!\left(\dfrac{R - r}{r}\, t\right) \)
Con R = 96, r = 36, d = 30, la curva si chiude dopo \( t \in [0, 2\pi \cdot 3] \).
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Generatore di Spirografo

Il Generatore di Spirografo simula le curve tracciate da un classico giocattolo Spirograph — splendide rosette perfettamente simmetriche formate quando un cerchio piccolo rotola all'interno (o all'esterno) di un cerchio fisso più grande mentre una penna sul cerchio piccolo lascia una traccia. Lo strumento utilizza le vere equazioni parametriche alla base di ipotrocoidi ed epitrocoidi, calcola l'esatto periodo del ciclo dal massimo comune divisore dei due raggi e consente di impilare fino a tre penne per un effetto mandala. Regola tre cursori, guarda l'anteprima dal vivo aggiornarsi in tempo reale, quindi esporta la curva ad alta risoluzione in SVG o PNG.

Come Funziona Effettivamente la Matematica dello Spirografo

Il cerchio grigio tratteggiato è il cerchio fisso di raggio R. Il disco viola rotola lungo la sua parte interna senza scivolare. Una penna (arancione) è montata sul disco che rotola a distanza d dal suo centro. Mentre il cerchio che rotola orbita, la penna lascia una curva. L'animazione qui mostra un ciclo completo di disegno a ciclo continuo — il tuo vero spirografo sottostante utilizza la stessa fisica.

L'intuizione chiave: la curva si chiude su se stessa solo quando l'angolo del parametro ritorna a un multiplo di \( 2\pi \) e anche il cerchio che rotola ha compiuto un numero intero di rotazioni complete. Entrambe le cose accadono simultaneamente dopo esattamente r / mcd(R, r) orbite dell'angolo grande. Ecco perché questo strumento calcola prima il mcd(R, r) — garantisce che l'esportazione sia matematicamente chiusa senza giunzioni visibili.

Le Equazioni Parametriche

Ipotrocoide (rotola all'interno)

$$x(t) = (R - r)\cos t + d\cos\!\left(\frac{R - r}{r}\, t\right)$$

$$y(t) = (R - r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R - r}{r}\, t\right)$$

Se \( d = r \) la curva è un ipocicloide con cuspidi taglienti (deltoide per 3 cuspidi, asteroide per 4). Se \( d < r \) la curva ha petali arrotondati (curtati). Se \( d > r \) i petali formano lunghi cappi (prolati).

Epitrocoide (rotola all'esterno)

$$x(t) = (R + r)\cos t - d\cos\!\left(\frac{R + r}{r}\, t\right)$$

$$y(t) = (R + r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R + r}{r}\, t\right)$$

Se \( d = r \) la curva è un epicicloide con cuspidi rivolte verso l'esterno (cardioide per una cuspide, nefroide per due). Se \( d < r \) i cappi sono curtati; se \( d > r \) sono prolati.

Cosa Rende Divergente Questo Generatore di Spirografo

Chiusura esatta senza giunzioni La maggior parte degli spirografi online campiona un numero fisso di rivoluzioni e spera che le estremità si incontrino. Questo strumento calcola prima r/mcd(R, r) in modo che l'intervallo dei parametri sia matematicamente esatto — l'ultimo punto cade sul primo, ogni volta, indipendentemente da quanto sia strano il rapporto.
Anteprima dal vivo mentre modifichi La mini tela accanto al modulo si ridisegna ad ogni pressione di un tasto e ad ogni cambio di cursore. Vedi immediatamente l'impatto della modifica di R da 96 a 97, prima di impegnarti in un rendering completo. Niente più fai clic-attendi-fai clic-attendi.
Modalità mandala a tre penne Scegli due o tre strati di penna e lo stesso rapporto R/r esegue il rendering con offset della penna più piccoli in colori sovrapposti. Le curve si annidano come petali dentro petali — un mandala da un unico insieme di input, non un composito cucito a mano.
Rivelazione auto-disegnata L'SVG utilizza l'animazione stroke-dashoffset in modo che la curva si tracci da sola davanti a te, come una vera penna su carta reale. Fai clic su Riproduci disegno per guardarlo di nuovo — perfetto per aule e presentazioni.
Esportazione vettoriale reale L'esportazione SVG è la matematica originale — non un'istantanea rasterizzata. Ridimensionala per un cartellone pubblicitario, inviala a una macchina da taglio laser o a un digitalizzatore di ricami, inseriscila in Illustrator o Inkscape per ulteriori modifiche. L'esportazione PNG è a 2x–4x DPI per diapositive e post nitidi.
Contatore di lobi integrato Ogni risultato mostra il mcd, la simmetria rotazionale (R/mcd) e il numero di rivoluzioni complete necessarie per chiudersi. Impari la relazione tra i numeri interi e la forma visibile semplicemente cambiando un numero alla volta.

