Calcolatore del Metodo di Eulero

Risolvi numericamente qualsiasi ODE del primo ordine y' = f(x, y) con il metodo di Eulero. Visualizza la tabella delle iterazioni, il poligono di Eulero sovrapposto al campo di pendenze e un confronto di convergenza in tempo reale a h, h/2 e h/4 — con analisi dell'errore opzionale rispetto a una soluzione in forma chiusa.

Esempi rapidi:

y' = x + y y' = y − x² y' = −2xy y' = sin x − y Logistica y' = y(1−y)

Equazione differenziale

y' =

Usa x e y come variabili. Supporta + − × ÷ ^ e le funzioni sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs.

x₀ iniziale

y₀ iniziale

Dimensione passo h

Numero di passi n

Soluzione esatta y(x) (opzionale — abilita l'analisi dell'errore)

Se fornita, ogni punto di Eulero viene confrontato con y(x) e l'errore è tracciato come segmenti arancioni tratteggiati.

Mostra campo di pendenze Confronta a h/2 e h/4

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Calcolatore del Metodo di Eulero

Il Calcolatore del Metodo di Eulero risolve numericamente qualsiasi problema ai valori iniziali del primo ordine nella forma \( y' = f(x, y), \; y(x_0) = y_0 \) utilizzando il metodo di Eulero classico (in avanti). Restituisce una tabella completa delle iterazioni, traccia il poligono di Eulero sopra un campo di pendenze dinamico, confronta la soluzione a tre diverse dimensioni di passo per permetterti di osservare visivamente la convergenza del metodo e — se fornisci la soluzione esatta in forma chiusa — produce un'analisi dell'errore per ogni passaggio.

Cos'è il Metodo di Eulero?

Il metodo di Eulero è l'algoritmo più semplice per approssimare la soluzione di un problema ai valori iniziali. Partendo da un punto noto \( (x_0, y_0) \) sulla curva della soluzione, avanza ripetutamente di un piccolo passo di dimensione h lungo la pendenza locale \( f(x, y) \):

y_n+1 = y_n + h · f(x_n, y_n), x_n+1 = x_n + h

Geometricamente, ogni passo è un breve segmento rettilineo la cui pendenza è uguale al valore dell'equazione differenziale nel punto corrente. La linea spezzata risultante — il poligono di Eulero — è un'approssimazione della soluzione reale (solitamente curva).

Quanto è Accurato?

Il metodo di Eulero è un metodo del primo ordine. L'errore di troncamento locale ad ogni passo è \( O(h^2) \) e l'errore globale dopo l'integrazione su un intervallo fisso è \( O(h) \). In pratica:

Dimezzare la dimensione del passo dimezza approssimativamente l'errore globale.
L'errore cresce linearmente con la lunghezza dell'intervallo di integrazione.
L'errore è maggiore dove la soluzione presenta un'elevata curvatura.

Il confronto integrato della dimensione del passo (h, h/2, h/4) ti permette di vedere direttamente questa convergenza lineare: abilita l'opzione e verifica che i tre valori finali si avvicinino a un limite comune, con ogni valore distante dal limite circa la metà del precedente.

Leggere il Grafico

La visualizzazione sovrappone quattro tipi di informazioni su un unico piano cartesiano:

Campo di pendenze grigio — brevi segmenti di linea la cui inclinazione è uguale a \( f(x, y) \) in quel punto. Pensalo come "il flusso dettato dalla ODE". Ogni curva di soluzione deve essere tangente al campo in ogni punto.
Poligono di Eulero indaco — la soluzione numerica passo dopo passo. Ogni segmento inizia dal punto della griglia precedente e punta lungo \( f(x_n, y_n) \) per una distanza h.
Curva esatta verde tratteggiata — presente solo quando fornisci la soluzione in forma chiusa. I segmenti arancioni tratteggiati verticali rappresentano gli errori locali con segno \( y_n - y_{\text{esatta}}(x_n) \).
Curve di confronto arancioni e verdi — lo stesso problema eseguito nuovamente a h/2 e h/4, mostrate quando il confronto della dimensione del passo è abilitato.

