Calcolatore di Convessità delle Obbligazioni

Calcolatore di Convessità delle Obbligazioni

Il Calcolatore di Convessità delle Obbligazioni misura la sensibilità di secondo ordine del prezzo di un'obbligazione alle variazioni del suo rendimento. Mentre la durata modificata indica la pendenza della curva prezzo-rendimento in un singolo punto, la convessità indica quanto quella curva si piega — un numero che conta enormemente quando i movimenti dei rendimenti diventano ampi. Questo calcolatore fa ciò che la maggior parte degli strumenti online tralascia: ti permette di vedere, fianco a fianco, la previsione del prezzo basata sulla sola durata, la previsione durata più convessità e l'obbligazione ricalcolata esattamente, in modo che l'entità e la direzione della correzione della curvatura siano evidenti a colpo d'occhio.

Cosa rende diverso questo calcolatore

Come usare il Calcolatore di Convessità delle Obbligazioni

1. Clicca su una preimpostazione rapida (Treasury 2 anni, Treasury 10 anni, Corporate 30 anni o Zero-coupon 5 anni) per popolare istantaneamente ogni campo, oppure digita i dettagli della tua obbligazione.
2. Inserisci il valore nominale (par) dell'obbligazione, il tasso cedolare annuo, il rendimento attuale alla scadenza e gli anni alla scadenza.
3. Scegli la frequenza della cedola. Semestrale è l'impostazione predefinita per le obbligazioni USA; scegli annuale per le obbligazioni europee o zero-coupon, trimestrale o mensile per alcuni titoli strutturati.
4. Trascina lo slider dello shock di rendimento per scegliere la variazione in punti base che ti interessa. 100 bp è una dimensione comune per gli stress test; scegli 300+ bp per vedere davvero la convessità in azione.
5. Premi "Calcola" e leggi la scheda del verdetto, la striscia di confronto a tre vie, il grafico della curva di shock, la cascata dei flussi di cassa e la tabella di attribuzione per periodo.

La matematica sotto il cofano

Ogni risultato parte dall'equazione standard del valore attuale per la determinazione del prezzo delle obbligazioni, dove ogni cedola e il rimborso finale del capitale sono scontati al rendimento periodico \(y = y_{annual}/m\) con \(m\) periodi all'anno e il conteggio totale dei periodi \(n = y_{maturity} \cdot m\):

\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \ injections\)

La durata di Macaulay è il tempo medio ponderato per il VA dei flussi di cassa, espresso in anni dividendo per \(m\):

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

La durata modificata adegua la Macaulay per il rendimento periodico e fornisce la variazione percentuale del prezzo per una variazione del rendimento dell'1%:

\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \)

La convessità è la somma ponderata per il prezzo del peso temporale di secondo ordine, riportata in anni al quadrato dividendo per \(m^2\):

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

Le due metriche si combinano nell'approssimazione di Taylor di secondo ordine della variazione percentuale del prezzo per uno spostamento del rendimento \(\Delta y\):

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

Il termine di convessità è sempre non negativo a causa della variazione di rendimento al quadrato. Ecco perché si dice che le obbligazioni a maggiore convessità godano di un "regalo di convessità" — salgono di più in un calo dei rendimenti di quanto previsto dalla durata e perdono meno in un aumento dei rendimenti.

Interpretare i risultati

Alcune regole empiriche da tenere a mente quando si legge l'output:

• La convessità scala approssimativamente con il quadrato della scadenza. Un'obbligazione a 30 anni può avere una convessità 10 volte superiore a un'obbligazione a 5 anni con rapporti di durata simili.
• Cedole più basse significano convessità più alta. Un'obbligazione zero-coupon ha la convessità più alta per la sua scadenza perché tutto il flusso di cassa si trova nel punto più distante.
• Rendimenti più elevati significano convessità inferiore. Il fattore di sconto \((1+y)^{t+2}\) al denominatore riduce il contributo dei flussi di cassa distanti quando i rendimenti salgono.
• La correzione di convessità è simmetrica nel segno. Sia che i rendimenti salgano o scendano di 100 bp, il termine di convessità aggiunge la stessa percentuale positiva alla previsione del prezzo — questo è il regalo della curvatura.

