Calcolatore di Divergenza

Calcola la divergenza di un campo vettoriale 2D o 3D con derivate parziali passo passo. Inserisci le funzioni componenti, ottieni la divergenza simbolica, valutala in un punto, individua sorgenti e pozzi, e visualizza una mappa di calore.

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Calcolatore di Divergenza

Il Calcolatore di Divergenza calcola la divergenza ∇·F di qualsiasi campo vettoriale 2D o 3D con il calcolo completo passo-passo delle derivate parziali. Inserisci le componenti del tuo campo vettoriale P, Q (e R per il 3D), valuta opzionalmente in un punto specifico e ottieni la divergenza simbolica, la classificazione sorgente/pozzo e, per i campi 2D, una visualizzazione interattiva con una mappa di calore della divergenza e il flusso animato delle particelle.

Cos'è la Divergenza?

La divergenza di un campo vettoriale $\mathbf{F}$ è un operatore a valore scalare che misura la velocità con cui il campo "si espande" da un punto. Per un campo vettoriale 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

Per un campo 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, la divergenza è $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$. La divergenza è un concetto fondamentale nel calcolo vettoriale, nella dinamica dei fluidi, nell'elettromagnetismo e nelle equazioni differenziali.

Significato Fisico della Divergenza

🔴

Sorgente (∇·F > 0)

Il fluido scorre verso l'esterno — ne esce più di quanto ne entri. Come l'acqua che sgorga da una fontana.

🔵

Pozzo (∇·F < 0)

Il fluido scorre verso l'interno — ne entra più di quanto ne esca. Come l'acqua che scarica in un buco.

🟢

Zero (∇·F = 0)

Flusso incompressibile — ciò che entra è uguale a ciò che esce. Il campo è solenoidale.

🔄

Teorema della Divergenza

La divergenza totale all'interno di un volume è uguale al flusso netto attraverso la sua superficie di confine.

Formule della Divergenza e Sistemi di Coordinate

Sistema di Coordinate	Formula della Divergenza
Cartesiano 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
Cartesiano 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
Cilindrico	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
Sferico	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

Identità Importanti che Coinvolgono la Divergenza

Identità	Formula
Linearità	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
Regola del prodotto (scalare × vettore)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
Divergenza del rotore	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (sempre)
Laplaciano	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (divergenza del gradiente = Laplaciano)
Teorema della divergenza	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

Applicazioni della Divergenza

Campo	Applicazione	Cosa Rappresenta la Divergenza
Elettromagnetismo	Legge di Gauss	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — la densità di carica crea divergenza nel campo elettrico
Elettromagnetismo	Campo magnetico	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — non esistono monopoli magnetici
Dinamica dei Fluidi	Equazione di continuità	$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ per flusso incompressibile
Trasferimento di Calore	Equazione del calore	La divergenza del flusso di calore è correlata alla variazione di temperatura
Relatività Generale	Equazioni di campo di Einstein	Condizione di assenza di divergenza sul tensore energia-impulso

Come Usare il Calcolatore di Divergenza

Scegli la dimensione: Seleziona 2D per i campi F = ⟨P, Q⟩ o 3D per F = ⟨P, Q, R⟩ usando i pulsanti di commutazione.
Inserisci le funzioni componenti: Digita ogni funzione componente (P, Q e opzionalmente R) usando la notazione standard. Usa ^ per gli esponenti, * per la moltiplicazione e funzioni come sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). La moltiplicazione implicita è supportata (es. 2x = 2*x).
Inserisci un punto di valutazione (opzionale): Fornisci le coordinate separate da virgole per valutare la divergenza numericamente e classificare il punto come sorgente, pozzo o incompressibile.
Clicca su Calcola Divergenza: Visualizza la formula della divergenza simbolica, il calcolo delle derivate parziali passo-passo, la valutazione numerica e la classificazione sorgente/pozzo.
Esplora la visualizzazione: Per i campi 2D, visualizza le frecce del campo vettoriale con una mappa di calore della divergenza codificata a colori (rosso = sorgente, blu = pozzo) e il flusso di particelle animato che mostra il comportamento del campo.

