Risolutore di EDO di Bernoulli

Risolutore di EDO di Bernoulli

Il Risolutore di EDO di Bernoulli affronta una delle più famose equazioni differenziali non lineari del primo ordine — l'equazione di Bernoulli y' + P(x)y = Q(x)yⁿ — e trasforma la classica derivazione da libro di testo in un percorso interattivo passo dopo passo. Linearizza l'equazione tramite la sostituzione v = y¹⁻ⁿ, costruisce il fattore integrante μ(x) e sovrappone la curva in forma chiusa risultante a una soluzione numerica RK4 e a un campo di direzioni, così da poterne vedere ogni dettaglio contemporaneamente.

Cos'è un'equazione differenziale di Bernoulli?

Introdotta da Jacob Bernoulli nel 1695, un'equazione di Bernoulli è una EDO del primo ordine della forma

Quando n = 0 l'equazione è già lineare; quando n = 1 è separabile. Per ogni altro n reale l'equazione è non lineare, ma la classica sostituzione v = y¹⁻ⁿ la converte in una EDO lineare in v, che può essere risolta con lo standard trucco del fattore integrante.

Il metodo di Bernoulli in sei passaggi

Partendo da y' + P(x)y = Q(x)yⁿ:

1. Dividere per yⁿ: \( y^{-n}y' + P(x)\,y^{1-n} = Q(x) \).
2. Sostituire v = y¹⁻ⁿ: notare che \( v' = (1-n)y^{-n}y' \), quindi \( y^{-n}y' = v'/(1-n) \).
3. Linearizzare: \( v' + (1-n)P(x)\,v = (1-n)Q(x) \) — una EDO lineare del primo ordine in v.
4. Fattore integrante: \( \mu(x) = \exp\!\left(\int (1-n)P(x)\,dx\right) \), quindi \( (\mu v)' = \mu(1-n)Q(x) \).
5. Risolvere per v(x): \( v(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left[\mu(x_0)v_0 + \int_{x_0}^{x}\mu(t)(1-n)Q(t)\,dt\right] \).
6. Sostituire a ritroso: \( y(x) = v(x)^{1/(1-n)} \).

Quando gli integrali coinvolti sono elementari si ottiene una forma chiusa pulita; quando non lo sono, il calcolatore li valuta numericamente usando la regola di Simpson per tracciare la curva della soluzione.

Casi speciali gestiti automaticamente

Esempio svolto — n = 2, stile logistico

Consideriamo y' + y/x = x·y² con condizione iniziale y(1) = 1. Qui P(x) = 1/x, Q(x) = x e n = 2, quindi 1 − n = −1.

1. Sostituire v = y⁻¹ = 1/y. Quindi v' = −y⁻²y' e l'equazione diventa v' − (1/x)v = −x.
2. Fattore integrante: μ(x) = exp(∫−1/x dx) = 1/x.
3. (μ·v)' = μ·(−x) = −1. Integrare: (1/x)·v = −x + C, ovvero v = −x² + Cx.
4. Applicare la CI: a x = 1, v = 1/1 = 1, quindi 1 = −1 + C ⇒ C = 2. Pertanto v(x) = −x² + 2x.
5. Sostituire a ritroso: y(x) = 1/v(x) = 1/(2x − x²) = 1/(x(2 − x)).

La soluzione in forma chiusa y = 1/(x(2−x)) ha asintoti verticali a x = 0 e x = 2 — esattamente il tipo di cosa che un campo di direzioni rende evidente a colpo d'occhio.

Come usare questo calcolatore

1. Compila il costruttore di equazioni. Digita P(x) e Q(x) negli spazi blu e l'esponente n nella piccola casella in apice. Il layout rispecchia la forma standard y' + P(x)y = Q(x)yⁿ.
2. Imposta la condizione iniziale (x₀, y₀) e l'intervallo del grafico [x min, x max]. L'intervallo deve contenere x₀.
3. Clicca su Risolvi. Il calcolatore rileva se ti trovi in un caso speciale (n = 0 o n = 1) e mostra la derivazione corrispondente. Altrimenti, esegue la sostituzione di Bernoulli completa in sei passaggi con equazioni renderizzate in MathJax.
4. Leggi il grafico. La curva arancione è la soluzione numerica RK4. La curva tratteggiata blu è la forma chiusa valutata tramite il fattore integrante. Il campo di frecce mostra y' ovunque, così puoi valutare visivamente anche altre soluzioni.
5. Copia un CSV dei punti campione se desideri importare la traiettoria in un altro programma.

