Algebra Lineare

Il Calcolatore della decomposizione QR di MiniWebtool usa l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt per scomporre le matrici supportate, da 2×2 a 5×5, in Q e R. Passaggi animati spiegano le proiezioni e una verifica dell'ortogonalità confronta QᵀQ con la matrice identità.

Il calcolatore del prodotto scalare di MiniWebtool somma i prodotti delle componenti appaiate di vettori in 2D, 3D o dimensioni superiori. Al risultato scalare si affiancano moduli, angoli e proiezioni quando definiti, con passaggi e diagramma vettoriale.

Il calcolatore del prodotto vettoriale di MiniWebtool trova il vettore perpendicolare a due vettori 3D. Le componenti forniscono prodotto vettoriale, modulo e angolo correlato, con sviluppo del determinante e un diagramma ruotabile che verifica la perpendicolarità.

Calcola l’angolo tra due vettori 2D o 3D con il Calcolatore dell’angolo tra vettori di MiniWebtool, usando la formula del prodotto scalare cos(θ) = (a·b)/(|a||b|). Ottieni soluzioni passo dopo passo, risultati in gradi e radianti, un diagramma vettoriale interattivo e un’interpretazione geometrica.

Alcune matrici non sono diagonalizzabili, ma possono essere espresse tramite blocchi di Jordan. Il calcolatore della forma normale di Jordan di MiniWebtool calcola J e una matrice di trasformazione P, spiega le catene di autovettori generalizzati e mostra la struttura dei blocchi.

Il Calcolatore della decomposizione ai valori singolari (SVD) di MiniWebtool scompone una matrice reale fino a 10×10 in U, Sigma e V trasposta, con rango e numero di condizionamento per valutarne la struttura numerica.

Scomponi una matrice simmetrica definita positiva come A = LLᵀ con il calcolatore della decomposizione di Cholesky di MiniWebtool. Il fattore triangolare inferiore viene costruito passo per passo, poi moltiplicato per la sua trasposta per verificare che ricostruisca l'input.

Scomponi un'espressione razionale in termini più semplici con il Calcolatore della scomposizione in frazioni parziali di MiniWebtool. I calcoli dei coefficienti e una ripartizione visiva spiegano come le singole frazioni si combinano per ricostruire la funzione originale.

Il Calcolatore della decomposizione LU di matrici di MiniWebtool scompone una matrice quadrata fino a 8×8 mediante pivoting parziale. Le matrici triangolari inferiore e superiore e la matrice di permutazione mostrano come eliminazione e scambi di righe si combinino per riprodurre il sistema originale.

Il calcolatore del determinante di MiniWebtool valuta una matrice quadrata e spiega lo sviluppo per cofattori alla base del risultato. Inserisci la matrice per esaminare il determinante e ciò che indica su proprietà quali la singolarità.

Diagonalizza una matrice quadrata con il Calcolatore di diagonalizzazione delle matrici di MiniWebtool, calcolando autovalori, autovettori e la decomposizione A = PDP⁻¹. Supporta matrici da 2×2 a 5×5 con soluzioni passo dopo passo, polinomio caratteristico, analisi delle molteplicità e visualizzazione interattiva.

Usa l'esponenziale di una matrice per esaminare un sistema differenziale lineare. Il Calcolatore dell'esponenziale di matrice di MiniWebtool calcola e^(At) e può applicarlo a un vettore iniziale, con dettagli sul metodo numerico e una visualizzazione del flusso nel piano delle fasi.

Segui ogni proiezione nel processo di Gram-Schmidt con il calcolatore di Gram-Schmidt di MiniWebtool. Inserisci vettori linearmente indipendenti per ottenere basi ortogonali e ortonormali, con calcoli intermedi e verifiche che mostrano le relazioni tra i vettori risultanti.

Calcola il modulo, o norma euclidea, di un vettore 2D, 3D o n-dimensionale con il Calcolatore del modulo di un vettore di MiniWebtool. Ottieni un calcolo passo dopo passo che mostra ogni componente al quadrato, la somma sotto il radicale e la radice quadrata finale, con un diagramma vettoriale.

Segui ogni prodotto scalare riga per colonna con il Calcolatore di moltiplicazione di matrici di MiniWebtool. Inserisci due matrici compatibili fino a 5×5 per vedere il prodotto e i calcoli individuali usati per riempirne gli elementi.