Come Utilizzare Questo Calcolatore

Inserisci il lato destro dell'ODE nel campo contrassegnato con y' =. Usa x e y come variabili. Gli operatori supportati sono + − × ÷ ^, e le funzioni supportate includono sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, log10, log2, sqrt, abs.
Imposta le condizioni iniziali: il valore iniziale x₀, il valore iniziale y₀ in quel punto, la dimensione del passo h (positivo per integrare in avanti, negativo per integrare all'indietro) e il numero di passi n.
(Opzionale) Fornisci la soluzione esatta y(x) se la conosci. Il calcolatore calcolerà \( |y_n - y(x_n)| \) ad ogni passo e riporterà l'errore massimo e finale.
Attiva le opzioni di visualizzazione: il campo di pendenze è attivo per impostazione predefinita; il confronto della dimensione del passo sovrappone due curve extra a h/2 e h/4.
Fai clic su Esegui. La sezione dei risultati mostra le statistiche riassuntive, il grafico, un pannello di confronto della convergenza e la tabella completa delle iterazioni. Passando il mouse su una riga si evidenzia il punto corrispondente sul grafico (e viceversa).

Esempio Svolto

Considera \( y' = x + y, \; y(0) = 1 \) con h = 0.1 e 10 passi. La soluzione esatta è \( y(x) = -x - 1 + 2e^x \). L'applicazione della formula di Eulero fornisce:

n = 1: y₁ = 1 + 0.1 · (0 + 1) = 1.1 n = 2: y₂ = 1.1 + 0.1 · (0.1 + 1.1) = 1.22 n = 3: y₃ = 1.22 + 0.1 · (0.2 + 1.22) = 1.362 ⋮ n = 10: y₁₀ ≈ 3.1875, y(1) esatta = 2e − 2 ≈ 3.4366

L'errore finale è di circa 0.249. Dimezzando h a 0.05, l'errore finale scende a circa 0.13, e dimezzando ancora a 0.025 scende a circa 0.067 — una netta convergenza lineare, esattamente come previsto dalla teoria.

Metodo di Eulero vs Altri Metodi Numerici

Metodo	Ordine	Valutazioni per passo	Errore globale	Note
Eulero (in avanti)	1	1	O(h)	Il metodo più semplice; ideale per l'insegnamento e la prototipazione.
Eulero Migliorato (Heun)	2	2	O(h²)	Esegue la media delle pendenze all'inizio e alla fine del passo.
Punto Medio (RK2)	2	2	O(h²)	Valuta la pendenza nel punto medio di ogni passo.
Runge–Kutta 4 (RK4)	4	4	O(h⁴)	Il cavallo di battaglia dei risolutori generici; altissima precisione per passo.
Eulero all'indietro (implicito)	1	1 (più ricerca radice)	O(h)	Incondizionatamente stabile; essenziale per ODE rigide (stiff).

Quando Eulero Fallisce

Il metodo di Eulero in avanti può comportarsi in modo anomalo in tre situazioni:

Dimensione del passo troppo grande — il poligono oscilla o diverge. La soluzione è ridurre h; il confronto h, h/2, h/4 rende questo fenomeno istantaneamente visibile.
ODE rigide (stiff) — equazioni con modi a decadimento rapido e lento simultanei costringono h a essere minuscolo per la stabilità. Passa a un metodo implicito (Eulero all'indietro) o BDF.
Singolarità in f(x, y) — la divisione per zero, la radice quadrata sqrt di un numero negativo o il logaritmo ln di un numero non positivo interromperanno l'integrazione. Il calcolatore riporta chiaramente il passaggio incriminato.

