Kalkulator Ruang Nol

Temukan ruang nol (kernel) dari matriks apa pun dengan menyelesaikan Ax = 0 menggunakan eliminasi Gauss. Dapatkan vektor basis, nullity, reduksi RREF langkah demi langkah, dan verifikasi teorema rank-nullity.

Gratis digunakanTidak perlu mendaftarHasil instan

Kalkulator Ruang NolCoba sekarang — gratis ▼

Embed Kalkulator Ruang Nol Widget

Tentang Kalkulator Ruang Nol

Kalkulator Ruang Nol menemukan ruang nol (kernel) dari matriks apa pun dengan menyelesaikan sistem homogen Ax = 0. Masukkan matriks dengan ukuran apa pun hingga 8×8 dan dapatkan basis ruang nol lengkap dengan aritmatika pecahan yang tepat, eliminasi Gauss langkah demi langkah ke RREF, klasifikasi kolom (pivot vs bebas), dan verifikasi teorema rank-nulitas.

Apa Itu Ruang Nol dari Sebuah Matriks?

Ruang nol (juga disebut kernel) dari matriks $m \times n$ $A$ adalah himpunan semua vektor $\mathbf{x}$ dalam $\mathbb{R}^n$ yang memenuhi:

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

Ditulis sebagai himpunan: $\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}$. Ruang nol selalu merupakan ruang bagian (subspace) dari $\mathbb{R}^n$, yang berarti ia berisi vektor nol dan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar.

⊕

Ruang Bagian

Ruang nol selalu merupakan ruang bagian dari R^n. Ia berisi vektor nol dan tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar.

📊

Dimensi = Nulitas

Dimensi ruang nol sama dengan nulitas — jumlah variabel bebas setelah reduksi baris.

↔

Variabel Bebas

Setiap variabel bebas dalam RREF menyumbangkan satu vektor basis ke ruang nol.

⚖

Rank-Nulitas

rank(A) + nulitas(A) = n, di mana n adalah jumlah kolom. Ini selalu berlaku.

Cara Mencari Ruang Nol

Langkah 1. Atur jumlah baris (m) dan kolom (n) untuk matriks Anda menggunakan kontrol +/−, atau klik contoh cepat untuk memuat matriks preset.

Langkah 2. Masukkan nilai matriks Anda ke dalam kisi. Anda dapat mengetik bilangan bulat, desimal, atau pecahan seperti 1/3 atau -5/2. Gunakan Tab, Enter, atau tombol panah untuk menavigasi antar sel.

Langkah 3. Klik Cari Ruang Nol. Kalkulator melakukan eliminasi Gauss untuk mengubah matriks Anda ke bentuk eselon baris tereduksi (RREF).

Langkah 4. Identifikasi kolom pivot dan kolom bebas. Setiap kolom bebas sesuai dengan variabel bebas yang dapat mengambil nilai apa pun.

Langkah 5. Untuk setiap variabel bebas, atur nilainya menjadi 1 dan semua variabel bebas lainnya menjadi 0, lalu selesaikan untuk variabel pivot. Vektor yang dihasilkan membentuk basis untuk ruang nol.

Ruang Nol vs. Ruang Kolom

Properti	Ruang Nol	Ruang Kolom
Definisi	Semua x sedemikian sehingga Ax = 0	Semua b sedemikian sehingga Ax = b memiliki solusi
Berada di	$\mathbb{R}^n$ (domain)	$\mathbb{R}^m$ (kodomain)
Dimensi	nulitas = n − rank	rank
Ditemukan dari	Kolom bebas dari RREF	Kolom pivot dari A

Teorema Rank-Nulitas

Untuk matriks $m \times n$ $A$ apa pun:

$$\text{rank}(A) + \text{nulitas}(A) = n$$

Rank adalah jumlah kolom pivot dalam RREF, dan nulitas adalah jumlah kolom bebas. Bersama-sama mereka menjelaskan setiap kolom. Teorema ini juga dikenal sebagai teorema dimensi untuk pemetaan linear.

Kasus Khusus

Skenario	Ruang Nol	Apa Artinya
Rank kolom penuh (rank = n)	Hanya {0}	Kolom-kolom bebas linear; Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial
Kolom lebih banyak dari baris (n > m)	Selalu tidak trivial	Setidaknya ada n − m variabel bebas, sehingga terdapat solusi tak terhingga
Matriks persegi singular	Tidak trivial	Matriks memiliki determinan nol dan baris/kolom yang bergantung
Matriks nol	Seluruh $\mathbb{R}^n$	Setiap vektor berada dalam ruang nol; basisnya adalah basis standar

Aplikasi Ruang Nol

📐

Sistem Linear

Solusi umum untuk Ax = b adalah x = x_p + Null(A), di mana x_p adalah satu solusi khusus.

