เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสอง

เกี่ยวกับ เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสอง

เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสอง จะรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นในรูปแบบ a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงที่จริง หาคำตอบของสมการคุณลักษณะโดยอัตโนมัติ จำแนกสภาวะการหน่วง (หน่วงเกิน, หน่วงวิกฤต, หน่วงน้อย, ไม่หน่วง หรือไม่เสถียร) และแสดงทั้งผลเฉลยเชิงสัญลักษณ์ในรูปแบบปิดและผลเฉลยเชิงตัวเลขที่มีความแม่นยำสูง ผลลัพธ์แบบโต้ตอบจะแสดงกราฟเวลาแบบเส้นคู่ของ y(x) และ y′(x) ควบคู่ไปกับวิถีในระนาบสถานะของ (y, y′) ซึ่งเป็นมุมมองที่เผยให้เห็นสภาวะได้ในพริบตา: ก้นหอยเข้าหาศูนย์สำหรับกรณีหน่วงน้อย, โหนดเข้าหาศูนย์สำหรับกรณีหน่วงเกิน, วงวนปิดสำหรับกรณีไม่หน่วง และก้นหอยออกจากศูนย์สำหรับกรณีไม่เสถียร

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงที่คืออะไร?

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับสอง ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงที่จริงคือสมการในรูปแบบ

โดยที่ a ≠ 0, b, c เป็นค่าคงที่จริง และ g(x) คือพจน์บังคับ เงื่อนไขเริ่มต้นสองค่าคือ y(x₀) = y₀ และ y′(x₀) = y′₀ จะเปลี่ยนสมการนี้ให้เป็น ปัญหาค่าเริ่มต้น ที่มีผลเฉลยเพียงหนึ่งเดียวในบริเวณรอบๆ x₀ — ซึ่งเป็นไปตามทฤษฎีบท Picard-Lindelöf เมื่อนำมาใช้กับระบบสมการอันดับหนึ่งที่เทียบเท่ากัน

หาก g(x) = 0 จะเรียกว่า สมการเอกพันธุ์ มิฉะนั้นจะเรียกว่า สมการไม่เอกพันธุ์ และผลเฉลยสมบูรณ์จะแยกส่วนออกเป็น

โดยที่ y_h คือผลเฉลยทั่วไปของสมการเอกพันธุ์ที่เกี่ยวข้อง (ซึ่งมีค่าคงที่อิสระสองค่า) และ y_p คือผลเฉลยเฉพาะ ใดๆ ของสมการเต็ม การใช้เงื่อนไขเริ่มต้นสองค่าจะเป็นตัวกำหนดค่าคงที่อิสระทั้งสองนั้น

สมการคุณลักษณะ

การเดาว่า y = e^(r·x) ในสมการเอกพันธุ์จะทำให้ได้ สมการคุณลักษณะ (หรือสมการช่วย)

ซึ่งเป็นสมการกำลังสองที่มีค่าดิสคริมิแนนต์ Δ = b² − 4ac เป็นตัวควบคุมพฤติกรรมเชิงคุณภาพทั้งหมด:

สามกรณีของรากและสภาวะการหน่วง

วิธีเทียบสัมประสิทธิ์ (กรณีไม่เอกพันธุ์)

เมื่อ g(x) อยู่ในรูปแบบง่ายๆ ต่อไปนี้ วิธีเทียบสัมประสิทธิ์ จะให้ผลเฉลยเฉพาะโดยการสมมติรูปแบบคำตอบที่มีสัมประสิทธิ์ที่ยังไม่ทราบค่าและคำนวณหาค่าเหล่านั้น:

