伯努利微分方程式求解器

伯努利微分方程式求解器

伯努利微分方程式求解器 處理最著名的一階非線性微分方程式之一 —— 伯努利方程式 y' + P(x)y = Q(x)yⁿ —— 並將經典的教科書推導轉化為互動式的逐步演練。它透過代換 v = y¹⁻ⁿ 將方程式線性化，建立積分因子 μ(x)，並將所得的閉式解曲線疊加在 RK4 數值解和斜率場上，讓您可以一次查看所有細節。

什麼是伯努利微分方程式？

伯努利方程式由雅各布·伯努利 (Jacob Bernoulli) 於 1695 年提出，是一階形式的常微分方程：

當 n = 0 時，方程式已經是線性的；當 n = 1 時，它是可分離的。對於所有其他實數 n，方程式是非線性的，但經典代換 v = y¹⁻ⁿ 可以將其轉換為關於 v 的線性常微分方程，從而可以使用標準的積分因子技巧求解。

六步伯努利法

從 y' + P(x)y = Q(x)yⁿ 開始：

1. 除以 yⁿ： \( y^{-n}y' + P(x)\,y^{1-n} = Q(x) \)。
2. 代換 v = y¹⁻ⁿ： 注意 \( v' = (1-n)y^{-n}y' \)，因此 \( y^{-n}y' = v'/(1-n) \).
3. 線性化： \( v' + (1-n)P(x)\,v = (1-n)Q(x) \) — 關於 v 的一階線性常微分方程。
4. 積分因子： \( \mu(x) = \exp\!\left(\int (1-n)P(x)\,dx\right) \)，因此 \( (\mu v)' = \mu(1-n)Q(x) \)。
5. 求解 v(x)： \( v(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left[\mu(x_0)v_0 + \int_{x_0}^{x}\mu(t)(1-n)Q(t)\,dt\right] \)。
6. 反代換： \( y(x) = v(x)^{1/(1-n)} \)。

當涉及的積分是初等的，您可以得到乾淨的閉式解；如果不是，計算機會使用辛普森準則進行數值評估，以繪製解曲線。

自動處理特殊情況

計算範例 — n = 2, 邏輯斯諦式

考慮 y' + y/x = x·y² 且初始條件為 y(1) = 1。這裡 P(x) = 1/x, Q(x) = x, 且 n = 2, 因此 1 − n = −1。

1. 代換 v = y⁻¹ = 1/y。則 v' = −y⁻²y'，方程式變為 v' − (1/x)v = −x。
2. 積分因子：μ(x) = exp(∫−1/x dx) = 1/x。
3. (μ·v)' = μ·(−x) = −1。積分：(1/x)·v = −x + C，即 v = −x² + Cx。
4. 應用初始條件：在 x = 1 時，v = 1/1 = 1，因此 1 = −1 + C ⇒ C = 2。因此 v(x) = −x² + 2x。
5. 反代換：y(x) = 1/v(x) = 1/(2x − x²) = 1/(x(2 − x))。

閉式解 y = 1/(x(2−x)) 在 x = 0 和 x = 2 處有垂直漸近線 —— 這正是斜率場能一眼看清的情況。

如何使用此計算機

1. 填寫方程式構建器。 在藍色插槽中輸入 P(x) 和 Q(x)，並在小的上標框中輸入指數 n。佈局反映了標準形式 y' + P(x)y = Q(x)yⁿ。
2. 設定初始條件 (x₀, y₀) 和繪圖範圍 [x 最小值, x 最大值]。範圍應包含 x₀。
3. 點擊「求解」。 計算機會檢測您是否處於特殊情況（n = 0 或 n = 1）並顯示相應的推導。否則，它將執行完整的六步伯努利代換，並使用 MathJax 渲染方程式。
4. 閱讀圖表。 橘色曲線是 RK4 數值解。藍色虛線是透過積分因子評估的閉式解。箭頭場顯示了各處的 y'，因此您也可以直觀地觀察其他解。
5. 複製樣本點的 CSV，如果您想將軌跡匯入其他程式。