Contare i Petali: Una Guida Rapida

Per un ipotrocoide, il numero di lobi (o cuspidi, quando \( d = r \)) è uguale a \( R / \text{mcd}(R, r) \). Alcuni esempi classici:

  • R = 4, r = 1, d = 1 → asteroide (4 cuspidi). Il classico "rombo con i lati rientranti".
  • R = 3, r = 1, d = 1 → deltoide (3 cuspidi). Chiamata anche curva di Steiner.
  • R = 96, r = 36, d = 30 → rosetta a 8 petali. Perché \( \text{mcd}(96, 36) = 12 \) e \( 96 / 12 = 8 \).
  • R = 105, r = 30, d = 72 → stella a 7 petali. Petali lunghi e con cappi (perché \( d > r \)).
  • R = 120, r = 45, d = 48 → pizzo a 8 lobi. Petali leggermente curtati che si intrecciano.

Per un epitrocoide si applica la stessa formula con la geometria "esterna" — \( R / \text{mcd}(R, r) \) cuspidi rivolte verso l'esterno quando \( d = r \).

Una Breve Storia

La matematica risale ad Albrecht Dürer nel 1525, che studiò gli epicicloidi mentre disegnava ornamenti geometrici. Roemer (1674) e Bernoulli (inizio del 1700) formalizzarono le equazioni parametriche. Il giocattolo che la maggior parte delle persone conosce — gli ingranaggi di plastica dai colori vivaci marchiati "Spirograph" — fu inventato dall'ingegnere britannico Denys Fisher nel 1965 e commercializzato da Kenner l'anno successivo. Divenne un successo mondiale e vinse il premio Giocattolo dell'Anno (Regno Unito) nel 1967. Fisher sviluppò inizialmente il sistema di ingranaggi per progettare intricati meccanismi a molla; il giocattolo fu un felice incidente.

Oggi, gli ipotrocoidi e gli epitrocoidi compaiono ben oltre l'artigianato: nei motori rotativi Wankel (il rotore traccia un epitrocoide), nell'incisione guilloché su banconote e orologi di lusso, nell'arte con oscilloscopio in stile Lissajous e negli strumenti di arte generativa per poster, ricami e taglio laser.

Utilizzi nel Mondo Reale per l'Output

  • Stampa e poster: un SVG vettoriale con rosetta a 8 petali + tavolozza oro + carta avorio crea un fregio pulito per un invito di matrimonio.
  • Taglio e incisione laser: la curva chiusa è un tratto continuo, ideale per i percorsi macchina. Esporta SVG e importalo in LightBurn o RDWorks.
  • Digitalizzazione di ricami: la fitta modalità mandala con penne a strati produce un ricamo a macchina che scorre in modo pulito senza salti di filo.
  • Aula di matematica e arte: cambia r di uno e guarda cambiare il conteggio dei petali — una prova visiva del perché il mcd conta nelle funzioni periodiche.
  • Arte generativa: l'esportazione SVG è modificabile. Aprila in Illustrator, riempi la curva chiusa con una sfumatura, uniscila in modalità moltiplica su uno sfondo fotografico.
  • Fregi per loghi: la tavolozza monocromatica + penna singola + d piccolo fornisce una rosetta sottile ed elegante che si ridimensiona perfettamente sui biglietti da visita.

Suggerimenti per Splendidi Design

  • Rapporti primi = conteggi di lobi elevati. Prova R = 113, r = 30 (mcd 1, quindi 113 lobi — un pizzo denso). Poi prova R = 120, r = 30 (mcd 30, solo 4 lobi — stella pulita).
  • Spingi d oltre r per i cappi. Quando \( d > r \) i petali si sovrappongono — prova R = 90, r = 36, d = 80 per un fiore con petali che si auto-intersecano.
  • Sotto-unità d per petali morbidi. Valori d piccoli rispetto a r offrono un aspetto morbido da "margherita arrotondata". Ottimo per biglietti e targhette regalo.
  • Stratifica le penne per dare profondità. Stessi R, r, d ma strati di penna = 3 crea istantaneamente un design concentrico che dà una sensazione 3D senza cambiare nient'altro.
  • Cianografia + tavolozza oceano = schizzo ingegneristico. Usalo per illustrazioni tecnologiche e accenti di diapositive.
  • Carta millimetrata + inchiostro monocromatico = diagramma da libro di testo. Perfetto per schede di matematica stampabili.

Domande Frequenti

Cos'è uno spirografo dal punto de vista matematico?