• ค่าคงที่ g(x) = k สมมติ y_p = K หาก c = 0 ให้คูณด้วย x; หาก b = 0 ด้วย ให้คูณด้วย x อีกครั้ง
• พหุนามดีกรี n สมมติพหุนามทั่วไปดีกรี n คูณด้วย x หรือ x² หากพจน์ค่าคงที่หรือพจน์เชิงเส้นเกิดการกำทอน
• เอกซ์โพเนนเชียล g(x) = A·e^(k·x) สมมติ y_p = K·e^(k·x) หาก k ตรงกับรากคุณลักษณะ ให้คูณด้วย x (รากเดี่ยว) หรือ x² (รากซ้ำ) — นี่คือสภาวะ การกำทอน
• ไซน์และโคไซน์ g(x) = A·cos(ω·x) + B·sin(ω·x) สมมติ y_p = K₁·cos(ω·x) + K₂·sin(ω·x) คูณด้วย x หาก iω เป็นราก (การกำทอนของความถี่บริสุทธิ์)
• ผลคูณและผลบวก เป็นไปตามสมบัติเชิงเส้นและกฎการคูณ

การอ่านระนาบสถานะ

ระบบสมการอันดับหนึ่งที่เทียบเท่าคือ u = y, v = y′ โดยที่ u′ = v และ v′ = (g(x) − b·v − c·u)/a การพล็อตกราฟ v เทียบกับ u โดยมี x เป็นพารามิเตอร์จะให้ วิถีในระนาบสถานะ สำหรับระบบเอกพันธุ์ที่เป็นอิสระ (ไม่มี x ใน g) วงโคจรจะถูกกำหนดโดยจุดเริ่มต้น (y₀, y′₀) และเผยให้เห็นสภาวะในพริบตา:

• หน่วงน้อย: วิถีจะวนเป็นก้นหอยเข้าหาจุดกำเนิด
• หน่วงเกิน: วิถีจะเข้าหาจุดกำเนิดตามแนวเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลง (slow eigenvector)
• หน่วงวิกฤต: โหนดลดรูป วิถีจะสัมผัสกับไอเกนเวกเตอร์เดี่ยว
• ไม่หน่วง: วงรีปิดรอบจุดกำเนิด — การแกว่งกวัดตลอดกาล
• ไม่เสถียร: วิถีวนเป็นก้นหอยหรือพุ่งออกไปยังอินฟินิตี้

ตัวอย่างการคำนวณ: ตัวแกว่งกวัดฮาร์มอนิกแบบหน่วงที่มีแรงกระตุ้น

พิจารณาสมการ y″ + 2·y′ + 5·y = 10 โดยมี y(0) = 0, y′(0) = 0 — ระบบที่มีแรงกระตุ้นและมีการหน่วงน้อย

1. สมการคุณลักษณะ: r² + 2r + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → r = −1 ± 2i
2. ผลเฉลยเอกพันธุ์: y_h = e^(−x)·(C₁·cos 2x + C₂·sin 2x)
3. ผลเฉลยเฉพาะ สำหรับแรงกระตุ้นค่าคงที่ g = 10: ลอง y_p = K จะได้ 5K = 10 ดังนั้น y_p = 2
4. ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น: y(0) = 0 → C₁ + 2 = 0 → C₁ = −2 และ y′(0) = 0 → −C₁ + 2C₂ = 0 → C₂ = −1
5. คำตอบสุดท้าย: y(x) = 2 − e^(−x)·(2·cos 2x + sin 2x) — แกว่งกวัดโดยมีขอบเขตที่ลดลงและลู่เข้าสู่ค่า y → 2

วิธีใช้งานเครื่องแก้สมการนี้

1. ใส่ค่าสัมประสิทธิ์ a, b, c ในแถวบนสุด โดยที่ a ต้องไม่เป็นศูนย์ (มิฉะนั้นสมการจะเป็นอันดับหนึ่ง)
2. พิมพ์พจน์บังคับ g(x) หรือปล่อยเป็น 0 สำหรับปัญหาเอกพันธุ์ ผลเฉลยเฉพาะในรูปแบบปิดจะหาได้สำหรับค่าคงที่ พหุนามสูงสุดดีกรี 2 และเอกซ์โพเนนเชียลเดี่ยว A·e^(k·x) รวมถึงกรณีการกำทอน
3. ระบุเงื่อนไขเริ่มต้น (x₀, y₀, y′₀) ต้องระบุทั้ง y และ y′ ที่จุด x₀ เพราะเป็นสมการอันดับสอง
4. เลือกช่วง x สำหรับกราฟ ตัวแก้ปัญหาจะรวมค่าจาก x₀ ออกไปทั้งสองทิศทางโดยใช้ RK4
5. คลิก 'คำนวณและแสดงผล' คุณจะได้สมการคุณลักษณะพร้อมรากบนระนาบเชิงซ้อน การจำแนกสภาวะการหน่วง ผลเฉลยเอกพันธุ์และผลเฉลยเฉพาะในรูปแบบปิด กราฟเวลาเส้นคู่ของ y และ y′ และวิถีในระนาบสถานะ