技巧、陷阱和邊緣案例

• 非整數 n 要求 y > 0。 求解器會標記像 n = 1/2 且 y₀ ≤ 0 這樣的組合，此時 yⁿ 將為複數。
• y₀ = 0 通常是奇異的。 任何 Q ≠ 0 且 n > 0 的伯努利方程都有平凡解 y ≡ 0，這通常不是您想要的分支。
• 避免 P(x) 在 x₀ 附近爆炸。 像 1/x 這樣的表達式要求 x₀ ≠ 0；求解器在執行前會對此進行驗證。
• 大指數 (|n| > 20) 會被拒絕以防止溢位。在實務中，n 如此大的伯努利方程幾乎從不出現在現實問題中。
• 垂直漸近線。 如果 RK4 發散，請嘗試將 x 範圍縮小到 x₀ 的那一側，使解保持有限。

伯努利方程式出現在哪裡？

• 人口動力學 — 邏輯斯諦方程式 y' = ry(1 − y/K) 是變相的伯努利方程式（整理後 n = 2）。
• 化學動力學 — 自催化反應通常遵循 y' ∝ y − y²。
• 電路 — 某些非線性電阻 RL 電路會產生伯努利形式。
• 流體力學 — 相似性縮減後的邊界層方程式。
• 流行病模型 — SIR 模型的易感比例可以簡化為伯努利形式。
• 經濟成長 — 儲蓄率恆定的 Solow–Swan 模型是 n = α 的伯努利模型。

常見問題

什麼是伯努利微分方程式？

伯努利方程式是一階形式為 y' + P(x)y = Q(x)yⁿ 的常微分方程，其中 P 和 Q 是連續函數，n 是任何實數。這是一個非線性常微分方程的經典例子，可以透過代換 v = y¹⁻ⁿ 轉換為線性方程。

代換法 v = y¹⁻ⁿ 是如何運作的？

將原方程乘以 y⁻ⁿ，使每個 y 項變為 y¹⁻ⁿ 或 y⁻ⁿy'。設定 v = y¹⁻ⁿ 得到 v' = (1−n)y⁻ⁿy'。代換後將伯努利方程轉換為 v' + (1−n)P(x)v = (1−n)Q(x)，這對 v 來說是線性的，可以用積分因子求解。

當 n = 0 或 n = 1 時會發生什麼？

當 n = 0 時，方程已經是一階線性的，因此不需要代換。當 n = 1 時，伯努利公式會除以 1 − n = 0，因此我們單獨處理：方程簡化為 y' = (Q(x) − P(x))·y，這是可分離的，閉式解為 y = y₀·exp(∫(Q−P) dx)。

伯努利方程式總能以閉式解求解嗎？

原則上可以，但涉及積分因子的結果積分可能沒有初等反導數。當發生這種情況時，計算機會使用辛普森準則進行數值評估並繪製解曲線。該方法本身總是能將伯努利常微分方程簡化為積分問題。

為什麼負的 y 和非整數 n 會造成麻煩？

如果 n 不是整數，yⁿ 定義為 exp(n·ln y)，且僅在 y > 0 時為實數。輸入負的 y 會產生複數。求解器會標記這種情況，並要求 y₀ > 0 或整數指數，以便解保持為實數值。

斜率場顯示了什麼？

斜率場是微小切線段的網格，其角度等於該 (x, y) 點處的 y'。任何解曲線都必須遵循這些切線，因此斜率場讓您可以一次看到所有解的定性形狀，而初始條件則挑選出特定的曲線。

延伸閱讀

• 伯努利微分方程式 — Wikipedia
• 積分因子 — Wikipedia
• 邏輯斯諦函數 — Wikipedia
• 斜率場 — Wikipedia