Uno spirografo traccia un ipotrocoide (un cerchio piccolo che rotola all'interno di uno fisso più grande) o un epitrocoide (un cerchio piccolo che rotola all'esterno). Le curve sono descritte da equazioni parametriche con tre raggi: R per il cerchio fisso, r per il cerchio che rotola e d per l'offset della penna dal centro del cerchio che rotola.

Cosa significano esattamente R, r e d?

R è il raggio del grande cerchio fisso, r è il raggio del piccolo cerchio che rotola e d è la distanza della penna dal centro del cerchio che rotola. Se d è uguale a r la penna si trova sul bordo e la curva sviluppa cuspidi taglienti; un d minore dà petali morbidi e arrotondati (curtati); un d maggiore dà petali con lunghi cappi che si sovrappongono (prolati).

Perché il pattern si chiude sempre in un ciclo?

Lo strumento calcola il massimo comune divisore di R e r. La curva se chiude esattamente dopo r / mcd(R, r) rivoluzioni del cerchio che rotola, e il risultato ha R / mcd(R, r) lobi di simmetria rotazionale. L'uso del mcd garantisce che la penna ritorni al suo punto di partenza senza giunzioni visibili, indipendentemente dal fatto che R/r sia razionale o meno (li trattiamo come interi).

Qual è la differenza tra ipotrocoide ed epitrocoide?

L'ipotrocoide utilizza un cerchio piccolo che rotola all'interno di uno più grande — questo è il classico giocattolo Spirograph. L'epitrocoide utilizza un cerchio piccolo che rotola all'esterno. Gli ipotrocoidi sembrano rosette rivolte verso l'interno (petali verso il centro); gli epitrocoidi sembrano forme di fiori o ingranaggi rivolte verso l'esterno (petali lontani dal centro). I motori rotativi Wankel utilizzano un epitrocoide come alloggiamento del rotore.

Cos'è la modalità mandala multi-penna?

Selezionando due o tre strati di penna si ri-traccia la stessa curva con valori d progressivamente più piccoli in diversi colori della tavolozza. Poiché ogni penna ha il proprio offset, gli strati si annidano come petali dentro petali, producendo un effetto mandala o rangoli da un singolo insieme di input. Nessuna composizione a strati richiesta — è un unico risultato matematico reso come tratti multipli.

Posso esportare lo spirografo?

Sì. Scarica SVG fornisce un file vettoriale che rimane nitido a qualsiasi dimensione — ideale per la stampa, la digitalizzazione di ricami, il taglio del vinile o ulteriori modifiche in Illustrator o Inkscape. Scarica PNG esegue il rendering del pattern come un'immagine raster ad alta risoluzione, adatta per diapositive e post social. Copia codice inserisce il markup SVG non elaborato negli appunti per l'incorporamento in una pagina web o l'invio in chat.

Lo strumento è gratuito da usare?

Sì. Il Generatore di Spirografo è gratuito, funziona interamente nel tuo browser, non richiede registrazione e non inserisce mai filigrane nelle esportazioni. I pattern che generi sono tuoi da utilizzare in progetti personali e commerciali — stampati, venduti, remixati o cuciti in una trapunta.

Perché alcune curve sono appuntite e altre lisce?

Il conteggio delle punte deriva da R / mcd(R, r) — quell'intero è il numero di lobi. La forma delle punte deriva da d: quando d è uguale a r si ottengono cuspidi taglienti (un ipocicloide o epicicloide), quando d è più piccolo si ottengono petali arrotondati (curtati) e quando d è più grande di r i petali formano lunghi cappi che si auto-intersecano (prolati). Cambia un numero alla volta per percepire la relazione.

In cosa differisce da una curva di Lissajous?

Le curve di Lissajous derivano da movimenti sinusoidali indipendenti sugli assi x e y — x(t) = A sin(at + δ), y(t) = B sin(bt). Gli spirografi derivano da un cerchio piccolo che rotola intorno a uno grande senza scivolare. I pattern di Lissajous si inseriscono in una cornice rettangolare; gli spirografi si inseriscono in una cornice circolare. Condividono una somiglianza familiare perché entrambe sono curve 2D periodiche, ma il meccanismo differisce.

Perché l'anteprima dal vivo sembra leggermente diversa dal risultato finale?

L'anteprima dal vivo utilizza un conteggio di campioni inferiore per rimanere reattiva a ogni pressione di tasto. Il risultato finale campiona da 900 a 7.200 punti (proporzionati alla complessità della curva) per un rendering più nitido. I due concordano matematicamente; la differenza è solo la risoluzione.

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dal team MiniWebtool. Aggiornato: 2026-05-19

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