Calculadora de EDO de Bernoulli

Calculadora de EDO de Bernoulli

O Resolvedor de EDO de Bernoulli aborda uma das equações diferenciais de primeira ordem não lineares mais famosas — a equação de Bernoulli y' + P(x)y = Q(x)yⁿ — e transforma a derivação clássica dos livros didáticos em um guia interativo passo a passo. Ele lineariza a equação através da substituição v = y¹⁻ⁿ, constrói o fator integrante μ(x) e sobrepõe a curva de forma fechada resultante em uma solução numérica RK4 e um campo de direções para que você possa ver cada detalhe de uma vez.

O Que é uma Equação Diferencial de Bernoulli?

Introduzida por Jacob Bernoulli em 1695, uma equação de Bernoulli é uma EDO de primeira ordem da forma

Quando n = 0, a equação já é linear; quando n = 1, ela é separável. Para todos os outros n reais, a equação é não linear, mas a substituição clássica v = y¹⁻ⁿ a converte em uma EDO linear em v, que pode ser resolvida com o truque padrão do fator integrante.

O Método de Bernoulli em Seis Etapas

Partindo de y' + P(x)y = Q(x)yⁿ:

1. Divida por yⁿ: \( y^{-n}y' + P(x)\,y^{1-n} = Q(x) \).
2. Substitua v = y¹⁻ⁿ: note que \( v' = (1-n)y^{-n}y' \), então \( y^{-n}y' = v'/(1-n) \).
3. Linearize: \( v' + (1-n)P(x)\,v = (1-n)Q(x) \) — uma EDO linear de primeira ordem em v.
4. Fator integrante: \( \mu(x) = \exp\!\left(\int (1-n)P(x)\,dx\right) \), então \( (\mu v)' = \mu(1-n)Q(x) \).
5. Resolva para v(x): \( v(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left[\mu(x_0)v_0 + \int_{x_0}^{x}\mu(t)(1-n)Q(t)\,dt\right] \).
6. Substitua de volta: \( y(x) = v(x)^{1/(1-n)} \).

Quando as integrais envolvidas são elementares, você obtém uma forma fechada limpa; quando não são, a calculadora as avalia numericamente usando a regra de Simpson para plotar a curva da solução.

Casos Especiais Tratados Automaticamente

Exemplo Resolvido — n = 2, Estilo Logístico

Considere y' + y/x = x·y² com condição inicial y(1) = 1. Aqui P(x) = 1/x, Q(x) = x e n = 2, logo 1 − n = −1.

1. Substitua v = y⁻¹ = 1/y. Então v' = −y⁻²y' e a equação torna-se v' − (1/x)v = −x.
2. Fator integrante: μ(x) = exp(∫−1/x dx) = 1/x.
3. (μ·v)' = μ·(−x) = −1. Integrando: (1/x)·v = −x + C, ou seja, v = −x² + Cx.
4. Aplique a CI: em x = 1, v = 1/1 = 1, então 1 = −1 + C ⇒ C = 2. Logo v(x) = −x² + 2x.
5. Substitua de volta: y(x) = 1/v(x) = 1/(2x − x²) = 1/(x(2 − x)).

A solução de forma fechada y = 1/(x(2−x)) tem assíntotas verticais em x = 0 e x = 2 — exatamente o tipo de coisa que um campo de direções torna óbvio à primeira vista.

Como Usar Esta Calculadora

1. Preencha o construtor de equações. Digite P(x) e Q(x) nos espaços azuis, e o expoente n na pequena caixa de sobrescrito. O layout espelha a forma padrão y' + P(x)y = Q(x)yⁿ.
2. Defina a condição inicial (x₀, y₀) e o intervalo de plotagem [x min, x max]. O intervalo deve conter x₀.
3. Clique em Resolver. A calculadora detecta se você está em um caso especial (n = 0 ou n = 1) e mostra a derivação correspondente. Caso contrário, ela executa a substituição completa de Bernoulli em seis etapas com equações renderizadas em MathJax.
4. Leia o gráfico. A curva laranja é a solução numérica RK4. A curva tracejada azul é a forma fechada avaliada através do fator integrante. O campo de setas mostra y' em todos os lugares, para que você possa visualizar outras soluções também.
5. Copie um CSV de pontos de amostra se desejar importar a trajetória para outro programa.