📊

Kebebasan Linear

Kolom-kolom A bebas linear jika dan hanya jika Null(A) = {0}.

🔄

Persamaan Diferensial

Ruang solusi dari sistem ODE linear homogen adalah ruang nol dari matriks koefisien.

🔐

Kode Koreksi Kesalahan

Dalam teori pengkodean, kata sandi yang valid membentuk ruang nol dari matriks pemeriksaan paritas H.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu ruang nol sebuah matriks?

Ruang nol (atau kernel) dari matriks A adalah himpunan semua vektor x sedemikian sehingga Ax = 0. Ini adalah ruang bagian dari R^n di mana n adalah jumlah kolom. Ruang nol selalu berisi vektor nol dan mungkin juga berisi tak terhingga banyak vektor bukan nol jika matriks memiliki variabel bebas.

Bagaimana cara mencari ruang nol?

Reduksi matriks A ke bentuk eselon baris tereduksi (RREF) menggunakan eliminasi Gauss. Identifikasi kolom pivot dan kolom bebas. Untuk setiap variabel bebas, atur nilainya menjadi 1 dan semua variabel bebas lainnya menjadi 0, lalu selesaikan untuk variabel pivot. Vektor yang dihasilkan membentuk basis untuk ruang nol.

Apa itu teorema rank-nulitas?

Teorema rank-nulitas menyatakan bahwa untuk matriks A berukuran m kali n, rank(A) + nulitas(A) = n, di mana n adalah jumlah kolom. Rank adalah jumlah kolom pivot dan nulitas adalah dimensi ruang nol (jumlah variabel bebas).

Apa artinya jika ruang nol bersifat trivial?

Ruang nol trivial berarti satu-satunya solusi untuk Ax = 0 adalah vektor nol x = 0. Ini terjadi ketika setiap kolom adalah kolom pivot (rank kolom penuh). Ini berarti kolom-kolom A bebas linear.

Bisakah matriks bukan persegi memiliki ruang nol?

Ya. Setiap matriks memiliki ruang nol. Untuk matriks m kali n dengan m kurang dari n, ruang nol dijamin tidak trivial (dimensi setidaknya n - m) karena ada lebih banyak variabel yang tidak diketahui daripada persamaan, sehingga variabel bebas selalu ada.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Ruang Nol" di https://MiniWebtool.com/id/kalkulator-ruang-nol/ dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim MiniWebtool. Diperbarui: 2026-04-10

API developer tersedia: Jalankan alat ini dari aplikasi, otomatisasi, atau agen Anda dengan satu permintaan HTTP JSON. Lihat dokumentasi API

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Aljabar Linear:

Kalkulator Sudut Antara Vektor Baru
Kalkulator Polinomial Karakteristik Baru
Kalkulator Dekomposisi Cholesky Baru
Kalkulator Ruang Kolom Baru
Kalkulator Aturan Cramer Baru
Kalkulator Perkalian Silang Vektor Baru
Kalkulator Determinan
Kalkulator Perkalian Titik Baru
Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Kalkulator Gram-Schmidt
Kalkulator Matriks Jacobian Baru
Kalkulator Bentuk Normal Jordan Baru
Kalkulator Matriks
Kalkulator Diagonalisasi Matriks Baru
Kalkulator Eksponensial Matriks Baru
Kalkulator Matriks Invers Baru
Kalkulator Dekomposisi LU Matriks
Kalkulator Perkalian Matriks Baru
Kalkulator Pangkat Matriks Baru
Kalkulator Rank Matriks
Kalkulator Trace Matriks
Kalkulator Ruang Nol Baru
Kalkulator Penguraian Pecahan Parsial
Kalkulator Dekomposisi QR Baru
Kalkulator RREF (Bentuk Eselon Baris) Baru
Kalkulator Dekomposisi Nilai Singular (SVD)
Kalkulator Produk Tensor Baru
Kalkulator Vektor Satuan Baru
Kalkulator Vektor
Kalkulator Magnitudo Vektor Baru
Kalkulator Proyeksi Vektor