Solucionador de EDO de Segunda Ordem

Solucionador de EDO de Segunda Ordem

O Solucionador de EDO de Segunda Ordem recebe uma equação diferencial ordinária linear da forma a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) com coeficientes reais constantes, deriva automaticamente sua equação característica, classifica o regime de amortecimento (superamortecido, criticamente amortecido, subamortecido, não amortecido ou instável) e produz tanto uma solução simbólica em forma fechada quanto uma solução numérica de alta precisão. A saída interativa combina um gráfico temporal de curva dupla de y(x) e y′(x) com uma trajetória no plano de fase de (y, y′) — uma visão que expõe o regime instantaneamente: espiral para dentro para subamortecido, nó para dentro para superamortecido, laço fechado para não amortecido, espiral para fora para instável.

O que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes?

Uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes reais é uma equação da forma

onde a ≠ 0, b, c são constantes reais e g(x) é o termo de forçamento. Duas condições iniciais y(x₀) = y₀ e y′(x₀) = y′₀ transformam isso em um problema de valor inicial com uma solução única em uma vizinhança de x₀ — isso decorre do teorema de Picard-Lindelöf aplicado ao sistema de primeira ordem equivalente.

Se g(x) = 0, a equação é homogênea. Caso contrário, é não homogênea, e a solução completa se decompõe como

onde y_h é a solução geral da equação homogênea associada (contém duas constantes livres) e y_p é qualquer solução particular da equação completa. A aplicação das duas condições iniciais determina as duas constantes livres.

A Equação Característica

Ao propor y = e^(r·x) na equação homogênea, obtém-se a equação característica (ou auxiliar)

uma quadrática cujo determinante Δ = b² − 4ac controla todo o comportamento qualitativo:

Três Casos de Raízes e o Regime de Amortecimento

Método dos Coeficientes a Determinar (Caso Não Homogêneo)

Quando g(x) assume uma das seguintes formas simples, o método dos coeficientes a determinar fornece uma solução particular assumindo uma tentativa da mesma forma com coeficientes desconhecidos e resolvendo-os:

• Constante g(x) = k. Tentativa: y_p = K. Se c = 0, multiplique por x; se b = 0 também, multiplique por x novamente.
• Polinômio de grau n. Tentativa: polinômio geral de grau n. Multiplique por x ou x² se o termo constante ou linear ressoar.
• Exponencial g(x) = A·e^(k·x). Tentativa: y_p = K·e^(k·x). Se k coincidir com uma raiz característica, multiplique por x (raiz simples) ou x² (raiz dupla) — isso é ressonância.
• Senoidal g(x) = A·cos(ω·x) + B·sin(ω·x). Tentativa: y_p = K₁·cos(ω·x) + K₂·sin(ω·x). Multiplique por x se iω for uma raiz (ressonância de frequência pura).
• Produtos e somas seguem pela linearidade e regra do produto.

Lendo o Plano de Fase

O sistema de primeira ordem equivalente é u = y, v = y′ com u′ = v e v′ = (g(x) − b·v − c·u)/a. Plotar v contra u parametricamente em x fornece a trajetória no plano de fase. Para sistemas autônomos homogêneos (sem x em g), as órbitas são determinadas exclusivamente pelo seu ponto inicial (y₀, y′₀) e revelam o regime instantaneamente:

• Subamortecido: a trajetória espirala para dentro em direção à origem.
• Superamortecido: a trajetória se aproxima da origem ao longo de uma linha invariante (autovetor lento).
• Criticamente amortecido: nó degenerado, trajetória tangente ao autovetor único.
• Não amortecido: elipse fechada circundando a origem — oscilação perpétua.
• Instável: a trajetória espirala ou corre para fora em direção ao infinito.

Exemplo Resolvido: Oscilador Harmônico Amortecido Forçado

Considere a equação y″ + 2·y′ + 5·y = 10 com y(0) = 0, y′(0) = 0 — um sistema subamortecido e forçado.

1. Equação característica: r² + 2r + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → r = −1 ± 2i.
2. Solução homogênea: y_h = e^(−x)·(C₁·cos 2x + C₂·sin 2x).
3. Solução particular para forçamento constante g = 10: tente y_p = K, logo 5K = 10, resultando em y_p = 2.
4. Aplicar CIs: y(0) = 0 → C₁ + 2 = 0 → C₁ = −2. y′(0) = 0 → −C₁ + 2C₂ = 0 → C₂ = −1.
5. Resposta final: y(x) = 2 − e^(−x)·(2·cos 2x + sin 2x) — oscila com envelope decrescente e limite y → 2.

Como Usar Esta Calculadora

1. Insira os coeficientes a, b, c na linha superior. a deve ser diferente de zero (caso contrário, a equação seria de primeira ordem).
2. Digite o termo de forçamento g(x) ou deixe-o como 0 para um problema homogêneo. Soluções particulares em forma fechada são derivadas para constantes, polinômios até grau 2 e exponenciais simples A·e^(k·x), incluindo o caso de ressonância.
3. Forneça as condições iniciais (x₀, y₀, y′₀). Tanto y quanto y′ em x₀ devem ser especificados porque a equação é de segunda ordem.
4. Escolha o intervalo x para os gráficos. O solucionador integra a partir de x₀ em ambas as direções de x usando RK4.
5. Clique em Resolver e Visualizar. Você obterá a equação característica com suas raízes no plano complexo, a classificação do regime de amortecimento, as soluções em forma fechada homogênea e particular, um gráfico temporal de curva dupla de y e y′ e a trajetória no plano de fase.