Suggerimenti, insidie e casi limite

• n non intero richiede y > 0. Il risolutore segnala combinazioni come n = 1/2 con y₀ ≤ 0, dove yⁿ sarebbe complesso.
• y₀ = 0 è spesso singolare. Qualsiasi equazione di Bernoulli con Q ≠ 0 e n > 0 ha la soluzione banale y ≡ 0, che in genere non è il ramo desiderato.
• Evita divergenze di P(x) vicino a x₀. Espressioni come 1/x richiedono x₀ ≠ 0; il risolutore lo convalida prima dell'esecuzione.
• Esponenti grandi (|n| > 20) vengono rifiutati per prevenire overflow. In pratica, le equazioni di Bernoulli con n così grande non compaiono quasi mai in problemi reali.
• Asintoti verticali. Se RK4 diverge, prova a restringere l'intervallo x verso il lato di x₀ dove la soluzione rimane finita.

Dove compaiono le equazioni di Bernoulli

• Dinamica delle popolazioni — l'equazione logistica y' = ry(1 − y/K) è un'equazione di Bernoulli sotto mentite spoglie (n = 2 dopo il riordino).
• Cinetica chimica — le reazioni autocatalitiche spesso seguono y' ∝ y − y².
• Circuiti elettrici — alcuni circuiti RL con resistori non lineari producono la forma di Bernoulli.
• Meccanica dei fluidi — equazioni dello strato limite dopo la riduzione di similitudine.
• Modelli epidemici — la frazione di suscettibili del modello SIR può essere ridotta alla forma di Bernoulli.
• Crescita economica — il modello di Solow-Swan con tasso di risparmio costante è di Bernoulli con n = α.

Domande frequenti

Cos'è un'equazione differenziale di Bernoulli?

Un'equazione di Bernoulli è una EDO del primo ordine della forma y' + P(x)y = Q(x)yⁿ, dove P e Q sono funzioni continue e n è un numero reale qualsiasi. È un classico esempio di EDO non lineare che può essere trasformata in una lineare tramite la sostituzione v = y¹⁻ⁿ.

Come funziona la sostituzione v = y¹⁻ⁿ?

Moltiplica l'equazione originale per y⁻ⁿ in modo che ogni termine y diventi y¹⁻ⁿ o y⁻ⁿy'. Ponendo v = y¹⁻ⁿ si ottiene v' = (1−n)y⁻ⁿy'. La sostituzione trasforma l'equazione di Bernoulli in v' + (1−n)P(x)v = (1−n)Q(x), che è lineare in v e risolvibile con un fattore integrante.

Cosa succede quando n = 0 o n = 1?

Quando n = 0 l'equazione è già lineare del primo ordine, quindi non è richiesta alcuna sostituzione. Quando n = 1 la formula di Bernoulli dividerebbe per 1 − n = 0, quindi lo gestiamo separatamente: l'equazione si riduce a y' = (Q(x) − P(x))·y, che è separabile con la soluzione in forma chiusa y = y₀·exp(∫(Q−P) dx).

Le equazioni di Bernoulli possono essere sempre risolte in forma chiusa?

In linea di principio sì, ma gli integrali risultanti che coinvolgono il fattore integrante potrebbero non avere primitive elementari. Quando ciò accade, il calcolatore li valuta numericamente con la regola di Simpson e traccia la curva della soluzione. Il metodo stesso riduce sempre una EDO di Bernoulli a quadrature.

Perché le y negative e le n non intere causano problemi?

Se n non è un intero, yⁿ è definito come exp(n·ln y) ed è reale solo per y > 0. L'inserimento di una y negativa produrrebbe un numero complesso. Il risolutore segnala questa situazione e richiede y₀ > 0 o un esponente intero affinché la soluzione rimanga a valori reali.

Cosa mostra il campo di direzioni?

Il campo di direzioni è una griglia di piccoli segmenti tangenti il cui angolo è uguale a y' in quel punto (x, y). Qualsiasi curva di soluzione è costretta a seguire queste tangenti, quindi il campo di direzioni permette di vedere la forma qualitativa di tutte le soluzioni contemporaneamente, con la condizione iniziale che individua la curva particolare.

Ulteriori letture

• Equazione differenziale di Bernoulli — Wikipedia
• Fattore integrante — Wikipedia
• Funzione logistica — Wikipedia
• Campo di direzioni — Wikipedia