Kalkulator Dekomposisi LU Matriks

Selamat datang di Kalkulator Dekomposisi LU Matriks, alat aljabar linear komprehensif yang memfaktorkan matriks persegi apa pun menjadi produk matriks segitiga bawah (L) dan matriks segitiga atas (U) menggunakan eliminasi Gauss dengan pivoting parsial. Dapatkan eliminasi detail langkah demi langkah, animasi dekomposisi interaktif, dan verifikasi otomatis. Ideal untuk siswa, insinyur, dan siapa saja yang bekerja dengan sistem persamaan linear.

Apa itu Dekomposisi LU?

Dekomposisi LU (juga disebut faktorisasi LU) menyatakan matriks persegi \(A\) sebagai hasil kali dua matriks segitiga:

Di mana:

• L (Segitiga bawah): memiliki angka 1 pada diagonal dan entri tidak nol hanya di bawah diagonal. Entri ini adalah pengali yang digunakan selama eliminasi Gauss.
• U (Segitiga atas): memiliki entri tidak nol hanya pada dan di atas diagonal. Ini adalah bentuk eselon baris dari matriks tersebut.

Ketika pivoting parsial digunakan (untuk menghindari pivot nol dan meningkatkan stabilitas numerik), faktorisasinya menjadi:

Di mana \(P\) adalah matriks permutasi yang mencatat pertukaran baris yang dilakukan selama eliminasi.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan matriks Anda: Masukkan matriks persegi dengan baris pada baris terpisah atau dipisahkan oleh titik koma. Elemen dapat dipisahkan oleh spasi, koma, atau tab. Mendukung hingga 8×8.
2. Atur presisi desimal: Pilih berapa banyak tempat desimal (2-10) yang akan ditampilkan dalam hasil.
3. Klik Dekomposisi: Kalkulator melakukan faktorisasi LU dengan pivoting parsial dan menampilkan hasilnya.
4. Tinjau hasil: Periksa matriks L, U, dan P, animasi dekomposisi, dan detail eliminasi langkah demi langkah.

Menyelesaikan Sistem Linear dengan Dekomposisi LU

Dekomposisi LU sangat kuat untuk menyelesaikan sistem persamaan linear \(Ax = b\). Setelah Anda memiliki \(PA = LU\), penyelesaian menjadi proses dua langkah:

Langkah 1: Substitusi Maju

Selesaikan \(Ly = Pb\) untuk \(y\). Karena \(L\) adalah segitiga bawah, ini mudah — mulai dari persamaan atas dan lanjut ke bawah:

Langkah 2: Substitusi Balik

Selesaikan \(Ux = y\) untuk \(x\). Karena \(U\) adalah segitiga atas, mulai dari persamaan bawah dan lanjut ke atas:

Menghitung Determinan

Determinan dari \(A\) dapat dihitung secara efisien dari faktor-faktor LU:

Di mana \(s\) adalah jumlah pertukaran baris (pivot) dan \(U_{ii}\) adalah entri diagonal dari \(U\). Karena \(\det(L) = 1\) (semua entri diagonal adalah 1) dan \(\det(P) = (-1)^s\), rumus ini mengikuti dari \(\det(P)\det(A) = \det(L)\det(U)\).

Mengapa Pivoting Parsial?

Tanpa pivoting, dekomposisi LU gagal jika ada elemen pivot yang bernilai nol. Bahkan ketika pivot tidak nol tetapi kecil, hasil perhitungan dapat menderita kesalahan numerik yang parah. Pivoting parsial memilih pivot terbesar yang tersedia di setiap kolom, yang:

• Mencegah pembagian dengan nol
• Meminimalkan pertumbuhan kesalahan pembulatan
• Menjamin pengali dalam L memenuhi \(|L_{ij}| \leq 1\)
• Memastikan setiap matriks non-singular dapat didekomposisi

Aplikasi Dekomposisi LU

LU vs Dekomposisi Lainnya

• LU vs QR: LU lebih cepat (\(O(\frac{2}{3}n^3)\) vs \(O(\frac{4}{3}n^3)\)) tetapi kurang stabil secara numerik. QR lebih disukai untuk masalah kuadrat terkecil.
• LU vs Cholesky: Cholesky (\(A = LL^T\)) hanya bekerja untuk matriks simetris positif-definit tetapi dua kali lebih cepat dan lebih stabil daripada LU umum.
• LU vs Eliminasi Gauss: LU adalah eliminasi Gauss, tetapi bentuk terfaktorisasi L dan U dapat digunakan kembali untuk menyelesaikan beberapa sisi kanan secara efisien.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu dekomposisi LU?

Dekomposisi LU (juga disebut faktorisasi LU) adalah metode yang memfaktorkan matriks persegi A menjadi produk dari matriks segitiga bawah L dan matriks segitiga atas U, sehingga A = LU (atau PA = LU dengan pivoting parsial). Matriks L memiliki angka 1 pada diagonalnya dan menyimpan pengali eliminasi, sedangkan U adalah hasil dari eliminasi Gauss.

Mengapa pivoting parsial diperlukan dalam dekomposisi LU?

Pivoting parsial menukar baris untuk menempatkan nilai absolut terbesar di posisi pivot. Ini mencegah pembagian dengan nol ketika elemen pivot adalah nol, dan mengurangi kesalahan numerik yang disebabkan oleh pembagian dengan angka kecil. Dengan pivoting parsial, faktorisasi menjadi PA = LU, di mana P adalah matriks permutasi yang mencatat pertukaran baris.

Apa saja aplikasi dekomposisi LU?

Dekomposisi LU digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (Ax = b) secara efisien, menghitung determinan matriks, mencari invers matriks, dan menganalisis stabilitas numerik. Ini sangat efisien saat menyelesaikan beberapa sistem dengan matriks koefisien yang sama tetapi sisi kanan yang berbeda, karena faktorisasi hanya perlu dilakukan sekali.

Bagaimana cara menyelesaikan Ax = b menggunakan dekomposisi LU?

Setelah menghitung PA = LU, penyelesaian Ax = b menjadi: pertama selesaikan Ly = Pb menggunakan substitusi maju (mudah karena L adalah segitiga bawah), kemudian selesaikan Ux = y menggunakan substitusi balik (mudah karena U adalah segitiga atas). Proses dua langkah ini jauh lebih cepat daripada eliminasi Gauss saat menyelesaikan banyak sistem.

Apakah setiap matriks persegi dapat didekomposisi LU?

Tidak setiap matriks persegi memiliki dekomposisi LU tanpa pivoting. Sebuah matriks memiliki faktorisasi LU jika dan hanya jika semua minor prinsip utamanya tidak nol. Namun, dengan pivoting parsial (PA = LU), setiap matriks persegi non-singular dapat didekomposisi. Matriks singular mungkin gagal jika ditemukan pivot nol.

Sumber Daya Tambahan

• Dekomposisi LU - Wikipedia
• Matriks Segitiga - Wikipedia