Calcolatore Spazio Nullo
Il Calcolatore dello spazio nullo di MiniWebtool trova una base per tutti i vettori che soddisfano Ax = 0. La riduzione per righe con frazioni esatte mette in evidenza le variabili libere; nullità e verifica rango-nullità collegano l'insieme delle soluzioni alle dimensioni della matrice.
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Inserisci una matrice per ottenere una base delle soluzioni di Ax = 0, la nullità, i passaggi della riduzione per righe e una verifica rango-nullità in frazioni esatte.
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Calcolatore Spazio Nullo
Il Calcolatore Spazio Nullo trova lo spazio nullo (kernel) di qualsiasi matrice risolvendo il sistema omogeneo Ax = 0. Inserisci una matrice di qualsiasi dimensione fino a 8×8 e ottieni la base completa dello spazio nullo con aritmetica frazionaria esatta, eliminazione gaussiana passo-passo fino a RREF, classificazione delle colonne (pivot vs libere) e verifica del teorema del rango-nullità.
In sintesi
Calcolatore Spazio Nullo trova una base per tutti i vettori x tali che Ax = 0 per una matrice fino a 8x8. Usa frazioni esatte e riduzione per righe e riporta nullità e verifica del teorema rango-nullità.
| Funzione | Cosa offre | Ideale per |
|---|---|---|
| Dimensioni della matrice | Imposta righe e colonne con i controlli più e meno, fino a 8x8. Inserisci interi, decimali o frazioni come 1/3 o -5/2. | Matrici dei compiti nelle forme più comuni |
| Frazioni esatte | La riduzione per righe in forma RREF usa aritmetica frazionaria esatta, perciò i vettori di base sono espressi come frazioni. | Risposte da confrontare con una soluzione manuale |
| Colonne pivot e libere | Ogni colonna è classificata come pivot o libera. Ponendo a turno ogni variabile libera uguale a 1 si ottiene un vettore di base. | Vedere da dove deriva ogni vettore di base |
| Nullità e rango | Riporta la nullità e verifica che rank(A) + nullity(A) = n, il numero di colonne. | Controllare il risultato con il teorema rango-nullità |
| Visualizzatore dei passaggi | Riproduci i passaggi di eliminazione di Gauss oppure avanzali e retrocedi uno alla volta. | Imparare l'ordine dell'eliminazione |
| Matrici di esempio | Gli esempi includono 3x4, 2x4, identità 3x3 (spazio nullo banale), 2x5 larga, 4x3 alta e un risultato frazionario. | Confrontare spazi nulli banali e non banali |
Cos'è lo Spazio Nullo di una Matrice?
Lo spazio nullo (chiamato anche kernel) di una matrice \(m \times n\) \(A\) è l'insieme di tutti i vettori \(\mathbf{x}\) in \(\mathbb{R}^n\) che soddisfano:
$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$
Scritto come insieme: \(\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}\). Lo spazio nullo è sempre un sottospazio di \(\mathbb{R}^n\), il che significa che contiene il vettore nullo ed è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione scalare.
Come Trovare lo Spazio Nullo
Passaggio 1. Imposta il numero di righe (m) e colonne (n) per la tua matrice utilizzando i controlli +/−, oppure fai clic su un esempio rapido per caricare una matrice predefinita.
Passaggio 2. Inserisci i valori della matrice nella griglia. Puoi digitare numeri interi, decimali o frazioni come 1/3 o -5/2. Usa Tab, Invio o i tasti freccia per spostarti tra le celle.
Passaggio 3. Clicca su Trova Spazio Nullo. Il calcolatore esegue l'eliminazione gaussiana per convertire la matrice in forma a scalini ridotta (RREF).
Passaggio 4. Identifica le colonne pivot e le colonne libere. Ogni colonna libera corrisponde a una variabile libera che può assumere qualsiasi valore.
Passaggio 5. Per ogni variabile libera, impostala a 1 e tutte le altre variabili libere a 0, quindi risolvi per le variabili pivot. I vettori risultanti formano una base per lo spazio nullo.
Spazio Nullo vs Spazio delle Colonne
| Proprietà | Spazio Nullo | Spazio delle Colonne |
|---|---|---|
| Definizione | Tutti gli x tali che Ax = 0 | Tutti i b tali che Ax = b ha una soluzione |
| Appartiene a | \(\mathbb{R}^n\) (dominio) | \(\mathbb{R}^m\) (codominio) |
| Dimensione | nullità = n − rango | rango |
| Ricavato da | Colonne libere della RREF | Colonne pivot di A |
Il Teorema del Rango-Nullità
Per qualsiasi matrice \(m \times n\) \(A\):
$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$
Il rango è il numero di colonne pivot nella RREF e la nullità è il numero di colonne libere. Insieme rappresentano ogni colonna. Questo teorema è noto anche come teorema della dimensione per le mappe lineari.
Casi Speciali
| Scenario | Spazio Nullo | Cosa Significa |
|---|---|---|
| Rango di colonna pieno (rango = n) | Solo {0} | Le colonne sono linearmente indipendenti; Ax = 0 ha solo la soluzione banale |
| Più colonne che righe (n > m) | Sempre non banale | Esistono almeno n − m variabili libere, quindi esistono infinite soluzioni |
| Matrice quadrata singolare | Non banale | La matrice ha determinante zero e righe/colonne dipendenti |
| Matrice nulla | Tutto \(\mathbb{R}^n\) | Ogni vettore è nello spazio nullo; la base è la base canonica |
Applicazioni dello Spazio Nullo
Domande Frequenti
Cos'è lo spazio nullo di una matrice?
Lo spazio nullo (o kernel) di una matrice A è l'insieme di tutti i vettori x tali che Ax = 0. È un sottospazio di R^n dove n è il numero di colonne. Lo spazio nullo contiene sempre il vettore nullo e può anche contenere infiniti vettori non nulli se la matrice ha variabili libere.
Come si trova lo spazio nullo?
Si riduce la matrice A in forma a scalini ridotta (RREF) utilizzando l'eliminazione gaussiana. Identifica le colonne pivot e le colonne libere. Per ogni variabile libera, impostala a 1 e tutte le altre variabili libere a 0, quindi risolvi per le variabili pivot. I vettori risultanti formano una base per lo spazio nullo.
Cos'è il teorema del rango-nullità?
Il teorema del rango-nullità afferma che per una matrice A m per n, rango(A) + nullità(A) = n, dove n è il numero di colonne. Il rango è il numero di colonne pivot e la nullità è la dimensione dello spazio nullo (numero di variabili libere).
Cosa significa se lo spazio nullo è banale?
Uno spazio nullo banale significa che l'unica soluzione per Ax = 0 è il vettore nullo x = 0. Ciò accade quando ogni colonna è una colonna pivot (rango di colonna pieno). Significa che le colonne di A sono linearmente indipendenti.
Le matrici non quadrate possono avere uno spazio nullo?
Sì. Qualsiasi matrice ha uno spazio nullo. Per una matrice m per n con m minore di n, lo spazio nullo è garantito essere non banale (dimensione almeno n - m) perché ci sono più incognite che equazioni, quindi esistono sempre variabili libere.
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dal team di MiniWebtool. Aggiornato: 2026-04-10
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