Calcolatore Decomposizione QR

Calcolatore Decomposizione QR

Il Calcolatore Decomposizione QR scompone qualsiasi matrice A nel prodotto di una matrice ortogonale Q e una matrice triangolare superiore R, tale che A = QR. Inserisci una matrice da 2×2 a 5×5 (incluse matrici non quadrate dove le righe ≥ colonne) e ottieni l'ortogonalizzazione completa di Gram-Schmidt con soluzioni passo dopo passo, animazione interattiva, verifica dell'ortogonalità QᵀQ = I e approfondimenti didattici dettagliati.

Cos'è la Decomposizione QR?

La decomposizione QR (chiamata anche fattorizzazione QR) scrive una matrice A come:

$$A = QR$$

dove Q è una matrice ortogonale (le cui colonne sono vettori ortonormali che soddisfano QᵀQ = I), e R è una matrice triangolare superiore. Per una matrice m×n con m ≥ n e rango di colonna pieno, la QR ridotta fornisce Q come m×n e R come n×n.

Il Processo di Gram-Schmidt Spiegato

Dati i vettori colonna a₁, a₂, …, aₙ di A, l'algoritmo classico di Gram-Schmidt produce vettori ortonormali e₁, e₂, …, eₙ:

Passaggio 1. Imposta u₁ = a₁, quindi normalizza: e₁ = u₁ / ‖u₁‖.

Passaggio 2. Per ogni colonna successiva aⱼ, sottrai le sue proiezioni su tutti i precedenti eₖ:

$$\mathbf{u}_j = \mathbf{a}_j - \sum_{k=1}^{j-1} (\mathbf{a}_j \cdot \mathbf{e}_k) \, \mathbf{e}_k$$

Quindi normalizza: eⱼ = uⱼ / ‖uⱼ‖.

Passaggio 3. La matrice Q ha e₁, …, eₙ come colonne. R è triangolare superiore con elementi rᵢⱼ = eᵢ · aⱼ.

Come usare questo calcolatore

Passaggio 1. Imposta le dimensioni della matrice (righe × colonne). Le righe devono essere ≥ colonne per la decomposizione QR.

Passaggio 2. Inserisci i valori nella griglia, oppure clicca su un esempio rapido per caricare un preset. Usa Tab o i tasti freccia per navigare.

Passaggio 3. Clicca su Decomponi A = QR. Il calcolatore esegue il processo di Gram-Schmidt e visualizza Q e R.

Passaggio 4. Guarda l'animazione di Gram-Schmidt per vedere come ogni colonna viene ortogonalizzata: vettore originale → sottrazione proiezioni → risultato non normalizzato → vettore ortonormale normalizzato.

Passaggio 5. Verifica il risultato: controlla che QR = A e QᵀQ = I (matrice identità). Segui l'intera derivazione usando il navigatore dei passaggi.

Applicazioni della Decomposizione QR

QR rispetto ad altre decomposizioni di matrici

Domande Frequenti

Cos'è la decomposizione QR?

La decomposizione QR scompone una matrice A nel prodotto di una matrice ortogonale Q (le cui colonne sono ortonormali) e una matrice triangolare superiore R. Ogni matrice reale con colonne linearmente indipendenti ha una fattorizzazione QR unica se richiediamo che R abbia elementi diagonali positivi.

Cos'è il processo di Gram-Schmidt?

Il processo di Gram-Schmidt è un algoritmo che prende un insieme di vettori linearmente indipendenti e produce un insieme ortonormale che genera lo stesso sottospazio. Funziona sottraendo iterativamente le proiezioni su tutti i vettori ortonormali precedentemente calcolati e normalizzando poi il residuo.

La decomposizione QR funziona per matrici non quadrate?

Sì. Per una matrice m×n dove m ≥ n, la decomposizione QR ridotta (o thin) fornisce Q come m×n con colonne ortonormali e R come n×n triangolare superiore. Questa è la forma più comunemente usata in pratica, specialmente per i problemi di minimi quadrati.

Quando dovrei usare QR invece della decomposizione LU?

Usa QR quando la stabilità numerica conta più della velocità — ad esempio, con matrici mal condizionate, problemi di minimi quadrati o calcolo di autovalori. LU è più veloce (circa 2 volte per sistemi quadrati) ma può amplificare gli errori di arrotondamento. QR preserva le norme vettoriali perché Q è ortogonale.

Qual è la differenza tra QR e SVD?

Entrambe producono fattori ortogonali, ma la SVD decompone A in tre matrici (UΣVᵀ) rivelando i valori singolari e il rango, mentre la QR fornisce due matrici (QR) ed è più veloce da calcolare. La SVD è preferibile per problemi a rango ridotto e calcolo della pseudoinversa; la QR è preferibile per risolvere sistemi a rango pieno e algoritmi per autovalori.

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