แอปพลิเคชันทั่วไป

• ระบบสปริง-มวล-ตัวหน่วงทางกล: m·x″ + c·x′ + k·x = F(t) กรณีหน่วงเกิน หน่วงวิกฤต และหน่วงน้อยจะสอดคล้องกับอัตราส่วนการหน่วง ζ = c/(2·√(m·k)) ที่ต่างกัน
• วงจรไฟฟ้า RLC: วงจร RLC แบบอนุกรมเป็นไปตามสมการ L·Q″ + R·Q′ + Q/C = V(t) — โครงสร้างเดียวกันแต่ใช้สัญลักษณ์ต่างกัน
• ลูกตุ้มนาฬิกา (มุมเล็ก): θ″ + (g/L)·θ = 0 ให้การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย การเพิ่มแรงต้านอากาศจะทำให้เกิดการแกว่งกวัดแบบหน่วง
• การตอบสนองของอาคารต่อแผ่นดินไหว: โครงสร้างที่มีระดับความอิสระเดี่ยวโดยมีความเร่งที่ฐานเป็นพจน์บังคับ
• ระบบเซอร์โวที่ควบคุมด้วย PID: พลศาสตร์ของค่าความผิดพลาดแบบลูปปิดจะลดรูปเป็นสมการ ODE อันดับสองซึ่งอัตราส่วนการหน่วงจะเป็นตัวกำหนดการพุ่งเกิน (overshoot)
• โมเดลประชากรที่มีความเฉื่อย: การเติบโตทางเศรษฐกิจที่มีความล่าช้าของการสะสมทุน หรือโมเดลทางนิเวศวิทยาที่มีการตอบสนองล่าช้า

วิธีเชิงตัวเลข — Runge-Kutta อันดับ 4 (RK4) แบบคลาสสิกบนระบบ 2 มิติ

เครื่องมือนี้ลดรูป a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) เป็นระบบสมการอันดับหนึ่ง

โดยที่ u(x₀) = y₀, v(x₀) = y′₀ จากนั้นใช้วิธี Runge-Kutta แบบสี่ขั้นตอนกับสถานะเวกเตอร์ (u, v) วิธี RK4 มีค่าความผิดพลาดเฉพาะที่ O(h⁵) และความผิดพลาดรวม O(h⁴) การใช้ 400 ขั้นตอนย่อยในแต่ละทิศทางจะให้ความแม่นยำประมาณหกหลักสำหรับปัญหาที่ไม่แข็ง

คำถามที่พบบ่อย

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงที่คืออะไร?

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงที่อยู่ในรูป a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) โดยที่ a, b, c เป็นค่าคงที่จริง และ g(x) คือพจน์บังคับ (ไม่เอกพันธุ์) เมื่อมีเงื่อนไขเริ่มต้นสองค่าคือ y(x₀) = y₀ และ y′(x₀) = y′₀ คำตอบจะเป็นหนึ่งเดียว กรณีเอกพันธุ์ g(x) = 0 จะมีผลเฉลยในรูปแบบปิดเสมอผ่านสมการคุณลักษณะ a·r² + b·r + c = 0 ส่วนกรณีไม่เอกพันธุ์จะหาคำตอบได้จาก y(x) = y_h(x) + y_p(x)

สมการคุณลักษณะคืออะไร?

