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Calcolatore Decomposizione QR

Scomponi qualsiasi matrice A in una matrice ortogonale Q e una matrice triangolare superiore R utilizzando il processo di Gram-Schmidt. Supporta matrici da 2×2 a 5×5 con ortogonalizzazione animata passo dopo passo, verifica dell'ortogonalità QᵀQ = I e visualizzazione interattiva.

Calcolatore Decomposizione QR
Esempi:
Righe: 3
×
Colonne: 3
⚠ Righe devono essere ≥ Colonne
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Calcolatore Decomposizione QR

Il Calcolatore Decomposizione QR scompone qualsiasi matrice A nel prodotto di una matrice ortogonale Q e una matrice triangolare superiore R, tale che A = QR. Inserisci una matrice da 2×2 a 5×5 (incluse matrici non quadrate dove le righe ≥ colonne) e ottieni l'ortogonalizzazione completa di Gram-Schmidt con soluzioni passo dopo passo, animazione interattiva, verifica dell'ortogonalità QᵀQ = I e approfondimenti didattici dettagliati.

Cos'è la Decomposizione QR?

La decomposizione QR (chiamata anche fattorizzazione QR) scrive una matrice A come:

$$A = QR$$

dove Q è una matrice ortogonale (le cui colonne sono vettori ortonormali che soddisfano QᵀQ = I), e R è una matrice triangolare superiore. Per una matrice m×n con m ≥ n e rango di colonna pieno, la QR ridotta fornisce Q come m×n e R come n×n.

Q
Matrice Ortogonale Q
Le colonne sono ortonormali: lunghezza unitaria e mutuamente perpendicolari. QᵀQ = I.
▲
Triangolare Superiore R
Tutti gli elementi sotto la diagonale sono zero. Gli elementi diagonali sono le norme da Gram-Schmidt.
⊥
Processo Gram-Schmidt
Ortogonalizza iterativamente le colonne sottraendo le proiezioni, poi normalizza.
κ
Stabilità Numerica
La QR è più stabile della LU per risolvere Ax = b perché Q preserva le norme vettoriali.

Il Processo di Gram-Schmidt Spiegato

Dati i vettori colonna a₁, a₂, …, aₙ di A, l'algoritmo classico di Gram-Schmidt produce vettori ortonormali e₁, e₂, …, eₙ:

Passaggio 1. Imposta u₁ = a₁, quindi normalizza: e₁ = u₁ / ‖u₁‖.

Passaggio 2. Per ogni colonna successiva aⱼ, sottrai le sue proiezioni su tutti i precedenti eₖ:

$$\mathbf{u}_j = \mathbf{a}_j - \sum_{k=1}^{j-1} (\mathbf{a}_j \cdot \mathbf{e}_k) \, \mathbf{e}_k$$

Quindi normalizza: eⱼ = uⱼ / ‖uⱼ‖.

Passaggio 3. La matrice Q ha e₁, …, eₙ come colonne. R è triangolare superiore con elementi rᵢⱼ = eᵢ · aⱼ.

Come usare questo calcolatore

Passaggio 1. Imposta le dimensioni della matrice (righe × colonne). Le righe devono essere ≥ colonne per la decomposizione QR.

Passaggio 2. Inserisci i valori nella griglia, oppure clicca su un esempio rapido per caricare un preset. Usa Tab o i tasti freccia per navigare.

Passaggio 3. Clicca su Decomponi A = QR. Il calcolatore esegue il processo di Gram-Schmidt e visualizza Q e R.

Passaggio 4. Guarda l'animazione di Gram-Schmidt per vedere come ogni colonna viene ortogonalizzata: vettore originale → sottrazione proiezioni → risultato non normalizzato → vettore ortonormale normalizzato.

Passaggio 5. Verifica il risultato: controlla che QR = A e QᵀQ = I (matrice identità). Segui l'intera derivazione usando il navigatore dei passaggi.

Applicazioni della Decomposizione QR

ApplicazioneCome viene usata la QR
Minimi Quadrati (Ax ≈ b)Risolve Rx = Qᵀb mediante sostituzione all'indietro — più stabile delle equazioni normali AᵀAx = Aᵀb
Algoritmo QR per AutovaloriFattorizza ripetutamente Aₖ = QₖRₖ, quindi imposta Aₖ₊₁ = RₖQₖ — converge alla forma di Schur
Sistemi Lineari (Ax = b)Fattorizza A = QR, quindi risolve Rx = Qᵀb. Più stabile numericamente della LU per sistemi mal condizionati
Elaborazione dei SegnaliIl beamforming adattivo e la stima del canale MIMO utilizzano aggiornamenti QR per l'elaborazione in tempo reale
Machine LearningOrtogonalizzazione basata su QR nell'addestramento di reti neurali, Gram-Schmidt nell'ingegneria delle feature

QR rispetto ad altre decomposizioni di matrici

DecomposizioneFormaIdeale per
QR (questo strumento)A = QRMinimi quadrati, algoritmi per autovalori, risoluzioni numericamente stabili
LUA = LURisoluzione rapida di sistemi quadrati, calcolo del determinante
CholeskyA = LLᵀSistemi simmetrici definiti positivi (più veloce)
SVDA = UΣVᵀAnalisi del rango, pseudoinversa, PCA, compressione immagini
AutodecomposizioneA = PDP⁻¹Potenze di matrici, equazioni differenziali, analisi spettrale

Domande Frequenti

Cos'è la decomposizione QR?

La decomposizione QR scompone una matrice A nel prodotto di una matrice ortogonale Q (le cui colonne sono ortonormali) e una matrice triangolare superiore R. Ogni matrice reale con colonne linearmente indipendenti ha una fattorizzazione QR unica se richiediamo che R abbia elementi diagonali positivi.

Cos'è il processo di Gram-Schmidt?

Il processo di Gram-Schmidt è un algoritmo che prende un insieme di vettori linearmente indipendenti e produce un insieme ortonormale che genera lo stesso sottospazio. Funziona sottraendo iterativamente le proiezioni su tutti i vettori ortonormali precedentemente calcolati e normalizzando poi il residuo.

La decomposizione QR funziona per matrici non quadrate?

Sì. Per una matrice m×n dove m ≥ n, la decomposizione QR ridotta (o thin) fornisce Q come m×n con colonne ortonormali e R come n×n triangolare superiore. Questa è la forma più comunemente usata in pratica, specialmente per i problemi di minimi quadrati.

Quando dovrei usare QR invece della decomposizione LU?

Usa QR quando la stabilità numerica conta più della velocità — ad esempio, con matrici mal condizionate, problemi di minimi quadrati o calcolo di autovalori. LU è più veloce (circa 2 volte per sistemi quadrati) ma può amplificare gli errori di arrotondamento. QR preserva le norme vettoriali perché Q è ortogonale.

Qual è la differenza tra QR e SVD?

Entrambe producono fattori ortogonali, ma la SVD decompone A in tre matrici (UΣVᵀ) rivelando i valori singolari e il rango, mentre la QR fornisce due matrici (QR) ed è più veloce da calcolare. La SVD è preferibile per problemi a rango ridotto e calcolo della pseudoinversa; la QR è preferibile per risolvere sistemi a rango pieno e algoritmi per autovalori.

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dal team miniwebtool. Aggiornato: 2026-04-12

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