Kalkulator Matriks Jacobian

Hitung matriks Jacobian dari fungsi multivariabel bernilai vektor. Masukkan komponen transformasi untuk mendapatkan setiap turunan parsial, determinan, nilai eigen, langkah kerja dan visualisasi deformasi grid.

Gratis digunakanTidak perlu mendaftarHasil instan

Kalkulator Matriks JacobianCoba sekarang — gratis ▼

Embed Kalkulator Matriks Jacobian Widget

Tentang Kalkulator Matriks Jacobian

Kalkulator Matriks Jacobian menghitung matriks Jacobian dari fungsi multivariabel bernilai vektor apa pun. Masukkan komponen transformasi seperti $F(x,y) = (x^2 + y,\; xy)$, tentukan variabel Anda, dan opsional evaluasi pada titik tertentu. Alat ini mengembalikan matriks Jacobian simbolik lengkap, determinan, nilai eigen, solusi MathJax langkah demi langkah, dan untuk kasus 2×2, visualisasi deformasi kisi interaktif yang menunjukkan bagaimana transformasi linear meregangkan, memutar, dan menggeser ruang.

Apa Itu Matriks Jacobian?

Matriks Jacobian dari fungsi bernilai vektor $\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ adalah matriks $m \times n$ dari semua turunan parsial orde pertama:

$$J = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$

Jacobian mewakili perkiraan linear terbaik dari fungsi di dekat titik tertentu. Ini memperumum konsep turunan ke fungsi bernilai vektor dari beberapa variabel.

Konsep Kunci

⊞

Matriks Jacobian

Matriks m×n dari semua turunan parsial ∂Fᵢ/∂xⱼ — turunan total dalam bentuk matriks.

◇

Determinan

Untuk J persegi: det(J) mengukur penskalaan luas/volume lokal dan perubahan orientasi.

↔

Teorema Fungsi Invers

Jika det(J) ≠ 0 pada suatu titik, fungsi tersebut dapat dibalik secara lokal di sana.

∮

Perubahan Variabel

Dalam integrasi: dA' = |det(J)| dA memperhitungkan peregangan koordinat.

Determinan Jacobian

Ketika matriks Jacobian berbentuk persegi ($m = n$), determinannya memiliki makna geometris yang mendalam:

det(J)	Makna Geometris	Contoh
det(J) > 0	Orientasi dipertahankan, luas diskalakan sebesar det(J)	Ekspansi, rotasi
det(J) < 0	Orientasi dibalik, luas diskalakan sebesar \|det(J)\|	Refleksi
det(J) = 0	Singular — dimensi runtuh, tidak dapat dibalik secara lokal	Proyeksi ke dimensi yang lebih rendah
\|det(J)\| = 1	Luas/volume dipertahankan (isometri atau rotasi)	Matriks rotasi

Transformasi Koordinat Umum

Transformasi	Pemetaan	Determinan Jacobian
Polar → Kartesius	$x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta$	$r$
Silinder → Kartesius	$x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta,\; z = z$	$r$
Sferis → Kartesius	$x = r\sin\phi\cos\theta,\; y = r\sin\phi\sin\theta,\; z = r\cos\phi$	$r^2 \sin\phi$
Rotasi 2D sebesar α	$x' = x\cos\alpha - y\sin\alpha,\; y' = x\sin\alpha + y\cos\alpha$	1
Penskalaan	$x' = ax,\; y' = by$	$ab$

Aplikasi Jacobian

Bidang	Aplikasi	Peran Jacobian
Kalkulus Multivariabel	Perubahan variabel dalam integral	\|det(J)\| adalah faktor penskalaan untuk elemen luas/volume
Robotika	Kinematika lengan robot	Memetakan kecepatan sendi ke kecepatan end-effector
Machine Learning	Normalizing flows	det(J) menghitung perubahan densitas probabilitas melalui transformasi
Fisika	Transformasi koordinat	Hukum transformasi tensor, tensor metrik
Optimasi	Metode Newton (multivariat)	Jacobian dari gradien = Hessian; digunakan dalam analisis konvergensi
Grafika Komputer	Texture mapping, deformasi mesh	Mengukur distorsi saat pemetaan antar permukaan