Applicazioni Comuni

Fisica — la seconda legge di Newton come sistema del primo ordine, decadimento radioattivo \( \dot{N} = -\lambda N \), legge del raffreddamento di Newton.
Biologia ed epidemiologia — crescita logistica \( \dot{y} = r\,y(1 - y/K) \), modelli compartimentali SIR.
Economia — interesse composto continuo, modelli di crescita di Solow semplici.
Chimica — cinetica di reazione del primo ordine \( \dot{c} = -k c \).
Insegnamento — introduzione al concetto di integrazione numerica prima di passare a RK4 o risolutori adattivi.

Domande Frequenti

Cos'è il metodo di Eulero?

Il metodo di Eulero è la procedura numerica più semplice per risolvere un problema ai valori iniziali y' = f(x, y), y(x0) = y0. Ad ogni passo avanza la soluzione con y_{n+1} = y_n + h · f(x_n, y_n), seguendo effettivamente la pendenza nel punto corrente per una breve distanza h. È accurato al primo ordine, il che significa che l'errore globale è O(h).

Quanto è accurato il metodo di Eulero?

Il metodo di Eulero ha un errore di troncamento locale O(h²) e un errore globale O(h). Dimezzare la dimensione del passo dimezza approssimativamente l'errore globale. Ecco perché il confronto della convergenza a h, h/2 e h/4 in questo calcolatore è così istruttivo: puoi vedere l'errore ridursi in modo approssimativamente lineare con h.

Quando fallisce il metodo di Eulero?

Il metodo di Eulero può diventare instabile per problemi rigidi o quando la dimensione del passo è troppo grande rispetto alla curvatura locale della soluzione. Potresti vedere la soluzione numerica oscillare, esplodere verso l'infinito o allontanarsi visibilmente dalla soluzione reale. Ridurre h solitamente aiuta; per le equazioni rigide, sono preferibili i metodi impliciti come Eulero all'indietro.

Come scelgo la dimensione del passo?

Inizia con un h che dia circa 10-50 passi sull'intervallo di interesse. Se il poligono di Eulero devia visibilmente dal campo di pendenze o dalla tua soluzione esatta, dimezza h ed esegui nuovamente. Usa il confronto h, h/2, h/4 integrato per verificare che le tre curve stiano convergendo l'una verso l'altra.

Qual è la differenza tra il metodo di Eulero e Runge-Kutta (RK4)?

Runge-Kutta del quarto ordine valuta la pendenza in quattro punti per passo e li combina con pesi (1, 2, 2, 1)/6, fornendo un errore globale O(h⁴) — diversi ordini di grandezza migliore rispetto all'O(h) di Eulero per lo stesso numero di passi. Eulero è comunque prezioso per insegnare il concetto di integrazione numerica e per applicazioni molto semplici o a bassa precisione.

Posso usarlo per sistemi di ODE?

Questo calcolatore gestisce una singola ODE scalare del primo ordine y' = f(x, y). Per sistemi o per ODE di ordine superiore, puoi riscrivere l'equazione come un sistema del primo ordine e utilizzare un risolutore di sistema dedicato, oppure convertire un'equazione del secondo ordine in due del primo ordine e risolverle componente per componente.

Posso integrare all'indietro nel tempo?

Sì — inserisci una dimensione del passo h negativa. Il calcolatore avanzerà da x₀ in direzione negativa per n passi. Questo è utile per ricostruire il passato da uno stato presente noto.

Ulteriori Letture

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Esempio Svolto

Metodo di Eulero vs Altri Metodi Numerici

Quando Eulero Fallisce

Applicazioni Comuni

Domande Frequenti

Cos'è il metodo di Eulero?

Quanto è accurato il metodo di Eulero?

Quando fallisce il metodo di Eulero?

Come scelgo la dimensione del passo?

Qual è la differenza tra il metodo di Eulero e Runge-Kutta (RK4)?

Posso usarlo per sistemi di ODE?

Posso integrare all'indietro nel tempo?

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