สำหรับสมการ a·y″ + b·y′ + c·y = 0 การแทนค่า y = e^(r·x) จะได้ a·r² + b·r + c = 0 — สมคุณลักษณะหรือสมการช่วย รากของมันจะเป็นตัวกำหนดรูปแบบของผลเฉลยเอกพันธุ์: รากจริงต่างกันให้ y_h = C₁·e^(r₁·x) + C₂·e^(r₂·x); รากซ้ำ r ให้ y_h = (C₁ + C₂·x)·e^(r·x); รากเชิงซ้อนสังยุค α ± β·i ให้ y_h = e^(α·x)·(C₁·cos(β·x) + C₂·sin(β·x))

การหน่วงน้อย, การหน่วงวิกฤต และการหน่วงเกิน หมายถึงอะไร?

คำศัพท์เหล่านี้มาจากโมเดลสปริง-มวล-ตัวหน่วง m·x″ + c·x′ + k·x = 0 การหน่วงเกิน (ค่าดิสคริมิแนนต์ > 0, รากจริงสองค่า) หมายถึงระบบจะกลับสู่สมดุลอย่างช้าๆ โดยไม่มีการแกว่งกวัด การหน่วงวิกฤต (ค่าดิสคริมิแนนต์ = 0, รากซ้ำ) คือการกลับสู่สมดุลที่เร็วที่สุดโดยไม่มีการพุ่งเกิน การหน่วงน้อย (ค่าดิสคริมิแนนต์ < 0, รากเชิงซ้อน) จะมีการแกว่งกวัดที่ลดลง ส่วนกรณีไม่หน่วง (b = 0, c/a > 0) จะมีการแกว่งกวัดแบบไซน์บริสุทธิ์ตลอดไป

วิธีเทียบสัมประสิทธิ์คืออะไร?

สำหรับแรงกระตุ้น g(x) แบบง่าย — ค่าคงที่, พหุนาม, เอกซ์โพเนนเชียล, ไซน์, โคไซน์ และผลคูณของพวกมัน — ผลเฉลยเฉพาะ y_p จะถูกสมมติให้มีรูปแบบเดียวกับ g พร้อมสัมประสิทธิ์ที่ยังไม่ทราบค่า ซึ่งจะหาค่าได้โดยการแทนค่าลงในสมการ ODE และเทียบพจน์กัน หาก g(x) ตรงกับรากคุณลักษณะ จะต้องคูณรูปแบบที่สมมติด้วย x (หรือ x² สำหรับรากซ้ำ)

ระนาบสถานะคืออะไร?

สำหรับสมการอันดับสองที่ลดรูปเป็นระบบ 2 มิติ (y, y′) ระนาบสถานะจะพล็อตกราฟระหว่าง y′ เทียบกับ y เมื่อ x ดำเนินไป เส้นโค้งคำตอบในระนาบสถานะจะเผยให้เห็นสภาวะได้ทันที: วงวนก้นหอยที่บีบเข้าสำหรับกรณีหน่วงน้อย, โหนดที่วิ่งเข้าสำหรับกรณีหน่วงเกิน, วงรีปิดสำหรับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกที่ไม่หน่วง และวงวนก้นหอยที่ขยายออกสำหรับการแกว่งกวัดที่ไม่เสถียร มันคือคู่ทางเรขาคณิตของแผนภาพรากสมการคุณลักษณะ

เครื่องมือนี้ใช้วิธีเชิงตัวเลขใด?

ใช้วิธี Runge-Kutta อันดับสี่แบบคลาสสิก (RK4) กับระบบสมการอันดับหนึ่งที่เทียบเท่า u = y, v = y′ โดยที่ u′ = v และ v′ = (g(x) − b·v − c·u)/a วิธี RK4 มีค่าความผิดพลาดเฉพาะที่ O(h⁵) และการใช้ 400 ขั้นตอนย่อยต่อทิศทางจะให้ความแม่นยำประมาณหกหลักสำหรับสมการที่ไม่แข็งในช่วงที่เลือก

อ่านเพิ่มเติม

• Linear differential equation — Wikipedia
• Characteristic equation — Wikipedia
• Method of undetermined coefficients — Wikipedia
• Harmonic oscillator — Wikipedia
• Phase plane — Wikipedia
• Runge-Kutta methods — Wikipedia