Domande Frequenti

Cos'è la convessità delle obbligazioni?

La convessità è la derivata seconda del prezzo di un'obbligazione rispetto al suo rendimento, rapportata al prezzo dell'obbligazione. Poiché la relazione prezzo-rendimento è curva anziché rettilinea, la durata (la derivata prima) fornisce solo una stima lineare di come il prezzo si muoverà al variare dei rendimenti. La convessità è la correzione di secondo ordine che cattura la curvatura, ed è sempre positiva per le obbligazioni senza opzioni.

Perché la convessità è importante per gli investitori?

Per piccole variazioni di rendimento, la durata è sufficiente. Per grandi variazioni di rendimento — ad esempio 100 punti base o più — la sola durata sottostima il guadagno di prezzo da un calo del rendimento e sovrastima la perdita di prezzo da un aumento del rendimento. La convessità quantifica questa asimmetria, talvolta chiamata regalo di convessità: tra due obbligazioni con la stessa durata, quella con maggiore convessità sovraperforma quando la volatilità è alta.

Qual è la formula della convessità?

La convessità in anni al quadrato è:

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

dove \(P\) è il prezzo dell'obbligazione, \(m\) è il numero di periodi cedolari all'anno, \(y\) è il rendimento periodico e \(\text{CF}_t\) è il flusso di cassa al periodo \(t\). Il fattore \(m^2\) converte le unità da periodo-quadrato in anni-quadrato.

Come si usa la convessità per prevedere una variazione di prezzo?

Combinata con la durata modificata, la variazione percentuale del prezzo è approssimativamente:

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

Poiché il termine di convessità è al quadrato, aggiunge una correzione positiva sia che i rendimenti salgano o scendano, che è la fonte del regalo di convessità.

Quali obbligazioni hanno la convessità più alta?

Le obbligazioni a lunga scadenza con cedole basse hanno la convessità più alta. I flussi di cassa più lontani nel futuro sono pesati più pesantemente nella formula a causa del fattore \(t(t+1)\). Le obbligazioni zero-coupon hanno tipicamente la convessità più alta per una data scadenza poiché tutto il loro flusso di cassa è concentrato alla fine.

Una convessità più alta è sempre meglio?

A parità di altre condizioni, sì — una convessità più alta significa migliori performance sotto volatilità dei rendimenti. In pratica, le obbligazioni a maggiore convessità tendono ad avere un prezzo più elevato (rendimento inferiore) perché gli investitori pagano un premio per la convessità. Se il compromesso sia attraente dipende dalla tua visione sulla volatilità rispetto al carry.

In cosa differisce la convessità dalla durata?

La durata è una misura di primo ordine — la pendenza della curva prezzo-rendimento al rendimento attuale. Presuppone che la curva sia localmente retta. La convessità è una misura di secondo ordine — la curvatura di quella curva. La sola durata è accurata solo per variazioni di rendimento molto piccole; la convessità diventa importante quanto più grande è lo spostamento del rendimento, perché la curva si allontana dalla linea tangente.

La convessità può essere negativa?

Per le obbligazioni ordinarie (senza opzioni incorporate), la convessità è sempre positiva. Le obbligazioni con opzioni incorporate — in particolare le obbligazioni richiamabili (callable) e i titoli garantiti da ipoteca (MBS) — possono mostrare una convessità negativa in certe regioni di rendimento perché l'opzione di rimborso dell'emittente limita il potenziale di rialzo. Questo calcolatore modella il caso senza opzioni.

Qual è la differenza tra durata di Macaulay e durata modificata?

La durata di Macaulay è il tempo medio ponderato per il valore attuale in cui l'obbligazionista riceve i flussi di cassa, misurato in anni. La durata modificata adegua la durata di Macaulay dividendo per \(1 + y/m\), e risponde direttamente alla domanda "di quale percentuale si muove il prezzo della mia obbligazione per una variazione del rendimento dell'1%?". Le due sono quasi identiche quando il rendimento è piccolo e divergono leggermente man mano che il rendimento cresce.

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