Aplicações Comuns

• Sistemas mecânicos mola-massa-amortecedor: m·x″ + c·x′ + k·x = F(t). Superamortecido, criticamente amortecido e subamortecido correspondem a diferentes razões de amortecimento ζ = c/(2·√(m·k)).
• Circuitos elétricos RLC: circuitos RLC em série obedecem a L·Q″ + R·Q′ + Q/C = V(t) — estrutura idêntica, símbolos diferentes.
• Pêndulo (pequenos ângulos): θ″ + (g/L)·θ = 0 resulta em movimento harmônico simples; adicionar resistência do ar resulta em oscilação amortecida.
• Resposta de edifícios a terremotos: estrutura de um único grau de liberdade com aceleração da base como termo de forçamento.
• Sistemas servo controlados por PID: a dinâmica do erro em malha fechada reduz-se a uma EDO de segunda ordem cuja razão de amortecimento governa a ultrapassagem (overshoot).
• Modelos populacionais com inércia: crescimento econômico com atraso na acumulação de capital ou modelos ecológicos com resposta tardia.

Método Numérico — Runge-Kutta Clássico (RK4) no Sistema 2D

A ferramenta reduz a·y″ + b·y′ + c·y = g(x) para o sistema de primeira ordem

com u(x₀) = y₀, v(x₀) = y′₀. O Runge-Kutta de quatro estágios é então aplicado ao estado vetorial (u, v). O RK4 tem erro de truncamento local O(h⁵) e erro global O(h⁴); os 400 subpassos padrão em cada direção fornecem aproximadamente seis dígitos de precisão para problemas não rígidos.

Perguntas Frequentes

O que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes?

Uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma a·y″ + b·y′ + c·y = g(x), onde a, b, c são constantes reais e g(x) é o termo de forçamento (não homogêneo). Com duas condições iniciais y(x₀) = y₀ e y′(x₀) = y′₀, a solução é única. O caso homogêneo g(x) = 0 sempre admite uma solução em forma fechada via a equação característica a·r² + b·r + c = 0; o caso não homogêneo é resolvido como y(x) = y_h(x) + y_p(x).

O que é a equação característica?

Para a·y″ + b·y′ + c·y = 0, substituir o ansatz y = e^(r·x) resulta em a·r² + b·r + c = 0 — a equação característica ou auxiliar. Suas raízes determinam a forma da solução homogênea: duas raízes reais distintas resultam em y_h = C₁·e^(r₁·x) + C₂·e^(r₂·x); uma raiz real repetida r resulta em y_h = (C₁ + C₂·x)·e^(r·x); raízes complexas conjugadas α ± β·i resultam em y_h = e^(α·x)·(C₁·cos(β·x) + C₂·sin(β·x)).

O que significam os regimes subamortecido, criticamente amortecido e superamortecido?

A terminologia vem do modelo mola-massa-amortecedor m*x'' + c*x' + k*x = 0. Superamortecido (discriminante > 0, duas raízes reais) significa que o sistema retorna ao equilíbrio lentamente sem oscilação. Criticamente amortecido (discriminante = 0, raiz repetida) é o retorno mais rápido sem ultrapassagem. Subamortecido (discriminante < 0, raízes complexas) gera oscilação decrescente. Não amortecido (b = 0, c/a > 0) gera oscilação senoidal pura perpétua.

O que é o método dos coeficientes a determinar?

Para forçamentos g(x) simples — constantes, polinômios, exponenciais, senos, cossenos e seus produtos — assume-se que a solução particular y_p tem a mesma forma que g com coeficientes desconhecidos, determinados substituindo na EDO e igualando os termos. A tentativa deve ser multiplicada por x (ou x² para raízes duplas) quando g(x) ressoa com uma raiz característica.

O que é um plano de fase?

Para uma equação de segunda ordem reduzida ao sistema 2D (y, y'), o plano de fase plota y' contra y conforme x avança. As curvas de solução no plano de fase revelam o regime imediatamente: espirais decrescentes para subamortecido, nós para dentro para superamortecido, elipses fechadas para movimento harmônico não amortecido e espirais para fora para oscilação instável. É a contraparte geométrica do diagrama de raízes da equação característica.

Qual método numérico esta ferramenta utiliza?

O método clássico de Runge-Kutta de quarta ordem (RK4) é aplicado ao sistema de primeira ordem equivalente u = y, v = y′, com u′ = v e v′ = (g(x) − b·v − c·u)/a. O RK4 tem erro de truncamento local O(h⁵) e os 400 subpassos padrão por direção fornecem aproximadamente seis dígitos de precisão para equações não rígidas sobre a janela escolhida.

Leitura Adicional

• Equação diferencial linear — Wikipédia
• Equação característica — Wikipédia
• Método dos coeficientes a determinar — Wikipédia
• Oscilador harmônico — Wikipédia
• Plano de fase — Wikipédia
• Métodos de Runge-Kutta — Wikipédia