Il Calcolatore delle potenze di matrici di MiniWebtool eleva una matrice quadrata a un esponente intero selezionato. I calcoli intermedi e le proprietà delle matrici aiutano a spiegare la moltiplicazione ripetuta; per le potenze negative la matrice deve essere invertibile.

Calcola un prodotto di Kronecker con il Calcolatore del prodotto tensoriale di MiniWebtool. Due matrici rettangolari producono un risultato esatto in frazioni; visualizzazione blocco per blocco e output copiabile spiegano come ciascun elemento espande la seconda matrice.

Calcola la proiezione vettoriale e quella scalare di un vettore su un altro con il Calcolatore della proiezione vettoriale di MiniWebtool. Supporta vettori 2D e 3D con formule passo dopo passo, diagramma interattivo e scomposizione ortogonale.

Determina il numero di righe o colonne indipendenti con il Calcolatore del rango di matrici di MiniWebtool. Gestisce matrici fino a 10×10 e mostra la riduzione a scala per righe insieme alle dimensioni dello spazio delle colonne e del nucleo.

La traccia è la somma degli elementi sulla diagonale principale di una matrice quadrata. Il Calcolatore della traccia di matrici di MiniWebtool evidenzia tali elementi per matrici fino a 10×10 e confronta la somma con quella degli autovalori.

Trova l'inversa di una matrice quadrata da 2×2 a 6×6 con il Calcolatore dell'inversa di matrice di MiniWebtool. I passaggi di Gauss-Jordan e il determinante spiegano l'invertibilità; la moltiplicazione per il risultato verifica che si ottenga la matrice identità.

Il calcolatore della matrice jacobiana di MiniWebtool dispone in una matrice le derivate parziali di una funzione a valori vettoriali. Inserisci fino a sei componenti e variabili per visualizzare i passaggi svolti, con calcoli di determinante e autovalori ove applicabili.

Calcola det(λI − A) con il calcolatore del polinomio caratteristico di MiniWebtool. Una matrice quadrata da 2×2 a 6×6 produce forme polinomiali sviluppate e fattorizzate, autovalori con molteplicità e passaggi matriciali svolti.

Risolvi un sistema lineare di due o tre variabili usando i determinanti con il calcolatore della regola di Cramer di MiniWebtool. Coefficienti e termini noti producono passaggi di sostituzione delle colonne e rapporti tra determinanti quando il sistema ha una soluzione unica.

Segui la riduzione di matrici con il Calcolatore RREF (forma ridotta a scala per righe) di MiniWebtool. Ogni pivot, scambio di righe ed eliminazione porta alla forma ridotta a scala, con informazioni su rango, nullità e soluzioni per una matrice aumentata.

Trova l'immagine di una matrice con il calcolatore dello spazio delle colonne di MiniWebtool. La riduzione per righe individua le colonne pivot; le corrispondenti colonne originali formano una base. Rango, nullità e operazioni passo per passo spiegano il risultato.

Il Calcolatore dello spazio nullo di MiniWebtool trova una base per tutti i vettori che soddisfano Ax = 0. La riduzione per righe con frazioni esatte mette in evidenza le variabili libere; nullità e verifica rango-nullità collegano l'insieme delle soluzioni alle dimensioni della matrice.

Il Calcolatore di vettori unitari di MiniWebtool normalizza un vettore non nullo dividendolo per il suo modulo. Inserisci due, tre o fino a cinquanta componenti per visualizzare il vettore unitario e le informazioni pertinenti sugli angoli direttori.

Trova le direzioni invarianti di una matrice con il calcolatore di autovalori e autovettori di MiniWebtool. Una matrice 2×2 o 3×3 fornisce autovalori e relativi autovettori, con passaggi del polinomio caratteristico e geometria della trasformazione.

Esegui le operazioni più comuni sulle matrici con il Calcolatore di matrici di MiniWebtool. Addizione, sottrazione, moltiplicazione, trasposizione, determinante e inversa sono accompagnati da matrici visualizzate in modo ordinato e da passaggi che spiegano come si ottengono gli elementi.

Il Calcolatore di vettori di MiniWebtool è uno strumento online gratuito con soluzioni passo dopo passo per prodotto scalare, prodotto vettoriale, modulo, vettore unitario, angolo tra vettori, proiezione e altro, con visualizzazione 3D interattiva.