Cara Menggunakan Kalkulator Matriks Jacobian

Masukkan komponen fungsi: Ketik setiap komponen fungsi bernilai vektor Anda yang dipisahkan oleh titik koma. Misalnya, x^2 + y; x*y untuk $\mathbf{F}(x,y) = (x^2+y, xy)$. Gunakan ^ untuk eksponen, * untuk perkalian, dan fungsi standar seperti sin, cos, exp, ln, sqrt.
Tentukan variabel: Masukkan nama variabel yang dipisahkan oleh koma (misalnya, x, y atau r, t). Jumlah variabel menentukan jumlah kolom dalam Jacobian.
Masukkan titik evaluasi (opsional): Berikan nilai koordinat untuk mengevaluasi Jacobian secara numerik. Anda dapat menggunakan konstanta seperti pi dan e.
Klik Hitung Jacobian: Lihat matriks Jacobian simbolik, semua turunan parsial, determinan (untuk matriks persegi), nilai eigen, dan solusi langkah demi langkah.
Jelajahi visualisasi: Untuk Jacobian 2×2, lihat deformasi kisi interaktif yang menunjukkan bagaimana matriks mengubah kisi asli, lingkaran satuan, dan vektor basis. Beralih antara tampilan Kisi, Lingkaran, dan Keduanya.

Contoh Soal: Koordinat Polar

Cari Jacobian dari transformasi polar-ke-Kartesius $F(r, \theta) = (r\cos\theta,\; r\sin\theta)$:

Langkah 1: Hitung turunan parsial: $\frac{\partial F_1}{\partial r} = \cos\theta$, $\frac{\partial F_1}{\partial \theta} = -r\sin\theta$, $\frac{\partial F_2}{\partial r} = \sin\theta$, $\frac{\partial F_2}{\partial \theta} = r\cos\theta$.

Langkah 2: Susun: $J = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}$

Langkah 3: Determinan: $\det(J) = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r$. Inilah sebabnya mengapa elemen luas dalam koordinat polar adalah $r\,dr\,d\theta$.

Hubungan dengan Konsep Lain

Matriks Jacobian terhubung dengan banyak konsep dasar dalam matematika:

Gradien: Untuk fungsi skalar $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, Jacobian adalah vektor baris $1 \times n$ — transpos dari gradien $\nabla f$.
Hessian: Matriks Hessian adalah Jacobian dari gradien: $H(f) = J(\nabla f)$.
Divergensi dan Curl: Divergensi adalah trace (jejak) dari Jacobian; curl melibatkan komponen antisimetris di luar diagonal.
Aturan Rantai: Untuk fungsi komposisi, $J(\mathbf{G} \circ \mathbf{F}) = J(\mathbf{G}) \cdot J(\mathbf{F})$ — aturan rantai menjadi perkalian matriks Jacobian.

FAQ

Apa itu matriks Jacobian?

Matriks Jacobian adalah matriks dari semua turunan parsial orde pertama dari fungsi bernilai vektor. Untuk fungsi F dari R^n ke R^m, Jacobian adalah matriks m kali n di mana entri (i,j) adalah turunan parsial dari output ke-i terhadap variabel input ke-j. Ini mewakili perkiraan linear terbaik dari fungsi di dekat suatu titik dan sangat mendasar bagi kalkulus multivariabel, persamaan diferensial, dan banyak bidang matematika terapan.

Apa yang direpresentasikan oleh determinan Jacobian?

Determinan Jacobian (untuk Jacobian persegi) mengukur seberapa banyak transformasi menskalakan luas atau volume secara lokal. Determinan 2 berarti luas menjadi dua kali lipat, determinan -1 berarti luas dipertahankan tetapi orientasi dibalik, dan determinan 0 berarti transformasi meruntuhkan suatu dimensi pada titik tersebut. Dalam integrasi, nilai absolut dari determinan Jacobian digunakan sebagai faktor penskalaan saat mengubah variabel.