Dicas, Armadilhas e Casos Limítrofes

• n não inteiro requer y > 0. O resolvedor sinaliza combinações como n = 1/2 com y₀ ≤ 0, onde yⁿ seria complexo.
• y₀ = 0 é frequentemente singular. Qualquer equação de Bernoulli com Q ≠ 0 e n > 0 tem a solução trivial y ≡ 0, que normalmente não é o ramo desejado.
• Evite explosões de P(x) perto de x₀. Expressões como 1/x requerem x₀ ≠ 0; o resolvedor valida isso antes de executar.
• Expoentes grandes (|n| > 20) são rejeitados para evitar estouro (overflow). Na prática, equações de Bernoulli com n tão grande quase nunca aparecem em problemas reais.
• Assíntotas verticais. Se o RK4 divergir, tente estreitar o intervalo de x para o lado de x₀ onde a solução permanece finita.

Onde as Equações de Bernoulli Aparecem

• Dinâmica populacional — a equação logística y' = ry(1 − y/K) é uma equação de Bernoulli disfarçada (n = 2 após o rearranjo).
• Cinética química — reações autocatalíticas muitas vezes obedecem a y' ∝ y − y².
• Circuitos elétricos — certos circuitos RL com resistores não lineares resultam na forma de Bernoulli.
• Mecânica dos fluidos — equações de camada limite após redução de similaridade.
• Modelos epidêmicos — a fração de suscetíveis do modelo SIR pode ser reduzida à forma de Bernoulli.
• Crescimento econômico — o modelo de Solow–Swan com taxa de poupança constante é de Bernoulli com n = α.

Perguntas Frequentes

O que é uma equação diferencial de Bernoulli?

Uma equação de Bernoulli é uma EDO de primeira ordem da forma y' + P(x)y = Q(x)yⁿ, onde P e Q são funções contínuas e n é qualquer número real. É um exemplo clássico de uma EDO não linear que pode ser transformada em uma linear através da substituição v = y¹⁻ⁿ.

Como funciona a substituição v = y¹⁻ⁿ?

Multiplique a equação original por y⁻ⁿ para que cada termo y se torne y¹⁻ⁿ ou y⁻ⁿy'. Definir v = y¹⁻ⁿ resulta em v' = (1−n)y⁻ⁿy'. A substituição transforma a equação de Bernoulli em v' + (1−n)P(x)v = (1−n)Q(x), que é linear em v e resolúvel com um fator integrante.

O que acontece quando n = 0 ou n = 1?

Quando n = 0, a equação já é linear de primeira ordem, portanto não é necessária substituição. Quando n = 1, a receita de Bernoulli dividiria por 1 − n = 0, então lidamos com isso separadamente: a equação colapsa para y' = (Q(x) − P(x))·y, que é separável com a solução de forma fechada y = y₀·exp(∫(Q−P) dx).

As equações de Bernoulli podem sempre ser resolvidas em forma fechada?

Em princípio sim, mas as integrais resultantes envolvendo o fator integrante podem não ter antiderivadas elementares. Quando isso acontece, a calculadora as avalia numericamente com a regra de Simpson e plota a curva da solução. O método em si sempre reduz uma EDO de Bernoulli a quadraturas.

Por que y negativo e n não inteiro causam problemas?

Se n não for um número inteiro, yⁿ é definido como exp(n·ln y) e é real apenas para y > 0. Fornecer um y negativo produziria um número complexo. O resolvedor sinaliza essa situação e solicita y₀ > 0 ou um expoente inteiro para que a solução permaneça com valor real.

O que o campo de direções mostra?

O campo de direções é uma grade de pequenos segmentos tangentes cujo ângulo é igual a y' naquele ponto (x, y). Qualquer curva de solução é forçada a seguir essas tangentes, então o campo de direções permite ver a forma qualitativa de todas as soluções de uma vez, com a condição inicial isolando a curva específica.

Leitura Adicional

• Equação diferencial de Bernoulli — Wikipédia
• Fator integrante — Wikipédia
• Função logística — Wikipédia
• Campo de direções — Wikipédia