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Calcolatore Spazio Nullo

Trova lo spazio nullo (kernel) di qualsiasi matrice risolvendo Ax = 0 con l’eliminazione di Gauss. Ottieni i vettori di base, la nullità, la riduzione RREF passo dopo passo e la verifica del teorema del rango-nullità con aritmetica frazionaria esatta.

Calcolatore Spazio Nullo
Esempi:
Righe (m): 3
×
Colonne (n): 4
Risolvi Ax = 0
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]

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Calcolatore Spazio Nullo

Il Calcolatore Spazio Nullo trova lo spazio nullo (kernel) di qualsiasi matrice risolvendo il sistema omogeneo Ax = 0. Inserisci una matrice di qualsiasi dimensione fino a 8×8 e ottieni la base completa dello spazio nullo con aritmetica frazionaria esatta, eliminazione gaussiana passo-passo fino a RREF, classificazione delle colonne (pivot vs libere) e verifica del teorema del rango-nullità.

Cos'è lo Spazio Nullo di una Matrice?

Lo spazio nullo (chiamato anche kernel) di una matrice \(m \times n\) \(A\) è l'insieme di tutti i vettori \(\mathbf{x}\) in \(\mathbb{R}^n\) che soddisfano:

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

Scritto come insieme: \(\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}\). Lo spazio nullo è sempre un sottospazio di \(\mathbb{R}^n\), il che significa che contiene il vettore nullo ed è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione scalare.

⊕
Sottospazio
Lo spazio nullo è sempre un sottospazio di R^n. Contiene il vettore nullo ed è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione scalare.
📊
Dimensione = Nullità
La dimensione dello spazio nullo è uguale alla nullità, ovvero il numero di variabili libere dopo la riduzione per riga.
↔
Variabili Libere
Ogni variabile libera nella RREF contribuisce con un vettore di base allo spazio nullo.
⚖
Rango-Nullità
rango(A) + nullità(A) = n, dove n è il numero di colonne. Questo vale sempre.

Come Trovare lo Spazio Nullo

Passaggio 1. Imposta il numero di righe (m) e colonne (n) per la tua matrice utilizzando i controlli +/−, oppure fai clic su un esempio rapido per caricare una matrice predefinita.

Passaggio 2. Inserisci i valori della matrice nella griglia. Puoi digitare numeri interi, decimali o frazioni come 1/3 o -5/2. Usa Tab, Invio o i tasti freccia per spostarti tra le celle.

Passaggio 3. Clicca su Trova Spazio Nullo. Il calcolatore esegue l'eliminazione gaussiana per convertire la matrice in forma a scalini ridotta (RREF).

Passaggio 4. Identifica le colonne pivot e le colonne libere. Ogni colonna libera corrisponde a una variabile libera che può assumere qualsiasi valore.

Passaggio 5. Per ogni variabile libera, impostala a 1 e tutte le altre variabili libere a 0, quindi risolvi per le variabili pivot. I vettori risultanti formano una base per lo spazio nullo.

Spazio Nullo vs Spazio delle Colonne

ProprietàSpazio NulloSpazio delle Colonne
DefinizioneTutti gli x tali che Ax = 0Tutti i b tali che Ax = b ha una soluzione
Appartiene a\(\mathbb{R}^n\) (dominio)\(\mathbb{R}^m\) (codominio)
Dimensionenullità = n − rangorango
Ricavato daColonne libere della RREFColonne pivot di A

Il Teorema del Rango-Nullità

Per qualsiasi matrice \(m \times n\) \(A\):

$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$

Il rango è il numero di colonne pivot nella RREF e la nullità è il numero di colonne libere. Insieme rappresentano ogni colonna. Questo teorema è noto anche come teorema della dimensione per le mappe lineari.

Casi Speciali

ScenarioSpazio NulloCosa Significa
Rango di colonna pieno (rango = n)Solo {0}Le colonne sono linearmente indipendenti; Ax = 0 ha solo la soluzione banale
Più colonne che righe (n > m)Sempre non banaleEsistono almeno n − m variabili libere, quindi esistono infinite soluzioni
Matrice quadrata singolareNon banaleLa matrice ha determinante zero e righe/colonne dipendenti
Matrice nullaTutto \(\mathbb{R}^n\)Ogni vettore è nello spazio nullo; la base è la base canonica

Applicazioni dello Spazio Nullo

📐
Sistemi Lineari
La soluzione generale di Ax = b è x = x_p + Null(A), dove x_p è una soluzione particolare.
📊
Indipendenza Lineare
Le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo se Null(A) = {0}.
🔄
Equazioni Differenziali
Lo spazio delle soluzioni di un sistema ODE lineare omogeneo è lo spazio nullo della matrice dei coefficienti.
🔐
Codici a correzione d'errore
Nella teoria dei codici, le parole di codice valide formano lo spazio nullo della matrice di controllo di parità H.

Domande Frequenti

Cos'è lo spazio nullo di una matrice?

Lo spazio nullo (o kernel) di una matrice A è l'insieme di tutti i vettori x tali che Ax = 0. È un sottospazio di R^n dove n è il numero di colonne. Lo spazio nullo contiene sempre il vettore nullo e può anche contenere infiniti vettori non nulli se la matrice ha variabili libere.

Come si trova lo spazio nullo?

Si riduce la matrice A in forma a scalini ridotta (RREF) utilizzando l'eliminazione gaussiana. Identifica le colonne pivot e le colonne libere. Per ogni variabile libera, impostala a 1 e tutte le altre variabili libere a 0, quindi risolvi per le variabili pivot. I vettori risultanti formano una base per lo spazio nullo.

Cos'è il teorema del rango-nullità?

Il teorema del rango-nullità afferma che per una matrice A m per n, rango(A) + nullità(A) = n, dove n è il numero di colonne. Il rango è il numero di colonne pivot e la nullità è la dimensione dello spazio nullo (numero di variabili libere).

Cosa significa se lo spazio nullo è banale?

Uno spazio nullo banale significa che l'unica soluzione per Ax = 0 è il vettore nullo x = 0. Ciò accade quando ogni colonna è una colonna pivot (rango di colonna pieno). Significa che le colonne di A sono linearmente indipendenti.

Le matrici non quadrate possono avere uno spazio nullo?

Sì. Qualsiasi matrice ha uno spazio nullo. Per una matrice m per n con m minore di n, lo spazio nullo è garantito essere non banale (dimensione almeno n - m) perché ci sono più incognite che equazioni, quindi esistono sempre variabili libere.

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dal team di MiniWebtool. Aggiornato: 2026-04-10

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