Bagaimana Jacobian digunakan dalam transformasi koordinat?

Dalam kalkulus multivariabel, saat mengubah variabel dalam integral lipat, determinan Jacobian muncul sebagai faktor penskalaan. Misalnya, mengubah dari koordinat Kartesius ke polar memerlukan perkalian dengan nilai absolut dari determinan Jacobian |r|, memberikan elemen luas r dr dθ yang sudah dikenal. Ini memperhitungkan bagaimana elemen luas atau volume yang sangat kecil berubah di bawah pemetaan koordinat.

Apa perbedaan antara matriks Jacobian dan matriks Hessian?

Jacobian adalah matriks turunan pertama dari fungsi bernilai vektor (memetakan R^n ke R^m). Hessian adalah matriks turunan kedua dari fungsi bernilai skalar (memetakan R^n ke R). Hessian dari fungsi skalar f sama dengan Jacobian dari gradiennya: H(f) = J(∇f). Jacobian menggambarkan bagaimana transformasi meregangkan ruang; Hessian menggambarkan kelengkungan suatu permukaan.

Kapan matriks Jacobian dapat dibalik?

Matriks Jacobian dapat dibalik pada suatu titik ketika ia berbentuk persegi (m = n) dan determinannya tidak nol. Berdasarkan Teorema Fungsi Invers, jika Jacobian dapat dibalik pada suatu titik, fungsi tersebut dapat dibalik secara lokal di dekat titik tersebut, artinya terdapat fungsi invers lokal yang mulus. Ini adalah hasil fundamental dalam topologi diferensial dan digunakan secara luas dalam teori fungsi implisit dan analisis nonlinear.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Matriks Jacobian" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-matriks-jacobian/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 2026-04-08

API developer tersedia: Jalankan alat ini dari aplikasi, otomatisasi, atau agen Anda dengan satu permintaan HTTP JSON. Lihat dokumentasi API

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Aljabar Linear:

Kalkulator Sudut Antara Vektor Baru
Kalkulator Polinomial Karakteristik Baru
Kalkulator Dekomposisi Cholesky Baru
Kalkulator Ruang Kolom Baru
Kalkulator Aturan Cramer Baru
Kalkulator Perkalian Silang Vektor Baru
Kalkulator Determinan
Kalkulator Perkalian Titik Baru
Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Kalkulator Gram-Schmidt
Kalkulator Matriks Jacobian Baru
Kalkulator Bentuk Normal Jordan Baru
Kalkulator Matriks
Kalkulator Diagonalisasi Matriks Baru
Kalkulator Eksponensial Matriks Baru
Kalkulator Matriks Invers Baru
Kalkulator Dekomposisi LU Matriks
Kalkulator Perkalian Matriks Baru
Kalkulator Pangkat Matriks Baru
Kalkulator Rank Matriks
Kalkulator Trace Matriks
Kalkulator Ruang Nol Baru
Kalkulator Penguraian Pecahan Parsial
Kalkulator Dekomposisi QR Baru
Kalkulator RREF (Bentuk Eselon Baris) Baru
Kalkulator Dekomposisi Nilai Singular (SVD)
Kalkulator Produk Tensor Baru
Kalkulator Vektor Satuan Baru
Kalkulator Vektor
Kalkulator Magnitudo Vektor Baru
Kalkulator Proyeksi Vektor

Transformasi	Pemetaan	Determinan Jacobian
Polar → Kartesius	\(x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta\)	\(r\)
Silinder → Kartesius	\(x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta,\; z = z\)	\(r\)
Sferis → Kartesius	\(x = r\sin\phi\cos\theta,\; y = r\sin\phi\sin\theta,\; z = r\cos\phi\)	\(r^2 \sin\phi\)
Rotasi 2D sebesar α	\(x' = x\cos\alpha - y\sin\alpha,\; y' = x\sin\alpha + y\cos\alpha\)	1
Penskalaan	\(x' = ax,\; y' = by\)	\(ab\)