二階常微分方程求解器

二階常微分方程求解器

這款 二階常微分方程求解器 可處理形式為 a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) 且具有常實係數的線性常微分方程，自動推導其特徵方程，分類阻尼狀態（過阻尼、臨界阻尼、欠阻尼、無阻尼或不穩定），並同時產生符號閉式解和高精度數值解。互動式輸出將 y(x) 和 y′(x) 的雙曲線時域圖與 (y, y′) 的相平面軌跡配對 —— 這種視圖能讓你一眼看出系統狀態：欠阻尼為向內螺旋、過阻尼為向內節點、無阻尼為閉迴路、不穩定則為向外螺旋。

什麼是具有常係數的二階線性 ODE？

具有實常係數的 二階線性常微分方程 是形式如下的方程：

其中 a ≠ 0，b、c 是實常數，而 g(x) 是驅動項。給定兩個初始條件 y(x₀) = y₀ 和 y′(x₀) = y′₀，這就變成了一個在 x₀ 鄰域內具有唯一解的 初始值問題 —— 這是根據應用於等效一階系統的 Picard-Lindelöf 定理得出的。

如果 g(x) = 0，則方程為 齊次 的。否則，它是 非齊次 的，且完整解可分解為：

其中 y_h 是相關齊次方程的通解（包含兩個任意常數），而 y_p 是完整方程的 任何 一個特解。應用兩個初始條件即可確定這兩個任意常數。

特徵方程

在齊次方程中假設 y = e^(r·x) 可得到 特徵方程（或輔助方程）：

這是一個二次方程，其判別式 Δ = b² − 4ac 控制了整個定性行為：

三種根的情況與阻尼狀態

待定係數法（非齊次情況）

當 g(x) 具有以下簡單形式之一時，待定係數法 透過假設一個具有相同形式且帶有未知係數的試選函數並求解，來提供一個特解：

• 常數 g(x) = k。試選函數：y_p = K。如果 c = 0 則乘以 x；如果 b = 0 亦然，則再乘以 x。
• n 次多項式。試選函數：一般 n 次多項式。如果常數項或線性項產生共振，則乘以 x 或 x²。
• 指數函數 g(x) = A·e^(k·x)。試選函數：y_p = K·e^(k·x)。如果 k 與特徵根重合，則乘以 x（單根）或 x²（二重根） —— 這就是 共振。
• 正弦/餘弦 g(x) = A·cos(ω·x) + B·sin(ω·x)。試選函數：y_p = K₁·cos(ω·x) + K₂·sin(ω·x)。如果 iω 是根，則乘以 x（純頻率共振）。
• 乘積與和 遵循線性性質和乘法法則。

如何解讀相平面

等效的一階系統為 u = y, v = y′，其中 u′ = v 且 v′ = (g(x) − b·v − c·u)/a。以 x 為參數繪製 v 對 u 的圖形即得到 相平面軌跡。對於齊次自主系統（g 中不含 x），軌道由其起點 (y₀, y′₀) 唯一決定，並能一眼揭示系統狀態：

• 欠阻尼：軌跡向原點螺旋縮小。
• 過阻尼：軌跡沿不變線（慢特徵向量）趨近原點。
• 臨界阻尼：退化節點，軌跡與單一特徵向量相切。
• 無阻尼：包圍原點的封閉橢圓 —— 永久震盪。
• 不穩定：軌跡向外螺旋或奔向無窮大。

計算範例：受迫阻尼諧振子

考慮方程 y″ + 2·y′ + 5·y = 10，且 y(0) = 0, y′(0) = 0 —— 這是一個受迫的欠阻尼系統。

1. 特徵方程： r² + 2r + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → r = −1 ± 2i。
2. 齊次解： y_h = e^(−x)·(C₁·cos 2x + C₂·sin 2x)。
3. 針對常數驅動力 g = 10 的特解： 設 y_p = K，則 5K = 10，得到 y_p = 2。
4. 應用初始條件： y(0) = 0 → C₁ + 2 = 0 → C₁ = −2。y′(0) = 0 → −C₁ + 2C₂ = 0 → C₂ = −1。
5. 最終答案： y(x) = 2 − e^(−x)·(2·cos 2x + sin 2x) —— 隨衰減包絡震盪，極限 y → 2。

如何使用此計算機

1. 在頂行輸入係數 a, b, c。a 必須非零（否則方程為一階）。
2. 輸入驅動項 g(x)，若是齊次問題則設為 0。系統可為常數、最高 2 次的多項式以及單一指數項 A·e^(k·x)（包含共振情況）推導閉式特解。
3. 提供初始條件 (x₀, y₀, y′₀)。由於是二階方程，必須指定 x₀ 處的 y 和 y′。
4. 選擇繪圖的 x 範圍。求解器將使用 RK4 從 x₀ 開始向兩個方向進行數值積分。
5. 點擊求解與視覺化。 您將獲得特徵方程及其在複數平面上的根、阻尼狀態分類、齊次與特解的閉式解、y 與 y′ 的雙曲線時域圖，以及相平面軌跡。

