Calcolatore di Decomposizione a Valori Singolari (SVD)

Benvenuti nel Calcolatore di Decomposizione a Valori Singolari (SVD), un potente strumento di algebra lineare che decompone qualsiasi matrice nelle sue componenti fondamentali. La SVD fattorizza una matrice A = UΣVᵀ e fornisce soluzioni passo-passo, visualizzazioni interattive, analisi del rango, numero di condizionamento, qualità dell'approssimazione a basso rango e calcolo della pseudoinversa. Che tu stia studiando algebra lineare, lavorando sul machine learning o analizzando dati, questo calcolatore offre una decomposizione matriciale di livello professionale.

Cos'è la Decomposizione a Valori Singolari?

La Decomposizione a Valori Singolari (SVD) è la fattorizzazione di qualsiasi matrice A m×n in tre matrici:

Dove:

• A è la matrice originale m×n
• U è una matrice ortogonale m×m (vettori singolari sinistri, autovettori di AAᵀ)
• Σ (Sigma) è una matrice diagonale m×n con valori singolari non negativi σ₁ ≥ σ₂ ≥ ... ≥ 0
• Vᵀ è una matrice ortogonale n×n (vettori singolari destri, autovettori di AᵀA)

A differenza della decomposizione in autovalori, la SVD esiste sempre per qualsiasi matrice, comprese le matrici rettangolari e singolari. Questa universalità la rende una delle fattorizzazioni più importanti nella matematica applicata.

Come viene calcolata la SVD

1. Formare AᵀA: Calcolare la matrice simmetrica n×n AᵀA
2. Trovare gli autovalori: Risolvere det(AᵀA − λI) = 0 per ottenere gli autovalori λ₁ ≥ λ₂ ≥ ... ≥ 0
3. Valori singolari: σᵢ = √λᵢ (radici quadrate degli autovalori)
4. Vettori singolari destri (V): Trovare gli autovettori di AᵀA, ortonormalizzarli per ottenere le colonne di V
5. Vettori singolari sinistri (U): Calcolare uᵢ = Avᵢ/σᵢ per ogni valore singolare non nullo, estendere a una base ortonormale completa

Proprietà Chiave

Rango della Matrice

Il rango della matrice A è uguale al numero di valori singolari non nulli. Questo è il modo numericamente più stabile per determinare il rango, molto più affidabile della riduzione a gradini che può essere influenzata da errori in virgola mobile.

Numero di Condizionamento

Il numero di condizionamento misura quanto un sistema lineare Ax = b sia sensibile alle perturbazioni. Un κ grande indica una matrice mal condizionata; κ = 1 è il caso ideale (matrici ortogonali).

Norme Matriciali via SVD

• Norma spettrale (norma-2): \(\|A\|_2 = \sigma_1\) — il valore singolare più grande
• Norma di Frobenius: \(\|A\|_F = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \cdots}\)
• Norma nucleare: \(\|A\|_* = \sigma_1 + \sigma_2 + \cdots\) — somma di tutti i valori singolari

Applicazioni della SVD

Approssimazione a Basso Rango (Teorema di Eckart–Young)

Il teorema di Eckart–Young–Mirsky afferma che la migliore approssimazione di rango k di A (nella norma di Frobenius o spettrale) si ottiene mantenendo solo i k valori singolari più grandi:

L'errore di approssimazione è: \(\|A - A_k\|_F = \sqrt{\sigma_{k+1}^2 + \cdots + \sigma_r^2}\)

SVD vs Decomposizione in Autovalori

Domande Frequenti

Cos'è la Decomposizione a Valori Singolari (SVD)?

La Decomposizione a Valori Singolari (SVD) è una fattorizzazione di matrici che decompone qualsiasi matrice A reale m×n in tre matrici: A = UΣVᵀ, dove U è una matrice ortogonale m×m di vettori singolari sinistri, Σ è una matrice diagonale m×n di valori singolari e Vᵀ è una matrice ortogonale n×n di vettori singolari destri. La SVD esiste sempre per qualsiasi matrice.

A cosa servono i valori singolari?

I valori singolari rivelano proprietà fondamentali di una matrice: il rango (numero di valori singolari non nulli), il numero di condizionamento (rapporto tra il più grande e il più piccolo) e le norme matriciali. Sono ampiamente utilizzati nella compressione dei dati (mantenendo solo i valori singolari più grandi), nell'analisi delle componenti principali (PCA), nella riduzione del rumore, nei sistemi di raccomandazione e nella risoluzione di problemi ai minimi quadrati.

Qual è la differenza tra SVD e decomposizione in autovalori?

La decomposizione in autovalori funziona solo per matrici quadrate e richiede che la matrice sia diagonalizzabile. La SVD funziona per qualsiasi matrice m×n (incluse quelle rettangolari) ed esiste sempre. Per una matrice simmetrica definita positiva, SVD e decomposizione in autovalori coincidono. La SVD utilizza due diverse basi ortogonali (U e V), mentre la decomposizione in autovalori ne utilizza una.

In che modo la SVD si collega alla PCA?

La PCA (Analisi delle Componenti Principali) viene calcolata direttamente utilizzando la SVD. Quando si centra la matrice dei dati X e si calcola la sua SVD come X = UΣVᵀ, le colonne di V sono le componenti principali (direzioni di massima varianza), i valori singolari in Σ codificano le deviazioni standard lungo ogni componente e UΣ fornisce i dati proiettati nel nuovo sistema di coordinate. Per N osservazioni centrate (N > 1), Var(PCᵢ) = σᵢ²/(N−1), SD(PCᵢ) = σᵢ/√(N−1).

Cos'è un'approssimazione a basso rango?

Un'approssimazione di rango k della matrice A mantiene solo i k valori singolari più grandi e i relativi vettori corrispondenti: A_k = U_k Σ_k V_k^T. Secondo il teorema di Eckart-Young, questa è la migliore approssimazione di rango k sia nella norma di Frobenius che in quella spettrale. Questo è il fondamento matematico dietro la compressione delle immagini, l'analisi semantica latente e la riduzione della dimensionalità.

Cos'è il numero di condizionamento di una matrice?

Il numero di condizionamento κ(A) = σ_max / σ_min è il rapporto tra il valore singolare più grande e quello più piccolo. Misura quanto la soluzione di un sistema lineare Ax = b sia sensibile alle perturbazioni. Un numero di condizionamento elevato indica che la matrice è mal condizionata e piccoli errori nell'input possono causare grandi errori nella soluzione. Un numero di condizionamento pari a 1 (matrice ortogonale) è l'ideale.

Risorse Aggiuntive

• Decomposizione a valori singolari - Wikipedia
• Low-Rank Approximation - Wikipedia (Inglese)
• Pseudoinversa di Moore-Penrose - Wikipedia