Esempio Svolto

Trova la divergenza di $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ nel punto $(1, 1)$:

Passaggio 1: Identifica le componenti: $P = x$, $Q = y$.

Passaggio 2: Calcola le derivate parziali: $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$.

Passaggio 3: Sommale: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$.

Interpretazione: Poiché $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$, ogni punto è una sorgente. Il campo si espande uniformemente verso l'esterno — immagina del fluido che viene pompato fuori ovunque nel piano.

FAQ

Cos'è la divergenza di un campo vettoriale?

La divergenza è un operatore differenziale a valore scalare che misura la velocità con cui un campo vettoriale si espande o si contrae in un dato punto. Per un campo 3D F = (P, Q, R), la divergenza è la somma delle derivate parziali: ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Una divergenza positiva indica una sorgente (flusso in uscita), una negativa indica un pozzo (flusso in entrata) e zero significa flusso incompressibile.

Come si calcola la divergenza?

Per calcolare la divergenza, prendi la derivata parziale di ogni funzione componente rispetto alla sua variabile corrispondente, quindi sommale tutte. Per un campo 2D F = (P, Q), calcola ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Per il 3D, aggiungi ∂R/∂z. Il risultato è una funzione scalare (non un vettore), che ti dice quanto il campo si sta espandendo o comprimendo in ogni punto.

Cosa significa quando la divergenza è zero?

Quando la divergenza è zero ovunque, il campo vettoriale è chiamato solenoidale o privo di divergenza. Nella dinamica dei fluidi, ciò significa che il fluido è incompressibile — non c'è espansione o contrazione netta in alcun punto. I campi magnetici hanno sempre divergenza zero (legge di Gauss per il magnetismo: ∇·B = 0) e il rotore di qualsiasi campo vettoriale è sempre privo di divergenza (∇·(∇×F) = 0).

Qual è il significato fisico della divergenza?

Fisicamente, la divergenza misura il flusso netto in uscita per unità di volume in un punto. Immagina una minuscola scatola in un fluido: se dal contenitore esce più fluido di quanto ne entri, la divergenza è positiva (sorgente). Se ne entra più di quanto ne esca, è negativa (pozzo). Questo concetto è centrale per le leggi di conservazione in fisica, comparendo nell'equazione di continuità, nelle equazioni di Maxwell e nell'equazione del calore.

Qual è la differenza tra divergenza e rotore?

La divergenza e il rotore sono entrambi operatori differenziali sui campi vettoriali, ma misurano cose diverse. La divergenza (∇·F) misura l'espansione o la contrazione e produce uno scalare. Il rotore (∇×F) misura la rotazione o la circolazione e produce un vettore. Un campo può avere divergenza diversa da zero ma rotore zero (come F = (x, y)), o divergenza zero ma rotore diverso da zero (come F = (−y, x)), o entrambi, o nessuno dei due.

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Cos'è la Divergenza?

Significato Fisico della Divergenza

Formule della Divergenza e Sistemi di Coordinate

Identità Importanti che Coinvolgono la Divergenza

Applicazioni della Divergenza

Come Usare il Calcolatore di Divergenza

Esempio Svolto

FAQ

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Sistema di Coordinate	Formula della Divergenza
Cartesiano 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
Cartesiano 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
Cilindrico	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
Sferico	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

Identità	Formula
Linearità	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
Regola del prodotto (scalare × vettore)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
Divergenza del rotore	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (sempre)
Laplaciano	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (divergenza del gradiente = Laplaciano)
Teorema della divergenza	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

Campo	Applicazione	Cosa Rappresenta la Divergenza
Elettromagnetismo	Legge di Gauss	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — la densità di carica crea divergenza nel campo elettrico
Elettromagnetismo	Campo magnetico	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — non esistono monopoli magnetici
Dinamica dei Fluidi	Equazione di continuità	\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\) per flusso incompressibile
Trasferimento di Calore	Equazione del calore	La divergenza del flusso di calore è correlata alla variazione di temperatura
Relatività Generale	Equazioni di campo di Einstein	Condizione di assenza di divergenza sul tensore energia-impulso