常見應用

• 機械彈簧-質量-阻尼系統： m·x″ + c·x′ + k·x = F(t)。過阻尼、臨界阻尼和欠阻尼對應於不同的阻尼比 ζ = c/(2·√(m·k))。
• RLC 電路： 串聯 RLC 電路遵循 L·Q″ + R·Q′ + Q/C = V(t) —— 結構相同，符號不同。
• 單擺（小角度）： θ″ + (g/L)·θ = 0 產生簡諧運動；增加空氣阻力則產生阻尼震盪。
• 建築物對地震的反應： 具有基底加速度作為驅動項的單自由度結構。
• PID 控制的伺服系統： 閉迴路誤差動力學可簡化為二階 ODE，其阻尼比決定了超調量。
• 具有慣性的模型： 具有資本積累滯後的經濟增長模型，或具有延遲反應的生態模型。

數值方法 —— 二維系統上的古典 Runge-Kutta (RK4)

工具將 a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) 簡化為一階系統：

其中 u(x₀) = y₀, v(x₀) = y′₀。然後對向量狀態 (u, v) 應用四階 Runge-Kutta 方法。RK4 具有局部截斷誤差 O(h⁵) 和全域誤差 O(h⁴)；預設在每個方向進行 400 個子步，對於非剛性問題可提供約六位數的精度。

常見問題解答

什麼是具有常係數的二階線性 ODE？

具有常係數的二階線性 ODE 形式為 a·y″ + b·y′ + c·y = g(x)，其中 a, b, c 是實常數，而 g(x) 是驅動（非齊次）項。給定兩個初始條件 y(x₀) = y₀ 和 y′(x₀) = y′₀，解是唯一的。齊次情況 g(x) = 0 始終可以透過特徵方程 a·r² + b·r + c = 0 獲得閉式解；非齊次情況則解為 y(x) = y_h(x) + y_p(x)。

什麼是特徵方程？

對於 a·y″ + b·y′ + c·y = 0，代入假設 y = e^(r·x) 可得出 a·r² + b·r + c = 0 —— 即特徵方程或輔助方程。其根決定了齊次解的形式：兩個相異實根給出 y_h = C₁·e^(r₁·x) + C₂·e^(r₂·x)；重根 r 給出 y_h = (C₁ + C₂·x)·e^(r·x)；共軛複根 α ± β·i 給出 y_h = e^(α·x)·(C₁·cos(β·x) + C₂·sin(β·x))。

欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼是什麼意思？

這些術語來自彈簧-質量-阻尼模型 m·x″ + c·x′ + k·x = 0。過阻尼（判別式 > 0，兩個實根）意味著系統緩慢返回平衡而無震盪。臨界阻尼（判別式 = 0，重根）是無超調且最快返回平衡的情況。欠阻尼（判別式 < 0，複數根）產生衰減震盪。無阻尼 (b = 0, c/a > 0) 則產生永久的純弦波震盪。

什麼是待定係數法？

對於簡單的驅動項 g(x) —— 常數、多項式、指數、正弦、餘弦及其乘積 —— 假設特解 y_p 與 g 具有相同的形式並帶有未知係數，透過代入 ODE 並匹配各項來確定係數。當 g(x) 與特徵根共振時，試選函數必須乘以 x（對於二重根則乘以 x²）。

什麼是相平面？

對於簡化為二維系統 (y, y′) 的二階方程，相平面隨 x 的推進繪製 y′ 對 y 的關係。相平面中的解曲線能一眼看出狀態：欠阻尼為衰減螺旋，過阻尼為向內節點，無阻尼諧振運動為封閉橢圓，不穩定震盪則為向外螺旋。它是特徵方程根圖的幾何對應。

此工具使用哪種數值方法？

採用古典四階 Runge-Kutta (RK4) 方法應用於等效的一階系統 u = y, v = y′，其中 u′ = v 且 v′ = (g(x) − b·v − c·u)/a。RK4 具有局部截斷誤差 O(h⁵)，在所選窗口內每個方向預設 400 個子步，對非剛性方程可提供約六位數字的精度。

延伸閱讀

• 線性微分方程 — 維基百科
• 特徵方程 — 維基百科
• 待定係數法 — 維基百科
• 諧振子 — 維基百科
• 相平面 — 維基百科
• Runge-Kutta 方法 — 維基百科